【正文】 變量，則 性質(zhì) 4可推廣到 n個(gè)隨機(jī)變量 )()()( 2121 YECXECYCXCE ???)()(11iniiinii XECXCE ?????)()()( YEXEXYE ??)()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE ?? ??引例 返回 167。 方 差 1。方差的概念 2。常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差 3。方差的性質(zhì) 引例 練習(xí)題 返回 1。方差的概念 定義：設(shè)隨機(jī)變量 的期望存在，則稱 為隨機(jī)變量 X的方差，記為 D（ X） 即 若 X為離散型隨機(jī)變量，則 若 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則 2))(( XEX ?2))(( XEXE ?2))(()( XEXEXD ??)(XD稱 為 X的標(biāo)準(zhǔn)差或（均方差） inii pXExXD ????12))(()(dxxfXExXD )())(()( 2? ???? ??簡(jiǎn)便計(jì)算公式 簡(jiǎn)便計(jì)算公式 計(jì)算方差常用如下公式： 若 X為離散型隨機(jī)變量，則 若 X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則 22 )]([)()( XEXEXD ??21 12 )()(ininiiii pxpxXD ? ?? ???22 ))(()()( ?? ???????? ?? dxxxfdxxfxXD引例 返回 2。常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差 （ 1） 0－ 1分布 （ 2）二項(xiàng)分布 （ 3）泊松分布 （ 4）均勻分布 （ 5）指數(shù)分布 （ 6）正態(tài)分布 )1()( ppXD ??),(~ pnBXnpqXD ?)(pq ??1)(~ ?PX??)( XD),(~ baUX2)(121)( abXD ??21)(??XD),(~ 2??NX2)( ??XD)(~ ?EX 歸納表格 返回 3。方差的性質(zhì) 性質(zhì) 1 常數(shù)的方差等于零；隨機(jī)變量與常數(shù)之 和的方差等于隨機(jī)變量的方差。 即 性質(zhì) 2 常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個(gè)常 數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積。 即 性質(zhì) 3 兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們 方差之和 即 性質(zhì) 3可推廣到 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。 0)( ?CD )()( XDCXD ??)()( 2 XDCCXD ?)()()( YDXDYXD ???返回 167。 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 引例 、協(xié)方差矩陣 返回 定義 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y),且 E(X),E(Y)存在 , 如果 E[(XE(X))(YE(Y))]存在 ,則稱此值為 X與 Y的協(xié)方差 ,記為 Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= E[(XE(X))(YE(Y))] 離散型計(jì)算公式 連續(xù)型計(jì)算公式 ( , ) ( ( ) ) ( ( ) )i j i jijC o v X Y x E X y E Y p? ? ???( , ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( , )C o v X Y x E X y E Y f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ? ???另有計(jì)算公式 計(jì)算公式 有如下計(jì)算公式 特別地 ,取 X=Y時(shí)有 ( , ) ( ) ( ) ( )C ov X Y E XY E X E Y??( , ) [ ( ( ) ) ( ( ) ) ] ( )C ov X X E X E X X E X D X? ? ? ?引例 協(xié)方差的性質(zhì) 協(xié)方差的性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） （ 4）若 X,Y互相獨(dú)立，則 ),(),( XYC o vYXC o v ?),(),( YXa b C o vbYaXC o v ?),(),(),( 2121 YXC o vYXC o vYXXC o v ???0),( ?YXC o v反之若 ，則 X,Y一定不互相獨(dú)立 0),( ?YXC o v另需注意， 是 X與 Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。 0),( ?YXC o v返回 定義：若 ， 稱 為 X與 Y的相關(guān)系數(shù)，記為 即 0)( ?YD0)( ?XD )()(),(YDXDYXC ov?)()(),(YDXDYXCovXY ???XY?引例 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) （ 1） （ 2） 的充分必要條件是存在常數(shù) a,b使 定義 若相關(guān)系數(shù) 則稱 X與 Y不相關(guān) 1|| ?XY?1|| ?XY?01}{ ???? abaXXP 且注：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量間線性聯(lián)系密切程度的度量。 越接近 1， X與 Y之間的線性關(guān)系越密切。 || XY?0?XY?注：易得 X與 Y不相關(guān)的充要條件是 。 0),( ?YXC o v特別地：二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，不相關(guān)的充要條件是兩者互相獨(dú)立 返回 、協(xié)方差矩陣 定義：設(shè) X為一隨機(jī)變量， k為正整數(shù)，如果 存在，則稱 為 X的 k階原點(diǎn)矩，記為 ，即 如果 存在，則稱 為 X的 k階中心矩，記為 ，即 )( kXE )( kXEkv )( kk XEv ?]))([( kXEXE ? ]))([( kXEXE ?k?]))([( kk XEXE ???顯然：一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望，二階中心矩就是方差。 定義續(xù) 定義續(xù) 定義：設(shè) X,Y為隨機(jī)變量，若 存在，則稱它為 X和 Y的 k+l階混合原點(diǎn)矩，若 存在，則稱它為 X和 Y 的 k+l階混合中心矩。 協(xié)方差 Cov(X,Y)就是 X,Y的二階混合中心矩 )2,1,)(( ??lkYXE lk})]([)]({[ lk YEYXEXE ??二維協(xié)方差矩陣 二維協(xié)方差矩陣 定義：將二維隨機(jī)變量 的 4個(gè)二階中心 矩 排成矩陣的形式，稱此矩陣 為隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣。 ),( 21 XX),()()]([ 22222222 XXC o vXDXEXEc ????),()()]([ 11121111 XXC o vXDXEXEc ????),())]())(([( 21221112 XXC o vXEXXEXEc ????),())]())(([( 12112221 XXC o vXEXXEXEc ????),( 21 XX22)( ?ijcCn維隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣 n維隨機(jī)變量協(xié)方差矩陣 定義：設(shè) n維隨機(jī)變量 的二階混合中 心矩 存在，則稱矩陣 為 n為隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣。 ),( 21 nXXX ?),())]())(([( jijjiiij XXC o vXEXXEXEc ????)2,1,( ??jinnijcC ?)(),( 21 nXXX ?注：因?yàn)? 所以，協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素即為 的方差。 )(),( iii XDXXC o v ?)2,1( ??iX i引例 返回 第五章 :大數(shù)定律及中心極限定理 167。 切比雪夫 (Chebyshev)不等式 練習(xí)題 167。 大數(shù)定律 167。 中心極限定理 練習(xí)題 自測(cè)題 5 返回 167。 切比雪夫 (Chebyshev)不等式 定理 :(切比雪夫等式 )設(shè)隨機(jī)變量 X的期望 E(X)及 方差 D(X)存在 ,則對(duì)任意的小正數(shù) ,有 或 0? ?2(){| ( ) | } DXP X E X ??? ? ?2(){| ( ) | } 1 DXP X E X ??? ? ? ?不等式的含義 :當(dāng) 很小時(shí) ,區(qū)間 也很小 ,不等式用于估計(jì) X落入上述區(qū)間的概率 .當(dāng) D(X)很小時(shí) , X落入上述區(qū)間的概率很大 ,落入?yún)^(qū)間外的概率很小 . ? ( ( ) , ( ) )E X E X????引例 返回 167。 大數(shù)定律 數(shù)定律 返回 定理：設(shè) m是 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次 數(shù)， p是事件 A的概率，則對(duì)任意正數(shù) ，有 證明略。 該定律表明：當(dāng) n充分大時(shí)，事件 A發(fā)生的頻率 與概率 p的絕對(duì)值偏差小于任意給定的正數(shù) 這一事件的概率可以任意接近于 1. 也正是 “ 概率是頻率的穩(wěn)定值 ” 的確切含義。 ?1}|{|lim ??????pnmPnnm?返回 夫大數(shù)定律 若隨機(jī)變量序列 是相互獨(dú)立的， 且所有的 又具有相同的分布，則稱 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列。 定理：設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 序列， ， 均存在， 則對(duì)于任意的 有 ?? nXXX , 21iX?? nXXX , 21?? nXXX , 21??)( iXE 2)( ??iXD ?,2,1?i0??1}|1{|l i m1?????????niin XnP定律分析 定律分析 定理說(shuō)明：經(jīng)過(guò)算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量 在統(tǒng)計(jì)上具有一種穩(wěn)定性，它的取值 將比較緊密地聚集在它的期望附近。這正是大數(shù) 定律的含義。在概率論中，大數(shù)定律是隨機(jī)現(xiàn)象 的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性的深刻描述，同時(shí)，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì) 重要理論基礎(chǔ)。 另：貝努利大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特殊 情況。（ 相互獨(dú)立且服從相同的 0－ 1分布） ??? ? ni iXnX 11?? nXXX , 21返回 167。 中心極限定理 －拉普拉斯中心極限定理 返回 練習(xí)題 定理：設(shè) 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量 序列，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差 記隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為 則，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，有， ?? nXXX , 21??)( iXE 2)( ??iXD??nnXYniin???? 1)(xFn}{l i m}{l i m)(l i m 1 xnnXPxYPxFniinnnnn????????????? ??)(21 22xdtetx??? ???? ?其中 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) )(x? 定理分析 定理分析 由該定理可得以下結(jié)論： （ 1）當(dāng) n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之 和 的分布近似于正態(tài)分布 。 （ 2）當(dāng) n充分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的 平均值 的分布近似于正態(tài)布 。 ??? niin XZ1),( 2?? nnN??? niiXnX11 ),( 2nN??引例 返回 －拉普拉斯中心極限定理 定理：設(shè)隨機(jī)變量 是 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的次數(shù)， p是事件 A發(fā)生的概率，則對(duì)于任 意實(shí)數(shù) x 其中 q=1p， 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。 nZ)(21}{l i m 22xdtexnpqnpZP txnn?????????? ? ?)(x?定理分析 定理分析 由該定理得如下結(jié)論： （ 1）在貝努利試驗(yàn)中，若事件 A發(fā)生的概率為 p， 又設(shè) 為 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的頻數(shù)， 當(dāng) n充分大時(shí)， 近似服從正態(tài)分布 。 （ 2）在貝努利試驗(yàn)中，若事件 A發(fā)生的概率為 p， 為 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的頻率， 則當(dāng) n充分大時(shí)， 近似服從正態(tài)分布 。