【正文】 果已知 的概率密度 ，則 在平面區(qū)域 D內(nèi)取值的概率為： ( , )XY ( , )f x y ( , )XY{( , ) } ( , )DP X Y D f x y d x d y?? ??幾何意義：隨機(jī)點 落在平面區(qū)域 D上的概率等于以平面區(qū)域 D為底，以曲面 為頂?shù)那斨w的體積。 ip 1, 2, 3i ? jp1, 2, 3j ?{}i i ijjp P X x p? ? ? ? 1, 2 , 3i ? {}j j ijip P Y y p? ? ? ?1, 2 , 3j ?性質(zhì) 性質(zhì) 邊緣分布律具有下列性質(zhì)： （ 1） （ 2） 0jp ?0ip ? , 1 , 2 , 3ij ?1ijip ?? 1ijj p ??返回 3。二維離散型隨機(jī)變量 定義 若二維隨機(jī)變量 只取有限多對或可列 無窮多對 ，則稱 為二維 離散隨機(jī)變量。 ),( YX),( YX)(xFX )(yFY),(},{}{)( ?????????? xFYxXPxXPxF X),(lim yxFy ????),(},{}{)( yFyYXPyYPyF Y ??????????),(lim yxFx ???? 幾何圖形 幾何圖形 如圖 x y o ),( yxD D為分布函數(shù) 在 處的函數(shù)值 ),( yxF),( yxD為以 為頂點，位于該點左下方的無窮矩形 ),( yxx y 0 ),( 11 yx),( 21 yx),( 22 yx),( 12 yx1y1x2y2x矩形域為落在區(qū)域 內(nèi)的概率。 nXXX ?, 21),( 21 nXXXX ??iXni ,2,1 ??),( YX},{),( yYxXPyxF ??? ?????? x ?????? y),( yxF),( YX續(xù) （續(xù)）二維隨機(jī)變量 的兩個分量 X與 Y各自的分布函數(shù)分別稱為 二維隨機(jī)變量 關(guān)于 X與關(guān)于 Y的邊緣分布函 數(shù)，記為 與 。二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 定義 n個隨機(jī)變量 ，構(gòu)成的整體 稱為一個 n維隨機(jī)變量或 n維隨機(jī) 向量， 稱為 X的第 i個分量。二維離散型隨機(jī)變量 練習(xí)題 （ 1） 3。 1。 167。|))(()( yhyhfyf XY ? ?????? y引例 返回 第三章 :多維隨機(jī)變量及其概率分布 167。 ?xg )(yhx ? )(xgy ? )(XgY ?????0|)(39。 練習(xí)題 （ 1） 練習(xí)題 （ 2） 返回 設(shè) g(x)是一給定的連續(xù)函數(shù) ,稱 為隨機(jī)變 量 X的一個函數(shù) ,顯然 Y也是一個隨機(jī)變量 .當(dāng) X取 值 x時 ,Y取值 y=g(x). 重點在于討論如何由已知的隨機(jī)變量 X的概率分 布 ,去求函數(shù) 的概率分布 . ()Y g X?()Y g X?引例 結(jié)論 結(jié)論 離散型隨機(jī)變量 X的取值可列 ,則 Y的 取值也是可列的 ,因此 Y也是 個離散型隨機(jī)變量 .但是 中可 能有相等的情況 . 當(dāng) 有相等的情況時 ,應(yīng)把 相等的那些 所對應(yīng)的概率相加 ,作為 Y取值 的概率 . 12, , ,kx x x12( ) , ( ) , ( ) ,kg x g x g x12( ) , ( ) , ( ) ,kg x g x g x12( ) , ( ) , ( ) ,kg x g x g x ()kgxix()kgx注：在最后所得分布律，按 Y的各取值的自然順序重新排列一下 返回 設(shè) X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 設(shè) 是一嚴(yán)格單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，其值域為 且 。 其密度函數(shù)為 其分布函數(shù)為 dtexF xt? ????? 222)(21)( ????),(~ 2??NX1,0 ?? ?? )1,0(N)(21)( 22??????? ? xex x??dtedttfxXPx x tx ?? ?? ??? ????? 2221)()()(?標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形 如圖 )(x?x0 a? a圖形關(guān)于 軸對稱，且在 取得最大值 y 0?x?21標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù) 的性質(zhì) (1) (2) )(x?)(1)( xx ?????21)0( ?? 計算公式 計算公式 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的值可以直接查表得。均勻分布與指數(shù)分布 定義 :若隨機(jī)變量 X的概率密度為 則稱 X服從區(qū)間 上的均勻分布 ,簡記為 其分布函數(shù)為 : [ , ]ab????? ????其他,0,1)( bxaabxf[ , ]X a b0()1xaFxba?? ??? ?????xaa x bxb????直觀圖形 幾何圖形 如圖 f(x) 0 x a b 1ba?F(x) 0 a b x 另有計算公式 另有公式 如果 是 的一個子區(qū)間（即 ）， 則有 上式表明 X在 任一子區(qū)間取值的概率與區(qū)間 的長度成正比，而與子區(qū)間的位置無關(guān)，也就是 說， X在區(qū)間 上的概率分布是均勻的，因此 叫做均勻分布 . 使用這一公式計算均勻分布的概率很方便 . ],[ dc ],[ ba bdca ???11( ) ( ) ( )ddccP c X d f x d x d x d cb a b a? ? ? ? ? ?????],[ ba],[ ba引例 返回 指數(shù)分布 定義 :若隨機(jī)變量 X的概率密度為 其中 為常數(shù) ,則稱 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分 布 .簡記為 其分布函數(shù)為 ,0()0 , 0xexfx x?? ?? ?? ? ??0? ? ?1()0xeFx??? ?? ??00xx??指數(shù)分布有著廣泛的應(yīng)用，常用來做各種 “ 壽命 ” 分布的近似，例如動物的壽命，電話的通話時間，隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間等，都通常假定服從指數(shù)分布 . )(~ ?EX引例 返回 3。 xfxF ?幾何意義 幾何意義 如圖 y x 0 a b f(x) }{ bxaP ??圖中陰影部分面積代表了該區(qū)域的概率。 ? ??? x dttfxF )()(連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點的概率 連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點的概率 對于任意的實數(shù) x， ，有 當(dāng) f(x)可積時， F(x)為連續(xù)函數(shù)，令 則 即連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點的概率為零 . 0??x)()(}{}{0 xxFxFxXxxPxXP ???????????0??x0}{ ?? xXP性質(zhì) 性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） （ 4）設(shè) x為 f(x)的連續(xù)點，則 存在，且 0)( ?xf1)( ?????? dxxf?????? ba dxxfaFbFbXaP )()()(}{?????????? ba dxxfbXaPbXaPbXaP )(}{}{}{另有 若 (1)(2)兩個性質(zhì)符合就是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 注，性質(zhì) (3)離散型沒有 )(39。正態(tài)分布 分位數(shù) 練習(xí)題 返回 1。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 2。 離散型的分布函數(shù) ),(),()( ??????? xxXPxF離散型的分布函數(shù) 由于 ，由概率的性質(zhì)知， 即 : ? xx kkxXxX???? }{}{?????????xx kxx k kkpxXPxXPxF }{)()(()kkxxF x p?? ?其中求和是對所有滿足 時相應(yīng)的概率 求和 kxx? kp引例 返回 分布函數(shù)的性質(zhì) (1) (2) 是不減函數(shù) ,即對于任意的 有 (3) 即 (4) 右連續(xù) ,即 0 ( ) 1Fx??()Fx 12xx?12( ) ( )F x F x?( ) 0 , ( ) 1FF?? ? ?? ?l im ( ) 0 , l im ( ) 1xxF x F x? ? ? ? ? ???()Fx0( 0 ) l im ( ) ( )xF x F x x F x???? ? ? ? ?已知 X的分布函數(shù) F(x),我們可以得出下列事件的概率 . 結(jié)論 結(jié)論 (1) (2) (3) { } ( )P X b F b??{ } ( ) ( )P a X b F b F a? ? ? ?{ } 1 ( )P X b F b? ? ?引例 返回 167。分布函數(shù)的概念 設(shè) X為隨機(jī)變量，稱函數(shù) 為 X的分布函數(shù)。 分布函數(shù)的概念 2。 ),(~ pnBX 名稱由來（引例 ） 引例 泊松定理 泊松定理 設(shè)是 常數(shù)， n是任意正整數(shù)，且 則對于任意取定的非負(fù)整數(shù) k，有 由泊松定理，我們可得，當(dāng) n很大， p很小時， 有近似公式 注：在實際的計算中，當(dāng) 時，計算 用上述公式效果頗佳！ 0?? ??nnpl im ( 1 ) !kk k n kn n nn C p p ek ?????? ???? ?? ?? ekppCkknkkn !)1(其中 ??np,20 ?? pn返回 泊松分布 如果隨機(jī)變量的分布律為 ， 則稱 X服從參數(shù) 的泊松分布，記作 . 服從泊松分布的隨機(jī)變量 X的概率值可在附錄的 泊松分布表中查出 . ,...),...,2,1,0,0(!)( nkekkXPk???? ? ?? ?? )(~ ?PX引例 返回 167。 01分布 二項分布 泊松分布 練習(xí)題 返回 為便于用數(shù)學(xué)的形式來描述、解釋和論證隨機(jī)試 驗的某種規(guī)律性，我們需要按照研究的目的將試 驗中的基本事件與實數(shù)集建立某種聯(lián)系 . 例如 :某人向一飛機(jī)射擊，觀察其是否擊中飛 機(jī)， 則基本事件 A={擊中 },B={未擊中 }構(gòu)成一個 完備事件組 .為了便于研究 ,我們引進(jìn)變量 X,規(guī)定 X取 1,0分別對應(yīng) “ 擊中 ” ,“未擊中 ” 事件 .從而對 事件 A,B的研究就轉(zhuǎn)化為對實數(shù) X的研究 . 定義 定義 一般地，按研究隨機(jī)試驗的某種規(guī)律性要求，建 立樣本空間 Ω與實數(shù)集的某個子集的某種對應(yīng)關(guān) 系，使每個基本事件都有一個確定的實數(shù)與之對 應(yīng) .與全體基本事件相對應(yīng)的數(shù)組成的集合記為 M，用一個變量在 M中（或在 M的某個范圍內(nèi)）的 取值來表示和變量的取值所對應(yīng)的基本事件組成 的事件，我們把這樣的變量稱為 隨機(jī)變量 ， M稱為 隨機(jī)變量的取值范圍 . 隨機(jī)變量通常用 X,Y,Z等表 示 . 引例 返回 若隨機(jī)變量的取值可以一一列舉（有限個 或無窮可列個）出來，則稱這類隨機(jī)變量 為 離散型隨機(jī)變量 . 對于離散型隨機(jī)變量 ,我們需要知道它的 所有可能值及取每一個可能值的概率 . 分布律 分布律 設(shè) X為離散型隨機(jī)變量 ,可能取值為 且 則稱 為 X的分布律 (或分布列 ) 分布律常用表格表示 ,這樣更為直觀 . 12, kx x x( ) , 1 , 2 ,kkP X x p k? ? ?{}kpX … … P … …