【正文】 ? ?n n nk k i j i jk i jD a X a a X X1XY? ?? ? ? ? ? ? 22 0? ? ?????D X E X E x? ? ? ?c o v , c o v ,?X Y Y X ? ? ? ? ? ?1 2 1 2c o v , c o v , c o v ,? ? ?X X Y X Y X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?c o v , c o v ,? ? ? ? ? ?????a X b Y c X d Y a c D X b d D Y a d b c X Y? ? ? ? ? ? ? ?c o v , ??X Y E X Y E X E Y53 隨機變量的數(shù)字特征 ? 設隨機變量 (X,Y)在圓 D： 上均勻分布，討論 X與 Y的相關(guān)性與獨立性 ? 由于 ，則隨機變量 X與 Y不相互獨立 2 2 2x y a??? ? ? ? ? ? ? ? 20, 4aE X E Y D X D Y? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2, xYf x y f x f y x y a? ? ?? ? ? ?2 2 221,0x y aE X Y x y f x y d x d y x y d x d ya?? ? ? ?? ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?c o v , 0X Y E X Y E X E Y? ? ?54 隨機變量的數(shù)字特征 ? n維正態(tài)隨機變量 ? 其中，均值 ，協(xié)方差陣 ? X的聯(lián)合概率密度可表示為 ? ?12, nX X X?X ? ?~,NCX μ12n????????????????μ ? ?iiEX? ? ? ?ij nnCc ??? ? ? ? ? ?? ?c ov ,ij i j i i j jc X X E X E X X E X??? ? ? ????? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?11 39。 若存在反函數(shù) 1 1 2 12 1 2 212( , , , )( , , , )( , , , )nnk n kg x x x yg x x x yg x x x y???????? ??1 1 1 22 2 1 212( , , , )( , , , )( , , , )nnk k nx f y y yx f y y yx f y y y???????? ??40 隨機變量函數(shù)的分布 1212121 1 1 2 1 21111( , , , )[ ( , , , ) , . . . , ( , , , ) ] nnY Y Y nX X X n n n nnnnnf y y yf x f y y y x f y y yffyyffyy?? ? ???????????? ??????????????41 隨機變量函數(shù)的分布 ? 例：設隨機變量 X~N(0,1)， Y~N(0,1)且相互獨立， ，試求 (1) 隨機變量 (U,V)的聯(lián)合概率密度； (2) 隨機變量 U與 V是否相互獨立？ 解：隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 易得反函數(shù)為 ， ，從而隨機變 量 (U,V)的聯(lián)合概率密度為 U X YV X Y??????? ?22 2,1,2xyXYf x y e???22uvxuvy??????? ???1 / 2 1 / 2 1 / 21 / 2 1 / 2J ??? ?22 4,1,4uvUVf u v e???42 隨機變量的數(shù)字特征 為什么要引入數(shù)字特征 ? 常用數(shù)字特征有哪些 ? 數(shù)字特征表示的意義 ? 43 隨機變量的數(shù)字特征 ? 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性．但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變量的整個變化情況，而只需知道隨機變量的某些統(tǒng)計特征．例如，在檢查一批棉花的質(zhì)量時，只需要注意纖維的平均長度，以及纖維長度與平均長度的偏離程度，如果平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就越好。 33 隨機變量函數(shù)的分布 X 2 1 0 1 2 P 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 3 1 1 3 5 4 1 0 1 4 0 1 0 1 0 1 21YX??22YX?3 sin 2YX??34 隨機變量函數(shù)的分布 ? 離散隨機變量的函數(shù) 設二維 離散隨機變量的分布律為 P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,… 若對于 (X,Y)的不同取值 (xi, yj), Z=g(X,Y)的取值 g (xi, yj) 也不相同，則隨機變量 Z=g(X,Y)的分布律為 P{Z= g (xi, yj)=pij, i,j=1,2,3,… 若對于 (X,Y)的有限個或可列無窮個不同的取值 , Z=g(X,Y) 取相同的值 z，則隨機變量 Z取值 z的概率等于 (X,Y) 取這些值的概率之和。 |( , )( | )()YX Xp x yp y xpx?( ) 0 , ( ) 0XYp x p y??|( , )( | )()XY Yp x yp x ypy?28 隨機變量及其分布 獨立充要條件 ： 對于 二維隨機變量（ X， Y）， X與 Y相互獨立的充要條件是： 或 ， 或者 在 處， ； 或在 處， 。 ( ) ( , ) , ( )XF x F x x? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( , ) , ( )YF y F y y? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( , ) , ( )Xp x p x y dy x????? ?? ? ? ???( ) ( , ) , ( )Yp y p x y dx y????? ?? ? ? ???26 隨機變量及其分布 條件 分布函數(shù) ： 對于 二維隨機變量（ X， Y），若下列各式極限存在，則稱 為在 Y=y條件下 X 的條件分布函數(shù) ； 為在 X=x條件下 Y 的條件分布函數(shù) 。 ( , ) ( , ) ( , )xyF x y p u v dudv x y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ????22( , )( , ) { , }F x yp x y P X x Y yx y x y??? ? ? ?? ? ? ?25 隨機變量及其分布 邊緣 分布函數(shù) ： 設二維隨機變量（ X， Y） 的 聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x, y)， 定義 為隨機變量 X 的 邊緣分布函數(shù) ； 為隨機變量 Y 的 邊緣分布函數(shù) 。 二維聯(lián)合分布函數(shù) ： 設（ X， Y）為二維隨機變量，定義二元函數(shù) 為（ X， Y）的 二維聯(lián)合分布函數(shù) 。 P{ax≤b}=FX(b)FX(a) 概率密度函數(shù) pX(x) ≥0。 概率密度 ： 若 對于任意實數(shù) x，存在非負實函數(shù) pX(x) ，使得 隨機變量 X的分布函數(shù) FX(x)滿足 或 則稱 pX(x)為 隨機變量 X的 概率密度函數(shù) ，簡稱 概率密度 。它的定義域是樣本空間 S，值域是實數(shù)集合 {0,1,2,3}，使用函數(shù)記號可將 X寫成 ? ?3 , ,2 , , , ,1 , , , ,0 , e H H He H H T H TH TH HX X ee H TT TH T TTHe TTT??????? ???? ??14 隨機變量及其分布 隨機變量 設 （ Ω， F， P） 為概率空間 , 是定義在樣本空間 Ω上的 單值實函數(shù) ，對于任意一個實數(shù)x ，有 Ω中的子集 滿足 ，則稱 是概率空間 （ Ω， F， P） 上的 隨機變量 。當把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨機變量的概念。 由它們組成的三元體（ Ω，