【正文】 為推斷總體的分布及各種特征 ,按一定的規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗(yàn) ,以獲得有關(guān)總體的信息 .這一抽取過程稱為 “ 抽樣 ” . 所抽取的部分個體稱為樣本 .通常記為 樣本中所包含的個體數(shù)目 n稱為樣本容量 . 12( , , , )nX X X X?注：每一個樣本 都是隨機(jī)變量 iX 容量為 n的樣本可以看作 n維隨機(jī)變量 .但是 ,一 旦取定一組樣本 ,得到的是 n個具體的數(shù) 稱此為樣本的一次觀察值 ,簡 稱樣本值 . 2. 簡單隨機(jī)樣本 抽取樣本的目的是為了利用樣本對總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷 ,這就要求樣本能很好的反映總體的特性且便于處理 .為此 ,需對抽樣提出一些要求 ,通常有兩條 : 12( , , , ) ,nx x x滿足上述兩條性質(zhì)的樣本稱為 簡單隨機(jī)樣本 . 獲得簡單隨機(jī)樣本的抽樣方法稱為簡單隨機(jī)抽樣 . 1. 代表性 ： X1,X2,…, Xn中每一個與所考察的總體 X有相同的分布 . 2. 獨(dú)立性 ： X1,X2,…, Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 . [說明 ]： 后面提到的樣本均指簡單隨機(jī)樣本，由概 率論知，若總體 X 具有分布函數(shù) F(x), 則樣本（ X1,X2,?,X n）具有聯(lián)合分布函數(shù) ? ? ? ?121,nn n iif x x x f x?? ?? ? ? ?121,?? ?nn n iiF x x x F x若總體 X為連續(xù)型（或離散型）隨機(jī)變量， 其概率 密度函數(shù)（或分布律）為 f(x)，則樣本 （ X1,X2,?,X n）具有聯(lián)合密度函數(shù)（或者聯(lián)合分 布律）： 1212設(shè) 總 體 服 從 期 望 為 1 / ( 0) 的 指 數(shù) 分布 , ( , , , ) 是 來 自 該 總 體 的 樣 本 , 求 樣 本( , , , ) 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 .nnXX X XX X X?? ?解 的概率密度為總體 X ,0()0 , 0xexfxx?? ?? ?? ???, 21 有相同的分布且與相互獨(dú)立因?yàn)?XXXX n?12 ( , , , )nX X X所 以 的 聯(lián) 合 概 率 密 度 為121( , , , ) ( )nn n iif x x x f x?? ?1 ,0 , 1 , 2 , ,0,niixniex in?? ??? ???????? 其 它例 1 2 1 2( 1 , ) , 0 1 ,( , , , ) , ( , , ) .設(shè) 總 體 服 從 兩 點(diǎn) 分 布 其 中是 來 自 總 體 的 樣 本 求 樣 本的 聯(lián) 合 分 布 律??nnX b p pX X X X XX解 的分布律為總體 X, 21 相互獨(dú)立因?yàn)?nXXX ?1( ) { } ( 1 ) , 0 , 1xxf x P X x p p x?? ? ? ? ?,有相同的分布且與 X12 ( , , , )nX X X所 以 的 聯(lián) 合 分 布 律 為例 ? ?111 2 1 1 2 21 1 2 2112( , , , ) { , , , }{ } { } { }( 1 ) , 0 , 1 , 1 , 2 , , , , { 0 , 1 }nniiiin n n nnnniix n xinf x x x P X x X x X xP X x P X x P X xfxp p x i nx x x????? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ??即 ， 其 中 在 集 合 中 取 值1 2 n 1 2 n1 2 n 1 2 n說 明 ：（ 1 ） 統(tǒng) 計(jì) 量 可 以 僅 從 其 解 析 式 上 判 斷 ；（ 2 ） 統(tǒng) 計(jì) 量 仍 然 為 隨 機(jī) 變 量 ；（ 3 ） 統(tǒng) 計(jì) 量 的 分 布 （ 稱 為 抽 樣 分 布 ） 一 般 與 總 體 分 布 有 關(guān) ，即 ， 可 以 依 賴 未 知 參 數(shù) ；（ 4 ） 若 （ x ,x , ,x ） 為 樣 本 （ X ,X , ,X ） 的 觀 察 值 ，則 g （ x ,x , ,x ） 為 g （ X ,X , ,X ） 的 觀 察 值 ， 稱 之 為 統(tǒng) 計(jì) 量 的 值 。 通常，我們用隨機(jī)變量 X , Y , Z,… , 等 表示總體。 從而可把此種數(shù)量指標(biāo)看作隨機(jī)變量 ， 我們用一個隨機(jī)變量或其分布來描述總體 。 一 個統(tǒng)計(jì)問題總有它明確的研究對象 . 研究對象的全體稱為 總體 (母體 )， 總體中每個成員稱為 個體 . 研究某批燈泡的質(zhì)量 總體 167。在概率論中已經(jīng)知道，由 于大量的隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn) 它的規(guī)律性，因而從理論上講只要對隨機(jī)現(xiàn)象 進(jìn)行足夠多次觀察，各種結(jié)果的規(guī)律性一定能 清楚地呈現(xiàn)，但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是 有限的，甚至是少量的。? ?( 1 ) 7 5 0 0 , 0 . 7 4 0 . 7 6XnP n? ? ?0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 7 4 0 . 7 5( ) ( )0 . 1 8 7 5 0 . 1 8 7 5n n n nnn??? ? ? ?0 . 0 42 ( ) 1 2 ( 2 ) 1 0 . 9 5 4 43n? ? ? ? ? ? ?0 . 0 42 ( ) 1 0 . 9 ,3n? ? ? ? .0 4( ) 0 .9 5 ,3n? ? ?20 . 0 4 1 . 6 4 5 , ( 2 5 1 . 6 4 5 ) 3 5 0 7 43n n? ? ? ? ?X ( 5 , .18 75 ) ,當(dāng) 充 分 大 時 ， （ 近 似 ） ～n N n n 例 1(用 Chebyshev不等式的結(jié)果 ) nA解 ： 設(shè) 在 重 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 為 X ，? ?, 0. 75bn?則 X, ? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E X n p n D X n p q n? ? ? ?? ?n XfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1XP P X n nn? ? ? ? ?(2)? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??? ? ? ?( 1 ) 7 5 0 0 , 0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1Xn P P X n nn? ? ? ? ? ?? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 7 57500? ? ? 大數(shù)定律與中心極限定理的區(qū)別與聯(lián)系： 設(shè) 為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列， 則由 對任意的 ε ＞ 0有 大數(shù)定律雖并未給出 的表達(dá)式 ,但保證了其極限是 1. 而在以上條件下，中心極限定理（林德伯格 — 萊維）亦 成立，這時，對于任意的 ε ＞ 0及某固定的 n，有 . 由于 ，因此，在所給條件下，中心極限定理不 僅給出了概率的近似表達(dá)式，而且也能保證了其極限是 1，可 見在這些條件下，中心極限定理的結(jié)論更為深入。3 2 2 5 例 7：（例 1續(xù)） 在 n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次 試驗(yàn)事件 A出現(xiàn)的概率為 ，試?yán)弥行臉O限定理 , (1)若 n=7500,估計(jì) A出現(xiàn)的頻率在 的概率近似值；（ 2）估計(jì) n,使 A出現(xiàn)的頻率在 至 。2 0 2 0 2 0 21 1 11 1 12 0 2 0 2 0kkkk k kXXX? ? ?? ? ?解 ： 由 中 心 極 限 定 理 ， ， ， 均 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 。 ? ?? ?400 2 8 12 1 ( 1 ) 17 npqnpP X P Xnpq? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ?, 4 0 0 , 0 .0 2 b?解 ： 設(shè) 機(jī) 器 出 故 障 的 臺 數(shù) 為 X 則 X ， 分 別 用 三 種 方 法 計(jì) 算 ：1. 用 二 項(xiàng) 分 布 計(jì) 算? ? ? ? ? ? 4 0 0 3 9 92 1 0 1 1 0 .9 8 4 0 0 0 .0 2 0 .9 8 0 .9 9 7 2P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2. 用 泊 松 分 布 近 似 計(jì) 算? ? ? ? ? ?4 0 0 0 . 0 2 8 ,2 1 0 1 1 0 . 0 0 0 3 3 5 0 . 0 0 2 6 8 4 0 . 9 9 6 9 .npP X P X P X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3. 用 正 態(tài) 分 布 近 似 計(jì) 算 例 6： 1 20 120 20 2021 1 1, , , ~ ( 1 , 1 )1 1 11 2 320 20 20k k kk k kX X X UX X X? ? ??? ? ?設(shè) 隨 機(jī) 變 量 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 。 ? ?200PX??解 ： 設(shè) X 為 一 年 中 投 保 老 人 的 死 亡 數(shù) ，X( 0 , 1 )( 1 )由 德 莫 佛 拉 普 拉 斯 中 心 極 限 定 理 ， 知（ 近 似 ） ～ ， 故 保 險(xiǎn) 公 司 虧 本 的 概 率 為 ：??npNnp p? ?10 00 0 10 00 0 20 0PX ??? ?20201npn p p?????? ? ????? ?1 1 ? ? ? ?10思 考 題 ：求 保 險(xiǎn) 公 司 至 少盈 利 萬 元 的 概 率 。?iX X XXi16116記 只 電 器 元 件 的 壽 命 總 和 為 ,?? ? iiXX? ? ? ? 210 0 , 10 0 1 , 2 , 16 .由 題 設(shè) , 知 ，? ? ?iiE X D X i? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiXXYN????????根 據(jù) 獨(dú) 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理 : 近 似 服 從? ? ? ? 19 20 1 19 20P X P X? ? ? ?? ?1 9 2 0 1 6 0 01 400?? ? ?? ?1 19? ? ? ? 例 4： 某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有 1萬人參加，每人每年交 200元 ,若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬元。 例 3： 設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為