【正文】 100小時的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨立的 ,求這 16只元件的壽命的總和大于 1920小 時的概率。 ? ?5. 5 定 理 獨 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理? ? ? ?210 , 10 , 1( , ) ,（ 近 似 ）此 定 理 表 明 ， 當(dāng) 充 分 大 時 ， 近 似 服 從 ， 即即 ： （ 近 似 ） ～～????nnniin Y NX N n nYN11 niiXXn ?? ?思 考 題 ：的 近 似分 布 是 什 么 ？2( , )Nn??答 案 ：? ? ? ?? ?212212, , , , , 1 , 2 ,1, ( )2設(shè) 隨 機 變 量 X 相 互 獨 立 同 分 布 ，則 前 個 變 量 的 和 的 標 準 化 變 量 為 ：有 ： ???????? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ???niiniintxnnXXE X D X iXnnYnx R li m P Y x e dt x1( ) ( ) ( ) .n iib n a nP a X bnn???????? ? ? ? ? ??從 而 ，證 明 略 。 ? ?, 0 ,5 4 1.AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ????? 設(shè) 事 件 在 每 次 試 驗 中 發(fā) 生 的 概 率 為 ， 記 為 次 獨 立 重 復(fù) 試 驗 中 發(fā) 生 的 次 數(shù) 則 有定 理 貝 努 里 大：數(shù) 定 律? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ? ? ?221 1 1 1,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?AA AAnn pqE E n n p p D D n n p qn n n n nnn20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：167。1( ) 0 ,EX ?因 為 ，11 nkkXn????? P故 ， 0 ，11 1( ) ,E X x d x????11同 理 ，221221 1( ) ,E X x d x????112311 nkkXn?? ???? P 1 ，2211 nkkXn?? ???? P 1 。 11 n kkXn?? ?12, , , ,nX X X此外，定理中要求隨機變量的方差存在，但當(dāng)隨 機變量服從相同分布時，就不需要這一要求。設(shè) 隨 機 變 量 序 列 若 存 在 某 常 數(shù) ， 使 得 均 有 ： （ 或 ） 則 稱 隨 機 變 量 序 列 依 概 率 收 斂 于 常 數(shù) ， 記 為 ：定 義 ：a ??aa ??性質(zhì)： ,( , ( , )若 當(dāng) n 時 .函 數(shù) （ x,y ） 在 點 (a,b) 連 續(xù) ， 則 ） ， 當(dāng) n 時 .??? ??? ? ???? ? ?PPnnPnnX a Y bgg X Y g a b? ?? ?12111, , , ,101l i m l i 1m1,) 設(shè) 隨 機 變 量 序 列 相 互 獨 立 ， 服 從 同 一 分 布 ，且 存 在 數(shù) 學(xué) 期 望 ， 作 前 個 隨 機 變 量 的 算 術(shù) 平 均 ： 則 ， 有 ： ， 即 ， 當(dāng) 時 .(定 理，辛 欽 定 ：即理??? ? ? ????? ? ? ????????? ? ? ? ? ???????? ? ? ??????nnnkknnknnknPPnkkX X Xn Y XnP Y P XnY n Xn定理 ，當(dāng) n很大時， 的算術(shù)平均 接近于數(shù)學(xué)期望 。Chebyshev 例 1： 在 n重貝努里試驗中，若已知每次試驗事件 A出現(xiàn)的 概率為 ，試利用契比雪夫不等式 ,(1)若 n=7500,估計 A出 現(xiàn)的頻率在 ；（ 2）估計 n, 使 A出現(xiàn)的頻率在 。 1 大數(shù)定律 (laws of large numbers) ? 在給出大數(shù)定律之前，先介紹一個重要不等式 11,.一 定 的 條設(shè) 是 一 列 隨 機 變 量 ， 則 在隨 機 變 量 序 列 收 斂件到下內(nèi) ：容????nnnXXXXYn（ 1 ） 一 定 的 條 件 是 什 么 ？(2 ） 是 什 么 ?(3 ） 隨 機 變 量 序 列 收 斂 到 的 含 義 ？問 題 : ??nY? ? ? ?? ? ? ?? ?22222,0 , 。1 概 率 論 (續(xù)） 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象 統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科。 3 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 大數(shù)定律 中心極限定理 167。15. 1 .設(shè) 隨 機 變 量 具 有 數(shù) 學(xué) 期 望方 差 , 則 對 于 任 意 都定 理 契 比 雪 夫 不 等 式有 ：定 理 的 為：：等 價 形 式??? ? ? ???????? ? ? ? ?? ? ? ?X E XD X P XPX? ? ? ? ,X X f x證 明 ： 僅 就 為 連 續(xù) 型 時 證 之 設(shè) 的 概 率 密 度 為? ? ? ?xP X f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x d x???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DX ?????()fx??? ????22 2 2, , ,1( | | ) 設(shè) E( ） （ ） 取 ＝ （ ）（ ） 則 有 比 如 ： ? ? ? ????? ? ?? ? ? ?X D X K D X KDXP X KKK3,1( | | 3 ) ( ( 3 , 3 ) ) .9若 取 則 有? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?KP X P X2( , )8( | | 3 ) ( 3 ) ( 3 ) .9而 當(dāng) 時 ，????? ? ? ? ? ? ? ? ?XNPX說 明 不 等 式 應(yīng) 用 面 廣 ， 但 結(jié) 果 較 粗 糙 。 nA解 ： 設(shè) 在 重 貝 努 里 試 驗 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 為 X ，? ?, 0. 75bn?則 X, ? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E X n p n D X n p q n? ? ? ?? ?n XfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1XP P X n nn? ? ? ? ?(2)? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??? ? ? ?( 1 ) 7 5 0 0 , 0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1Xn P P X n nn? ? ? ? ? ?? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 7 57500? ? ?? ?1221, , , ,51.2 設(shè) 隨 機 變 量 序 列 相 互 獨 立 ， 且 具 有 相 同 的數(shù) 學(xué) 期 望 和 相 同 的 方 差 ， 作 前 個 隨 機 變 量 的 算 術(shù) 平定 理 契 比 雪 夫 不 等均 ： 式 的 特 殊 情 ： 形???? ?nnnkkX X XnYXn? ?111 ,nnkkE Y E X nnn ?????? ? ? ??????證 明 ： 由 于? ?11 nnkkD Y D Xn???? ????? ? ?2 11 n kkDXn?? ? 2221 n nn ??? ? ?2211 1n kknPXn??????? ? ? ? ??????由 契 比 雪 夫 不 等 式 得 ：11 1n kn kli m P Xn ???? ???? ? ? ??????? ?1101l i m l i m 1.1,) 則 ， 有 ： 即 ， 當(dāng) 時 .( 即 ，?? ? ? ???? ? ? ???????? ? ? ? ? ???????? ? ? ?????nnknnknPPnkkP Y P XnY n Xn 隨機變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?? ?1 2 3, , , ,0 , 1 ,0nnnnnY Y Y al i m P Y al i m P Y aYaPYan???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ????。這種接近是在 概率意義下的接近。 補充： 定理（ 契比雪夫大數(shù)律 ） 有則對于任意正數(shù)并有公共的上界且都具有有限的方差兩兩不相關(guān)設(shè)隨機變量???? ,C)X(D,C)X(D,C)X(D, ,X,X,Xn21n21????1111l im {| ( ) | } 0 .??? ??? ? ???nniiniiP X E Xnn證明 )(??????????? niinii XDnXnD12111,nC?由 契比雪夫不等式 可得 112211()1 1 /( ) ,ninnniiiiiDXCnP X E Xnn????????? ? ? ????????，則在上式中令 ??n.)( 0XEn1Xn1Pn1iin1ii ??????? ??? ????[證畢 ] （ 補充結(jié)束 ） 故兩兩不相關(guān)因為 ,}{ nX 例 2： 1121 1 1, , , , ~ ( 1 , 1 ) .1 1 11 2 3nn n nk k kk k kX X X UX X Xn n n? ? ??? ? ?設(shè) 隨 機 變 量 相 互 獨 立 同 分 布 ， 則（ ） ， （ ） ， （ ） 分 別 依 概 率 收 斂 嗎 ？如 果 依 概 率 收