【文章內(nèi)容簡介】 ??? ???? 0 1)(其中 )(~ 2 n?xyO（一） 分布 2?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 分布的性質(zhì) 2? 若 ，則 )(~ 2 nX ? .2, nDXnEX ??（ 1）數(shù)學(xué)期望與方差 證 由 分布的定義，有 2?22221 nXXXX ???? ?nXXX , 21 ?其中 相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 則 0?iEX 1?iDX 22 )( iii EXDXEX ?? 1?4iEX dxexx24221 ??????? ? )(21 23 2xedx ????? ?? ? ???????? ]2[23 2xex ? dxexx222213 ??????? ?230 iEX?? 3?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 分布的性質(zhì) 2?（ 1）數(shù)學(xué)期望與方差 證 由 分布的定義，有 2?22221 nXXXX ???? ?nXXX , 21 ?其中 相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 則 0?iEX 1?iDX 22 )( iii EXDXEX ?? 1?4iEX 3? 于是 )( 2iXD 224 )( ii EXEX ?? 213 2 ???EX )(12???niiXE ???niiEX12n?DX )(12???niiXD ???niiDX12n2? 若 ，則 )(~ 2 nX ? .2, nDXnEX ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回)(~ 2 mnYX ?? ?若 ,且 X與 Y獨立 ,則 )(~),(~ 22 mYnX ??（ 2）可加性 證 由 分布的定義，有 2?22221 nXXXX ???? ?于是 22 22 1 mnnn XXXY ??? ???? ?其中 相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn) mnnnn XXXXXX ??? ,, 2121 ??正態(tài)分布。 22 122221 mnnn XXXXXYX ?? ???????? ??)(~ 2 mn ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)總體 621 ,),1,0(~ XXXNX ?為取自總體 X的樣本 , 26542321 )()( XXXXXXY ??????令 求常數(shù) C，使 2~ ?CY廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)總體 621 ,),1,0(~ XXXNX ?為取自總體 X的樣本 , 26542321 )()( XXXXXXY ??????令 求常數(shù) C，使 2~ ?CY解 : 由已知有 321 XXX ?? )3,0(~ N ? 3 321 XXX ?? ),1,0(~ N同理有 3 654 XXX ?? ).1,0(~ N且 3 321 XXX ?? 與 3 654 XXX ?? 相互獨立 . 于是，由 分布的定義有 2?26542321 )3()3(XXXXXX ????? ),2(~ 2? .31?C?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回4321 , XXXX )4,0(N243221 )43()2( XXbXXaX ???? ?a?b 2~ ?X例 2 設(shè) 為來自正態(tài)總體 的簡單隨機樣本， ，則當(dāng) ， 時， ，其自由度為 。 記 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回4321 , XXXX )4,0(N243221 )43()2( XXbXXaX ???? ?a?b 2~ ?X例 2 設(shè) 為來自正態(tài)總體 的簡單隨機樣本， ，則當(dāng) ， 時， ，其自由度為 。 記 解： ),20,0(~2 21 NXX ? ).100,0(~43 43 NXX ?),1,0(~202 21 NXX ? ).1,0(~1 0 043 43 NXX ?221 )202( XX ? )2(~)1 0 043( 2243 ?XX ?? ,201?a .1001?b由已知有 標(biāo)準(zhǔn)化得 易知 202 21 XX ? 1 0 043 43 XX ?與 相互獨立， 于是，由 分布的定義有 2?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定義 設(shè) 且 X,Y相互獨立，則隨機變量 )(~),1,0(~ 2 nYNX ?nYXT ?所服從的分布稱為自由度為 n的 t 分布 (或稱學(xué)生氏分布 ),記為 )(~ ntT密度函數(shù) 212)1()2()21()(???????nnxnnnxf?)(~ ntxyO（二） t 分布 ?????? x廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回 t 分布的性質(zhì) （ 1） )(21)。(lim 22xenxfxn?? ?? ???（ 3） 0)( ?TE 2)( ?? n nTD )2( ?n（ 2） 為偶函數(shù)。 )(xfxyO212)1()2()21()(???????nnxnnnxf??????? x廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回521 , XXX ??c ?n,?d ?n,例 1 設(shè) 相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， )( 2221 XXc ? )(2 n?服從 ，則 （ 1）若 25242321XXXXXd??? )(nt服從 分布，則 （ 2）若 。 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回521 , XXX ??c ?n,?d ?n,例 1 設(shè) 相互獨立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， )( 2221 XXc ? )(2 n?服從 ，則 （ 1）若 25242321XXXXXd??? )(nt服從 分布，則 （ 2）若 。 。 解： （ 1） 由卡方分布的定義，易得 .2,1 ?? nc（ 2） 由已知有 ),2,0(~21 NXX ? 標(biāo)準(zhǔn)化得 )1,0(~2 21 NXX ?由卡方分布的定義有 ),3(~ 2252423 ?XXX ??且 2 21 XX ? 與 252423 XXX ?? 相互獨立。 于是 ,由 T分布的定義得 )3(~3/)( 2/)( 25242321 tXXXXX???得 ,23?d .3?n廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定義 mYnXF//?),(~ mnFF所服從的分布稱為 F分布。記為 設(shè) ，且 X與 Y相互獨立，則隨機變量 ),(~ 2 nX ? )(~ 2 mY ???????????????????0,00,)1()()2()2()2()(2211222121212111xxxnnxnnnnnnxfnnnn密度函數(shù) 第一自由度 第二自由度 ),(~ mnFxyO（三 ） F 分布 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回（三 ） F 分布 F 分布的性質(zhì) ),(~1 nmFX（ 1）若 ，則 ),(~ mnFX),1(~2 nFT（ 2）若 ，則 )(~ ntT設(shè) 且 X,Y相互獨立，則 )(~),1,0(~ 2 nYNX ?nYXT ? )(~ nt定義 mYnXF//?),(~ mnFF所服從的分布稱為 F分布。記為 設(shè) ，且 X與 Y相互獨立，則隨機變量 ),(~ 2 nX ? )(~ 2 mY ?第一自由度 第二自由度 ),(~ mnF廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回),0(~ 2?NX 1021 , XXX ?210292827262524232221XXXXXXXXXXaF?????????),4( bF ?a ?b,例 1 設(shè)隨機變量 是取自總體 X的簡單 服從分布 ，則 隨機樣本，已知統(tǒng)計量 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回),0(~ 2?NX 1021 , XXX ?210292827262524232221XXXXXXXXXXaF?????????),4( bF ?a ?b,例 1 設(shè)隨機變量 是取自總體 X的簡單 服從分布 ，則 隨機樣本，已知統(tǒng)計量 。 解 : 由已知 ),0(~ 2?NX 有 ).1,0(~ NX? 從而 ??? 1021 , XXX ?均服從 分布，且相互獨立。 )1,0(N 由卡方分布的定義有 )4(~)()()( 2242221 ???? XXXU ???