抽樣方法、用樣本估計總體及正態(tài)分布(編輯修改稿)
2025-03-26 02:13 本頁面
【文章內容簡介】 ξ ～ N ( 1 , 4 ) ，則 P ( 5 ξ 7 )＝ . ( 附： P ( μ － σ ξ μ ＋ σ ) ＝ 0 . 6 3 8 ， P ( μ － 2 σ ξ μ＋ 2 σ ) ＝ 0 . 9 5 4 ， P ( μ － 3 σ ξ μ ＋ 3 σ ) ＝ 0 . 9 9 7 ) 2 【解析】 ( 1 ) 由正態(tài)分布曲線的性質可知P ( ξ ≤ μ ) ＝ 0 . 5 . ( 2 ) 由于正態(tài)分布曲線關于 x ＝ 2 對稱． 又 P ( ξ c ＋ 1) ＝ P ( ξ c － 1) ， 因此c ＋ 1 ＋ c － 12＝ 2 ， ∴ c ＝ 2. ( 3 ) P ( 5 ξ 7 ) ＝ P ( μ ＋ 2 σ ξ μ ＋ 3 σ ) ＝0 . 9 9 7 － 0 . 9 5 42＝ 0 . 0 2 1 5 . 【點評】 正態(tài)分布問題求解切入點通常是應用數形結合思想和 “σ原則 ”及正態(tài)分布曲線的性質． 三、莖葉圖及應用 例 3 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A .將其與原有的一個優(yōu)良品種 B 進行對照試驗．兩種小麥各種植了 25 畝，所得畝產數據 ( 單位：千克 )如下： 品種 A ：3 5 7 , 3 5 9 , 3 6 7 , 3 6 8 , 3 7 5 , 3 8 8 , 3 9 2 , 3 9 9 , 4 0 0 , 4 0 5 , 4 1 2 , 4 1 4 , 4 15 , 4 2 1 , 4 2 3 , 4 2 3 , 4 2 7 , 4 3 0 , 4 3 0 , 4 3 4 , 4 4 3 , 4 4 5 , 4 4 5 , 4 5 1 , 4 5 4 . 品種 B ：3 6 3 , 3 7 1 , 3 7 4 , 3 8 3 , 3 8 5 , 3 8 6 , 3 9 1 , 3 9 2 , 3 9 4 , 3 9 4 , 3 9 5 , 3 9 7 , 3 97 , 4 0 0 , 4 0 1 , 4 0 1 , 4 0 3 , 4 0 6 , 4 0 7 , 4 1 0 , 4 1 2 , 4 1 5 , 4 1 6 , 4 2 2 , 4 3 0 . (1)完成數據的莖葉圖； (2)用莖葉圖處理現有的數據 ， 有什么優(yōu)點 ？ (3)通過觀察莖葉圖 ， 對品種 A與 B的畝產量及其穩(wěn)定性進行比較 ， 寫出統(tǒng)計結論 ． (2)由于每個品種的數據都只有 25個 ， 樣本不大 ，畫莖葉圖很方便 ， 此時莖葉圖不僅清晰明了地展示了數據的分布情況 ， 便于比較 ， 沒有任何信息損失 ， 還可以隨時記錄新的數據 ． (3)通過觀察莖葉圖可以看出： ① 品種 A的畝產平均數比品種 B高； ② 品種 A的畝產標準差比品種 B大 ， 故品種 A的畝產穩(wěn)定性較差 ． 【點評】 莖葉圖是新增知識點，既要會作莖葉圖，同時也要會看莖葉圖，但考綱要求為 “了解和會 ”的層次，注重基礎是關鍵． 例 4 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取流水線上 40 件產品作為樣本稱出它們的重量 ( 單位：克 ) ，重量的分組區(qū)間為( 4 9 0 , 4 9 5 ] ， ( 4 9 5 , 5 0 0 ] ， ? ， ( 5 1 0 , 5 1 5 ] ，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示． ( 1 ) 根據頻率分布直方圖，求這 40 件產品中重量超過 5 0 5 克的產品數量； ( 2 ) 在上述抽取的 40 件產品中任取 2 件，設 Y 為重量超過 5 0 5 克的產品數量，求 Y 的分布列； ( 3 ) 從該流水線上任取 5 件產品，求恰有 2 件產品的重量超過 505 克的概率． 【解析】 ( 1 ) 重量超過 505 克的頻率為 1 － ( 0 . 0 3 ＋0 . 0 4 ＋ 0 . 0 7 ) 5 ＝ 0 . 3 . 故重量超過 505 克的產品數量為 0 . 3 40 ＝ 1 2 ( 件 ) ． ( 2 ) Y 可取 0 , 1 , 2 ， P ( Y ＝ 0) ＝C228C240＝631 3 0； P ( Y ＝ 1) ＝C128C112C240＝2865； P ( Y ＝ 2) ＝C212C240＝111 3 0， ∴ Y 的分布列為 Y 0 1 2 P 631 3 0 2865 111 3 0 ( 3 ) 利用樣本估計總體，該流水線上產品超過 505 克的概率為 0 . 3 ，令 ξ 為任取 5 件產品重量超過 505 克的產品數量，則 ξ ～ B ( 5 , 0 . 3 ) ，故所求概率為 P ( ξ ＝ 2)＝ C 25 ( 0 . 3 ) 2 ( 0 . 7 ) 3 ＝ 0 . 3 0 8 7 . 【點評】 高考中關于直方圖及其應用的考查大有加強的趨勢，因此既要會作相關統(tǒng)計數據的直方圖，又要會觀察直方圖，提升識圖能力，同時還要加強與概率問題的綜合． 〔備選題〕例 5 某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加其中一組，在參加活動的職工中，青年人占4 2 . 5 % ，中年人占 4 7 . 5 % ，老年人占 1 0 % .登山組的職工占參加活動總人數的14，且該組中，青年人占50% ，中年人占 40% ，老年人占 1 0 % . 為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為 200 的樣本．試確定： ( 1 ) 游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例； ( 2 ) 游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數． 【解析】 ( 1 ) 設登山組人數為 x ，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為 a 、 b 、 c ，則有x 4 0 % ＋ 3 xb4 x＝ 4 7 . 5 % ，x 1 0 % ＋ 3 xc4 x＝ 1 0 % ，解得 b ＝ 5 0 % ， c ＝ 1 0 % .故
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