【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P(A|?B)=1/4 P(A|B)=1 4121121121)()()()()()()( ????????BAPBPBAPBPBAPBPABP 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 41 隨機(jī)變量及其概率分布 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量的概率分布 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 幾種常用的離散型概率分布 概率密度函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量 常見(jiàn)的連續(xù)型概率分布 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 42 隨機(jī)變量 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 43 隨機(jī)變量 (random variables) 1. 一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述 2. 一般用 X， Y， Z 來(lái)表示 3. 例如： 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量 4. 根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 44 離散型隨機(jī)變量 1. 隨機(jī)變量 X 取有限個(gè)值或所有取值都可以逐個(gè)列舉出來(lái) x1 , x2， … 2. 以確定的概率取這些不同的值 3. 離散型隨機(jī)變量的一些例子 試驗(yàn) 隨機(jī)變量 可能的取值 抽查 100個(gè) 產(chǎn)品 一家餐館營(yíng)業(yè)一天 電腦公司一個(gè)月的銷(xiāo)售 銷(xiāo)售一輛汽車(chē) 取到次品的個(gè)數(shù) 顧客數(shù) 銷(xiāo)售量 顧客性別 0,1,2, … ,100 0,1,2, … 0,1, 2,… 男性為 0,女性為 1 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 45 連續(xù)型隨機(jī)變量 1. 可以取一個(gè)或多個(gè)區(qū)間中任何值 2. 所有可能取值不可以逐個(gè)列舉出來(lái) ， 而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn) 3. 連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子 試驗(yàn) 隨機(jī)變量 可能的取值 抽查一批電子元件 新建一座住宅樓 測(cè)量一個(gè)產(chǎn)品的 長(zhǎng)度 使用壽命 (小時(shí) ) 半年后工程完成的百分比 測(cè)量誤差 (cm) X ? 0 0? X ?100 X ? 0 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 46 離散型隨機(jī)變量的概率分布 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 47 離散型隨機(jī)變量的概率分布 1. 列出離散型隨機(jī)變量 X的所有可能取值 2. 列出隨機(jī)變量取這些值的概率 3. 通常用下面的表格來(lái)表示 X = xi x1 ， x2 ， … ， xn P(X =xi)=pi p1 ， p2 ， … ， pn 4. P(X =xi)=pi稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù) ? pi?0 ； 11 ???niip 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 48 離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析 ) 【 例 】 一部電梯在一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) X及相應(yīng)的概率如下表 故障次數(shù) X = xi 0 1 2 3 概率 P(X=xi)?pi ? 一部電梯一周發(fā)生故障的次數(shù)及概率分布 (1) 確定 ?的值 (2) 求正好發(fā)生兩次故障的概率 (3) 求故障次數(shù)多于一次的概率 (4) 最多發(fā)生一次故障的概率 ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 49 離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析 ) 解： (1) 由于 +++? =1 所以 ， ? = (2) P(X=2)= (3) P(X? 2)=++= (4) P(X?1)=+= ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 50 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 51 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (expected value) 1. 離散型隨機(jī)變量 X的所有可能取值 xi與其取相對(duì)應(yīng)的概率 pi乘積之和 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度 3. 記為 ? 或 E(X) 4. 計(jì)算公式為 取無(wú)窮個(gè)值）取有限個(gè)值）XpxXEXpxXEiiiniii()(()(1????????? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 52 離散型隨機(jī)變量的方差 (variance) 1. 隨機(jī)變量 X的每一個(gè)取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望 ， 記為 ? 2 或 D(X) 2. 描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度 3. 計(jì)算公式為 4. 方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差 ， 記為 ? 或 ?D(X) iii pxXD ???? ?22 )()( ?? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 53 離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例題分析 ) 【 例 】 一家電腦配件供應(yīng)商聲稱 ， 他所提供的配件 100個(gè)中擁有次品的個(gè)數(shù)及概率如下表 次品數(shù) X = xi 0 1 2 3 概率 P(X=xi)?pi 每 100個(gè)配件中的次品數(shù)及概率分布 求該供應(yīng)商次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差 ? ?????????? ?iii px?8 3 9 0 5 )( 22 ???? ? ???iii px 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 54 幾種常用的離散型概率分布 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 55 常用離散型概率分布 離散型 概率分布 兩點(diǎn)分布 二項(xiàng)分布 泊松分布 超幾何分布 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 56 兩點(diǎn)分布 1. 一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X只取 0和 1兩個(gè)可能的值 2. 它們的概率分布為 3. 4. 或 3. 也稱 01分布 )10()( 1 ???? ? pqpxXP xxqpXPpXP ?????? 1)0()1( 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 57 兩點(diǎn)分布 (例題分析 ) 【 例 】 已知一批產(chǎn)品的次品率為 p＝ ， 合格率為 q=1p==。 并指定廢品用 1表示 ， 合格品用 0表示 。 則任取一件為廢品或合格品這一離散型隨機(jī)變量 ， 其概率分布為 X = xi 0 1 P(X=xi)=pi 0 1 1 x P(x) 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 58 二項(xiàng)試驗(yàn) (伯努利試驗(yàn) ) 1. 二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān) 2. 貝努里試驗(yàn)滿足下列條件 – 一次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果 ， 即 “ 成功 ” 和“ 失敗 ” ? “ 成功 ” 是指我們感興趣的某種特征 – 一次試驗(yàn) “ 成功 ” 的概率為 p ， 失敗的概率為 q =1 p， 且概率 p對(duì)每次試驗(yàn)都是相同的 – 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的 ， 并 可以重復(fù)進(jìn)行 n次 – 在 n次試驗(yàn)中 ， “ 成功 ” 的次數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)離散型隨機(jī)變量 X 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 59 二項(xiàng)分布 (Binomial distribution) 1. 重復(fù)進(jìn)行 n 次試驗(yàn) ， 出現(xiàn) “ 成功 ” 的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布 ， 記為 X~B(n， p) 2. 設(shè) X為 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù) ，X 取 x 的概率為 ? ?)!(!!),2,1,0(xnxnxnCnxqpCxXPxnxxn??????式中：? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 60 二項(xiàng)分布 1. 對(duì)于 P(X=x)? 0， x =1,2,… ,n， 有 2. 同樣有 3. 當(dāng) n = 1 時(shí) ， 二項(xiàng)分布化簡(jiǎn)為 1)( 20?????? qpqpCnxxnxxn? ? 1,011 ???? ? xqpxXP xx ，? ?? ? ????????????nmxxnxxnmxxnxxnqpCnXmPqpCmXP00 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 61 二項(xiàng)分布 (例題分析 ) 【 例 】 已知一批產(chǎn)品的次品率為 4%， 從中任意有放回地抽 取 5個(gè) 。 求 5個(gè)產(chǎn)品中： (1) 沒(méi)有次品的概率是多少 ？ (2) 恰好有 1個(gè)次品的概率是多少 ？ (3) 有 3個(gè)以下次品的概率是多少 ？ 80 . 8 1 5 3 7 2 6 9)()()0( 05005 ???? ?CXP20 . 1 6 9 8 6 9 3 1)()()1( 15115 ???? ?CXP 9 939 78 1 415 6 986 1 537 269)2()1()0()3(??????????? XPXPXPXP 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 3－ 62 泊松分布 (Poisson distribution) 1. 1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松 (， 1781— 1840)首次提出 2. 用于描述在一指定時(shí)間范圍內(nèi)或在一定的長(zhǎng)度 、面積 、 體積之內(nèi)每一事件出現(xiàn)次數(shù)的分布 3. 泊松分布的例子 – 一定時(shí)間段內(nèi) ， 某航空公司接到的訂票電話數(shù) – 一定時(shí)間內(nèi) ， 到車(chē)站等候公共汽車(chē)的人數(shù) – 一定路段內(nèi) ， 路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù) – 一定時(shí)間段內(nèi) ， 放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù) –