概率與概率分布抽樣調(diào)查理論與方法-北京商學(xué)院李平(編輯修改稿)
2025-06-15 06:57 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 盒子模型 一般抽樣調(diào)查面臨的總體只有有限多個(gè)初級(jí)單元。從總 體中抽樣，就相當(dāng)于從一個(gè)盒子里摸取若干張票，盒子里的 票數(shù)相當(dāng)于有限總體的單元個(gè)數(shù)，票上記載著反映該單元特 征的指標(biāo)的值。設(shè)總體有 N個(gè)單元，各指標(biāo)值為 則盒子如圖 2－ 1所示： NYYY , 21 ?NYYY , 21 ?圖 2－ 1 該盒中票的平均數(shù)為： )(1 21 NYYYNY ???? ?即總體平均數(shù)，它表示票上指標(biāo)的中心。 另一個(gè)重要的總體參數(shù)是盒中票的指標(biāo)的離散程度，用指標(biāo) 值關(guān)于中心的距離的平方和的平均數(shù)來(lái)表示： 212 )(1 YYN iNi?? ???這實(shí)際上是總體的方差；但大部分情況采用： 212 )(11 YYNS iNi??? ?? 如果我們只關(guān)心總體中具有某些特定類型的集合占整個(gè) 總體的比例，那么只需稍加處理，引入 0－ 1指標(biāo)，總體比例 的問(wèn)題立刻轉(zhuǎn)化為總體平均數(shù)的一個(gè)特例。 只要將盒子中的票子分為兩類，我們感興趣的一類全標(biāo) 上 1，其余的都標(biāo)上 0。于是盒子可用圖 2－ 2表示： 圖 2－ 2 1 0 個(gè)1N 個(gè)1NN ?則盒子中票子指標(biāo)的平均數(shù)為： NNYNY iNi111 ?? ??正好是我們關(guān)心的那類個(gè)體占總體的比例。因此，凡對(duì)總體 平均數(shù)有的結(jié)果，總體比例也有相應(yīng)的結(jié)果。 此時(shí)，盒子的方差化為： 212 )(1 YYN iNi?? ???}))(()({1 211211 NNNNN NNNN ????NNNNN 11 ???)0()1( 所占比例總體中所占比例總體中 ??常采用的方差表示為： 221 ??? NNSNNNNNNN 111????? 從盒子中作隨機(jī)抽取常常有兩種不同方式：隨機(jī)有放回 抽取和隨機(jī)無(wú)放回抽取。從直觀上看，隨機(jī)有放回方式存在 著一張票子被抽中兩次或兩次以上的可能性，而隨機(jī)無(wú)放回 方式則不存在這種可能。 在實(shí)際操作中，人們不太可能心甘情愿地花費(fèi)兩倍以上 的費(fèi)用去訪問(wèn)同一個(gè)單元。因此，隨機(jī)無(wú)放回通常比隨機(jī)有 放回應(yīng)“有效”一些，這一點(diǎn)將在第三章的討論中在理論上加 以肯定。但是，當(dāng)盒子中的票數(shù)相當(dāng)多，而抽取的票數(shù)相對(duì) 較少時(shí)，有許多事件的概率習(xí)性對(duì)于有放回或無(wú)放回兩種情 況幾乎差不多，因而有時(shí)候我們常從隨機(jī)有放回這一最簡(jiǎn)單 的形式入手討論問(wèn)題，而將有關(guān)的結(jié)果近似地套到隨機(jī)無(wú)放 回的情形。 這里討論的盒子模型是對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣而言的，至于分 層、分階段等其它情況無(wú)非是大盒子里放小盒子等。 隨機(jī)誤差與無(wú)偏估計(jì)量 先討論一個(gè)簡(jiǎn)單的具體例子。設(shè)有一個(gè)容量為 7的總體 由下面盒子給出，如圖 2－ 3所示： 圖 2－ 3 1 2 3 4 5 6 7 總體平均數(shù)和方差為： 471 71?? ??iiYY )(17 1 2712 ???? ?? YYS ii標(biāo)準(zhǔn)差 ?? SS 此時(shí)，盒子中指標(biāo)值以及總體的參數(shù) 和 對(duì)于調(diào)查者 來(lái)說(shuō)是未知的。調(diào)查者的任務(wù)就是從總體中抽出一個(gè)樣本， 構(gòu)造樣本估計(jì)量，來(lái)推斷總體平均數(shù) 和方差 。 YY2S2S 設(shè)樣本容量 n=3，使用樣本 的樣本均值和方 差 來(lái)估計(jì)總體的平均值 和方差 。 ),( 321 yyyiiyy ???3131 2312 )(131 yysii??? ??Y 2S考慮不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，由于抽樣是隨機(jī)的， 7個(gè)個(gè)體中 的任何 3個(gè)都可能入選樣本。所有可能的樣本數(shù)有 3737 C?????????此時(shí)，每一個(gè)樣本被抽中的概率都相等且為 ????????371如抽中樣本（ 2， 3， 6），則 )632(31 ????y])()()[(13 1 2222 ????????s用它們來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù)和方差，誤差如下： 對(duì)平均數(shù)有隨機(jī)誤差 ????? Yy對(duì)方差有隨機(jī)誤差 ????? Ss 由于樣本是隨機(jī)的，誤差也將隨著樣本的不同而發(fā)生 變化。如果我們的運(yùn)氣不佳，抽到樣本（ 1， 2， 3），此時(shí) 2)321(31 ????y1])23()22()21[(13 1 2222 ????????s隨機(jī)誤差分別為 242 ????? Yy ????? Ss隨機(jī)誤差就大得許多。也就是說(shuō)，用樣本平均數(shù)和方差 來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)和方差有時(shí)是很糟糕的。 為什么還要用樣本平均數(shù)和方差來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)和方差呢？ 原因一： 和 是樣本平均數(shù) 和方差 的波動(dòng)中心 Y 2S y 2s)(371之和所有可能的 y????????? ???????????互不相等321 ,321 )(31371yyyyyy)7654321(2631371?????????????????????????)7654321(42 6317 43 ????????? ??！ ??！ ??！換句話說(shuō)， 雖然估計(jì)量 和 會(huì)發(fā)生隨機(jī)誤差，隨機(jī)誤差 有正有負(fù)，但隨機(jī)誤差的平均值為 0?；蛘哒f(shuō)，所有可能的 和 的平均值分別為 和 。 y 2sy 2s 2SY以前述例子為例：所有可能的 的平均值為 yY????????? 4)7654321(71類似：所有可能的 的平均值為 2s)(371 2之和所有可能的 s????????? ? ???????????互不相等321 ,231)(21371yyyiiyy? ? ?????????????互不相等321 ,2231])(3)([21371yyyiiYyYy? ? ????????????互不相等321 ,231)(37121yyyiiYy ? ???????????互不相等321 ,2)(37123yyyYy22226731642323 S?????? ???原因二： 隨著樣本容量 n 的增大（與總體容量 N相比仍可 能很?。?， 與 以及 與 發(fā)生大的誤差的可能性越 來(lái)越小，以至于可以忽略，而誤差在 0 附近的可能性變得越 來(lái)越大，或者說(shuō)某種平均意義下的誤差越來(lái)越小。 Y 2Sy 2s 一般來(lái)說(shuō)，基于抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量 —— 通常記為 ，在 前面的例子中是 和 —— 作為參數(shù) 的估計(jì)量，總是希望 能夠較好地近似代表 。由于依據(jù)局部來(lái)估計(jì)總體避免不了 會(huì)發(fā)生誤差，這個(gè)誤差還是隨機(jī)的，任何兩次抽樣所產(chǎn)生的 誤差都不會(huì)相同，每次所產(chǎn)生的誤差都是這個(gè)隨機(jī)變量的一 次實(shí)現(xiàn)。 y 2sn???? 另外，待估參數(shù)又是未知的，我們也不可能知
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