概率與概率分布抽樣調(diào)查理論與方法-北京商學(xué)院李平-資料下載頁
2025-05-10 06:57本頁面
【正文】 但 沒有一個(gè)或數(shù)個(gè)因素起主導(dǎo)作用，那么我們認(rèn)為這個(gè)變量服 從正態(tài)分布。這個(gè)事實(shí)是由中心極限定理嚴(yán)格論證了的。一 般地，當(dāng)這些變量所來自的母體具有非零有限方差 ，而 時(shí)，成立： 2???n)()( ttEXXnP ???????????也就是說，當(dāng) n 很大時(shí)， 的分布可以近似地 用 代替。這就是在實(shí)際中我們把樣本平均數(shù)歸結(jié)為它具 有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的原因。 ?)( EXXn ?)(t? 在抽樣調(diào)查中，情況稍有不同，但結(jié)論類似。主要原因 是抽樣調(diào)查中總體是有限總體，大多數(shù)抽樣方式是隨機(jī)無放 回，因而樣本的抽取不滿足獨(dú)立同分布，不能直接應(yīng)用上述 中心極限定理。然而，當(dāng) N(總體總數(shù) )相當(dāng)大，抽樣樣本容量 n 相對(duì)較小時(shí)，隨機(jī)有放回與隨機(jī)無放回常有相類同的概率 習(xí)性。二十世紀(jì)六七十年代，一些概率統(tǒng)計(jì)工作者，如 Hajek 等人，對(duì)有限總體無放回抽樣的樣本平均數(shù)進(jìn)行了研究，得 到如下與獨(dú)立同分布變量相同的結(jié)論： 定理 ：設(shè)有限總體單元為 ，從中隨機(jī)無放 回抽取 n 個(gè)單元，記為 ，它們的平均數(shù)記為 ，總體平均數(shù)記作 ，方差記為 ，則當(dāng) 時(shí)，成立： NYYY , 21 ?nyyy , 21 ?y Y 2S ,??N????? nNn ,)()(11 21ttSYyNnP ???????????????????? ?? 上述定理告訴我們，當(dāng) N,n,N－ n相當(dāng)大時(shí)，可將 的分布近似地用看作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 SYyNn)(11 21??????? ? ?由于 1/N比 1/n小的多，將 1/N忽略， 代替 S，上式和前式即 為一致。 ? 在抽樣調(diào)查理論中，樣本平均數(shù) 的近似正態(tài)性的重 要作用之一，就是給出待估參數(shù) 和 的置信區(qū)間。 yY ??NiiY1前面講了總體平均數(shù) 的估計(jì) 以及標(biāo)準(zhǔn)誤差 Y ySNnnSNnyV a r 212 111)( ?????? ???????? ??由此可以構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，用 代替 ，得下面區(qū)間： sNnyYsNny21211111?????? ?????????? ??2s 2S由于 是未知參數(shù)，是某一固定值。由于 和 是隨機(jī)樣本 的函數(shù)，所以該區(qū)間是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間。它可能覆蓋 ，也可 能沒有覆蓋 。 yY sYY11 21??????????????????? ??SYyNnP由 可知，上述區(qū)間覆蓋 這一隨機(jī)事件的概率為 68%，稱此區(qū) 間為待估參數(shù) 的置信度為 68%的置信區(qū)間。其含義為如果 我們做了 100次抽樣調(diào)查，每次得到一個(gè)這樣的區(qū)間，在這些 區(qū)間中大約有 68個(gè)覆蓋了 。 YYY11 21??????????????????? ??SYyNnP由 sNnyYsNny2121112112?????? ?????????? ??可得 的置信水平為 95%的置信區(qū)間： Y11 21??????????????????? ??SYyNnP由 sNnyYsNny2121113113?????? ?????????? ??可得 的置信水平為 %的置信區(qū)間： Y?? ???????????????????? ??111 21kSYyNnP一般地，由 sNnkyYsNnky21211111?????? ?????????? ????可得 的置信水平為 的置信區(qū)間： Y ??1?k可查顯著性水平為 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表獲得。 ? 美中不足的是置信水平提高了，但是置信區(qū)間的寬度卻 加大了。在實(shí)際操作中只能是選擇適當(dāng)?shù)闹眯潘?，或者? 大樣本容量 n 來彌補(bǔ)。比如，在上海市 1994年人口變動(dòng)抽樣 調(diào)查中，常住人口總量 95%置信水平的置信區(qū)間估計(jì)為： ，而估計(jì)的和實(shí)際登記的戶籍人口總數(shù)為 ?1289萬，后一個(gè)數(shù)字是很精確的。但是，常住人口總量的置 信區(qū)間下界為 — =，比戶籍人口數(shù)小了 近 20萬人。眾所周知，人口總量應(yīng)該比戶籍人口總量大，顯 然，這里置信水平 95%過大了，選為 90%就可以了。 例 某大學(xué)有 25000名注冊(cè)學(xué)生。某學(xué)期進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查以 估計(jì)常住在學(xué)校的學(xué)生的百分?jǐn)?shù)。 1個(gè)月內(nèi)有 20天以上住在學(xué) 校者為常住。抽取了一個(gè) 400名學(xué)生的簡單隨機(jī)樣本，結(jié)果是 317名學(xué)生常住學(xué)校。試估計(jì)該學(xué)期該大學(xué)常住學(xué)校的學(xué)生的 百分比，并求估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差以及 68%的置信區(qū)間。 前面我們說過，比例的估計(jì)只是平均數(shù)估計(jì)的特例，只 要引進(jìn) 0— 1指標(biāo)即可。此時(shí)總體比例數(shù) P= ，樣本比例數(shù) p= ，總體方差和樣本方差分別為 Yy)1(12 PPN NS ??? )1(12 ppnns ???解： 樣本百分比為 %79%100400317 ??它是總體百分比的估計(jì) 估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差 sNnpV a r2111)(?????? ??%)791(%793994002500014001 21?????????? ??%?置信水平為 68%的置信區(qū)間： % 9 % ?即約有 的學(xué)生常住學(xué)校 % 9 % ?本章習(xí)題解答 習(xí)題 冰箱： N=25000 n=500 ??p為擁有冰箱比例的估計(jì) 樣本方差 23029659 )1(1500 5002 ???? pps估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 sNnpV a r2111)(?????? ??0 1 9 7 9 8 9 2 2 7 ???置信水平為 95％的置信區(qū)間為 )(2 pV a rp ??),( ????電視機(jī)： N=25000 n=500 ??p為擁有電視機(jī)比例的估計(jì) 樣本方差 00399198 )1(1500 5002 ???? pps估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 sNnpV a r2111)(?????? ??0 0 0 0 1 0 0 8 6 3 1 8 2 1 4 ???置信水平為 95％的置信區(qū)間為 )(2 pV a rp ??)9 9 9 6 0 9 5 7 9 (0 0 0 0 1 0 0 8 ，????
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