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第六章概率與概率分布-資料下載頁(yè)

2025-08-01 13:25本頁(yè)面
  

【正文】 P(X) F(X) —— 2022/8/17 37 4. 數(shù)學(xué)期望 在前面統(tǒng)計(jì)分組的討論中,我們?cè)诘玫筋l數(shù) (或頻率 )分布 后,為了對(duì)變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識(shí),分別研究了集中趨勢(shì)和離中 趨勢(shì)。而對(duì)集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)量度,我們分別得到了平均指標(biāo) 和變異指標(biāo),其中最有代表性的是算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。很顯 然,現(xiàn)在當(dāng)我們面對(duì)隨機(jī)變量的理論分布時(shí),也要對(duì)隨機(jī)變量的 集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)作概括性的描述,這就引出 數(shù)學(xué)期望 和 變異 數(shù) 這兩個(gè)概念。 所謂 數(shù)學(xué)期望 ,是反映隨機(jī)變量 X取值的集中趨勢(shì)的理論均 值 (算術(shù)平均 ),記作 E(X)。 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 2022/8/17 38 例 誰(shuí)的技術(shù)比較好 ? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技術(shù)比較好 2022/8/17 39 [例 ] 一家保險(xiǎn)公司在投保的 50萬(wàn)元人壽保險(xiǎn)的保單中,估計(jì)每 1000 保單每年有 15個(gè)理賠,若每一保單每年的營(yíng)運(yùn)成本及利潤(rùn)的期 望值為 200元,試求每一保單的保費(fèi)。 [解 ] 依題意知,利潤(rùn)的期望值 E(X)= 200(元 ) 設(shè) x1表示保費(fèi), x2為理賠費(fèi) [x2= (500000 x1)],則可得 所以, x1= 7700(元 )。即每一保單每年的保費(fèi)應(yīng)定在 7700元。 ?? xPXE )(2 0 0)]5 0 0 0 0 0([0 1 8 11 ????? xx2022/8/17 40 數(shù)學(xué)期望也常常記為 μ,在推論統(tǒng)計(jì)中同總體均值的記號(hào),而 則 在推論統(tǒng)計(jì)中被作為樣本均值的記號(hào)。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣,都是唯 一的,不過(guò)它是一個(gè)先驗(yàn)的理論值。由于它是用隨機(jī)變量各取值分別乘以 取值的概率來(lái)計(jì)算的,因此數(shù)學(xué)期望又可稱(chēng)為隨機(jī)變量的加權(quán)算術(shù)平均 數(shù)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來(lái),但它具有隨機(jī)性。在統(tǒng)計(jì)推論中, E(X) , 是 “ 估計(jì) ” 。 (2)常數(shù) c與隨機(jī)變量 X之積的期望等于 X的期望與 c的積, 即 E(cX)= cE(X) (3)兩個(gè)隨機(jī)變量之和的期望等于它們的期望之和, 即 E (X+Y)= E(X)+ E(Y) (4)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于它們的期望之積, 即 E(XY)= E(X)E(Y) (1)常數(shù) c的期望等于該常數(shù),即 E(c)= c 數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)基本性質(zhì): 和 都是為 μ服務(wù)的, E(X)是“期望” 2022/8/17 41 5. 變異數(shù) 數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量的集中趨勢(shì),但僅知道集中趨勢(shì)還不 夠,還應(yīng)該知道隨機(jī)變量在均值周?chē)碾x散程度,即離中趨勢(shì)。 變異 數(shù) 是綜合反映隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo),其功能相當(dāng)于描述統(tǒng)計(jì) 中已討論過(guò)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差,記用 D(X)。 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 由于變異數(shù)的單位是隨機(jī)變量單位的平 方。為了使隨機(jī)變量變異指標(biāo)的單位與其本身 的單位相同,將 D(X)開(kāi)方 (取正值 )稱(chēng)作隨機(jī)變 量 X的標(biāo)準(zhǔn)差 σ;同時(shí)為了更明確的表示 D(X) 與標(biāo)準(zhǔn)差之間只是開(kāi)方關(guān)系,索性把 D(X)寫(xiě) 成 σ2,并直接稱(chēng) D(X)為隨機(jī)變量 X的方差。 于是有 2022/8/17 42 很顯然隨機(jī)變量 X的變異數(shù)也可以寫(xiě)成 簡(jiǎn)化公式 當(dāng)然不難理解,在推論統(tǒng)計(jì)中隨機(jī)變量變異數(shù)的記號(hào)常 常同 總體方差 的記號(hào),即用 σ2表示之。而 S2 則被作為 樣本方 差 的記號(hào)。變異數(shù)和總體方差一樣,都是唯一的,不過(guò)它是 一個(gè)先驗(yàn)的理論值。樣本方差 S2 依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來(lái),但 它具有隨機(jī)性。 試求兩顆骰子點(diǎn)數(shù)的變異數(shù) D(X) 2022/8/17 43 變異數(shù)的幾個(gè)基本性質(zhì): (1)常數(shù) c的方差等于 0,即 D(c)= 0 (2)常數(shù) c與隨機(jī)變量 X之積的方差,等于隨機(jī)變量 X 的方差 c2倍,即 D(cX)= c2D(X) (3)隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差, 即 D(X+c)= D(X) (4)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們的方差和, 即 D(X+Y)= D(X) +D(Y) 2022/8/17 44
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