第六章概率與概率分布(參考版)
2024-08-12 13:25本頁(yè)面
【正文】 樣本方差 S2 依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來(lái)，但 它具有隨機(jī)性。而 S2 則被作為 樣本方 差 的記號(hào)。為了使隨機(jī)變量變異指標(biāo)的單位與其本身 的單位相同，將 D(X)開方 (取正值 )稱作隨機(jī)變 量 X的標(biāo)準(zhǔn)差 σ；同時(shí)為了更明確的表示 D(X) 與標(biāo)準(zhǔn)差之間只是開方關(guān)系，索性把 D(X)寫 成 σ2，并直接稱 D(X)為隨機(jī)變量 X的方差。 變異 數(shù) 是綜合反映隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)，其功能相當(dāng)于描述統(tǒng)計(jì) 中已討論過(guò)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，記用 D(X)。 (2)常數(shù) c與隨機(jī)變量 X之積的期望等于 X的期望與 c的積， 即 E(cX)＝ cE(X) (3)兩個(gè)隨機(jī)變量之和的期望等于它們的期望之和， 即 E (X+Y)＝ E(X)+ E(Y) (4)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量乘積的期望等于它們的期望之積， 即 E(XY)＝ E(X)樣本均值依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算而來(lái)，但它具有隨機(jī)性。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣，都是唯 一的，不過(guò)它是一個(gè)先驗(yàn)的理論值。即每一保單每年的保費(fèi)應(yīng)定在 7700元。 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 2022/8/17 38 例 誰(shuí)的技術(shù)比較好 ? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技術(shù)比較好 2022/8/17 39 [例 ] 一家保險(xiǎn)公司在投保的 50萬(wàn)元人壽保險(xiǎn)的保單中，估計(jì)每 1000 保單每年有 15個(gè)理賠，若每一保單每年的營(yíng)運(yùn)成本及利潤(rùn)的期 望值為 200元，試求每一保單的保費(fèi)。很顯 然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對(duì)隨機(jī)變量的理論分布時(shí)，也要對(duì)隨機(jī)變量的 集中趨勢(shì)和離中趨勢(shì)作概括性的描述，這就引出 數(shù)學(xué)期望 和 變異 數(shù) 這兩個(gè)概念。 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合計(jì) P(X) F(X) —— 2022/8/17 37 4. 數(shù)學(xué)期望 在前面統(tǒng)計(jì)分組的討論中，我們?cè)诘玫筋l數(shù) (或頻率 )分布 后，為了對(duì)變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識(shí)，分別研究了集中趨勢(shì)和離中 趨勢(shì)。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對(duì)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量概率的研究，而且由于它計(jì)算概率的起點(diǎn)都固定為 ―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達(dá)到計(jì)算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。 2022/8/17 34 這樣一來(lái)，隨機(jī)變量 X取值在區(qū)間 {x1 ， x2}上的概率等于概率密度曲線 下面 x1與 x2兩點(diǎn)之間面積，即 所以 有概率密 度的性質(zhì) 因?yàn)楦怕什豢赡苁秦?fù)的，且 2022/8/17 35 3. 分布函數(shù) 為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對(duì)隨機(jī)變量的概率進(jìn)行研究引入分布函 數(shù) 的概念，它被定義為 有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機(jī)變量 X取值在任意區(qū)間 {x1 ， x2}上的概率，即 連續(xù)型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 2022/8/17 36 和 (離散變量 )或 (連續(xù)變量 )的關(guān)系，就像向上累計(jì)頻率和頻率的關(guān)系一樣。類似地 ，以概率密度 為縱坐 標(biāo)，可以作出概率密度曲 線。 本書第三章第三節(jié)曾出 現(xiàn)過(guò)頻率密度的概念，頻率 密度等于頻率除以組距。 2022/8/17 33 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率 是無(wú)意義的。 2022/8/17 32 1. 離散型隨機(jī)變量的概率分布 離散型隨機(jī)變量的取值是可數(shù)的，如果對(duì) X的每個(gè)可能取值 xi計(jì) 算其實(shí)現(xiàn)的概率 Pi ，我們便得到了離散型隨機(jī)變量的概率分布，即 離散型隨機(jī)變量 的概率分布也可以用 表格和圖形兩種形式 來(lái)表示。 頻率分布有對(duì)應(yīng)的頻數(shù)分布。 頻率分布與概率分布的區(qū)別 經(jīng)驗(yàn)分布： 頻率分布是經(jīng)資料整理而來(lái) 。 2022/8/17 31 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合計(jì) P(X) 例如擲兩顆骰子的試驗(yàn)，點(diǎn)數(shù)就是隨機(jī)現(xiàn)象，它一共有 11種宏觀結(jié)果。 應(yīng)該指出，在統(tǒng)計(jì)中，概率分布是就隨機(jī)現(xiàn)象 呈現(xiàn)的宏觀結(jié)果而言的。 2022/8/17 30 第三節(jié) 概率分布、期望值與變異數(shù) 隨機(jī)事件及其概率回答的是隨機(jī)現(xiàn)象某一局部 結(jié)果，例如對(duì)給定的復(fù)合事件求先驗(yàn)概率。 ? 一個(gè)隨機(jī)樣本具有以下的性質(zhì)：不僅要給每 一個(gè)個(gè)體以相等的被抽中的機(jī)會(huì)，而且要給每一 種個(gè)體的組合以相等的被抽中的機(jī)會(huì)。 ? 嚴(yán)格來(lái)講，由于我們實(shí)際上總是做不回置抽 樣，因此獨(dú)立性的假定，是難以完全滿足的。如果我們 隨
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