吳贛昌編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第六章-資料下載頁
2025-01-21 17:47本頁面
【導(dǎo)讀】，Xn是來自X的一個(gè)樣本，12,,...naaa是任意常數(shù)，驗(yàn)證：。試確定常數(shù)c使22()XcS?，而由于樣本的一階矩和二階矩是總體的一階矩和二階矩的無偏估計(jì)，的泊松分布總體的樣本，試證對(duì)任意的常數(shù)k，統(tǒng)計(jì)量。，所以對(duì)任意的2kXkS??的指數(shù)分布，12,,,nXXX為樣本，令12min{,,,}nYXXX?為何值時(shí)，才能使cY為?【可能錯(cuò)誤，要改成1/?的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為11,0(). 的無偏估計(jì)量，并比較那一個(gè)更有效。所以T2較為有效。都是m的無偏估計(jì)量，并問哪一個(gè)估計(jì)量的方差更小。解：因?yàn)?2,XX獨(dú)立同分布于~(,1)XNm，所以,1iiEXmDX??，所以1m是m的無偏估計(jì)量；同理可驗(yàn)證其余兩個(gè)。
【正文】 題是在總體方差已知的情況下，用樣本均值去求總體均 值的置信區(qū)間。 由題意， 構(gòu)造樞軸量 ~ ( 0 ,1)2 .2 / 5 0XUN???，置信度 1 ??? ，樣本容量 50n? 所求為 {| | } U k??，其中 ???， 于是， 1 .9 6 1 .9 62 .2 / 5 0X ??? ? ?，即 1. 96 2. 2 / 50 1. 96 2. 2 / 50XX ?? ? ? ? ? ? 將 ? 代入，我們得到一個(gè)置信度為 ( )? 。 面粉廠接到顧客訂貨，場內(nèi)采用自動(dòng)流水線灌裝面粉，按每袋 20千克出售?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取 50袋，其結(jié)果列表如下（略），試求該廠自動(dòng)流水線灌裝袋裝總體 X的期望的點(diǎn)估計(jì)和期望的置信區(qū)間（置信度為 ）。 解： 由給出的容量為 50 的樣本值，可計(jì)算出樣本的均值 ? ，及樣本的方差2 255 , ??； 設(shè)總體的均值為 EX?? ， （ 1）則令 EX X? ，所以總體 X的期望的點(diǎn)估計(jì) ? ? ?? ； （ 2）因總體的方差未知，但我們已求得樣本的標(biāo)準(zhǔn)差， 則構(gòu)造樞軸量 ~ ( 1)/XT t nSn???? 則有 /2{| | ( 1 ) } 1P T t n? ?? ? ? ?，其中 0. 025 0. 0251 0 .9 5 , 5 0 , ( 5 0 1 ) 1 .9 6nt??? ? ? ? ? ?， 所以有 1 .9 6 1 .9 6/XSn??? ? ?，即 1 .9 6 / 1 .9 6 /X S n X S n?? ? ? ? 將 ? ， 50, ??代入，可得 ( )? 。 即這一批面粉有 95%的把握保證每袋面粉的重量在（ ， ）內(nèi)。 評(píng)注：如果這樣去灌裝的話，工廠的損失較大，因此需要對(duì)滾裝機(jī)器進(jìn)行修理。 某商店為了解居民對(duì)某種水平的需求，調(diào)查了 100戶，得出每戶每月平均需求量為 10千克，方差為9。如果這個(gè)商店供應(yīng) 10000 戶，試就居 民對(duì)該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（ ?? ），并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以 。 解：分析，總體 X表示居民對(duì) 這種商品的需求量，則居民對(duì)這種商品的平均需求量為 EX ?? ； 調(diào)查的 100戶居民的每戶每月平均需求量為 10千克，方差為 9，即是容量為 100的樣本均值與樣本方差，即 2100 , 10 , 9n x s? ? ?， （ 1）對(duì) ? 進(jìn)行區(qū)間估計(jì)。 構(gòu)造樞軸量 ~ ( 1)/XT t nSn????， 則有 /2{| | ( 1 ) } 1P T t n? ?? ? ? ?，其中 0. 005 0. 0051 9 , 100 , ( 100 1 ) 8nt??? ? ? ? ? ? 所以有 2 .5 8 2 .5 8/XSn??? ? ?，即 2 .5 8 / 2 .5 8 /X S n X S n?? ? ? ? 將 10x? ， 100, 3ns??代入，可得 (10 )? 。 即這批住戶以 99%的把握，每戶月均的需求量在 。 （ 2） 因?yàn)槊繎粼戮男枨罅吭? ，所以對(duì)于 10000個(gè)住戶，商店至少需要準(zhǔn)備 107740千克的商品才能以 。 觀測 100顆玉米穗粒，整理得到分組數(shù)據(jù)表如下（略），以 95%的置信度，求該玉米平均穗粒的置信區(qū)間。 解：略。根據(jù)分組數(shù)據(jù)表求出樣本均值和樣本方差，在用樞軸量 T去求置信區(qū)間。 1在一批貨物的容量為 100的樣本 中，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有 16只次品，試求這批貨物次品率的置信度為 的置信區(qū)間。 解：總體 X服從 參數(shù)為 p兩點(diǎn)分布 ， p為這批產(chǎn)品的次品率。 1 2 100, ,...X X X 為來自總體的容量為 100的樣本，則因?yàn)槿萘繛?100的樣本中，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有 16只次品，所以 10011 0 .1 6100 iiXX????， (1 ), ppE X p D Xn???，由中心極限定理，得當(dāng) n 充分大時(shí)( 1 ) /X E X X pU p p nDX???? ?近似服從 (0,1)N ，所以對(duì)于置信度 1 ??? ，有 /2{ | | } 1PU ???? ? ?，即 /2||(1 ) /Xpp p n ??? ?? ，即 2 2 2 2/ 2 / 2[ ( ) ] ( 2 ( ) ) 0n p n X p n X????? ? ? ? ? 令 2 2 2/ 2 / 2( ) , 2 ( ) , ( )a n b n X c n X????? ? ? ? ? ?， 得， 2 0ap bp c? ? ? ； 將 .1 6 , 1 0 0 , 1 .9 6Xn ?? ? ?代入，可得 , , b c? ? ? ? 由 2 0ap bp c? ? ? 解得 2212 11, ) ( ( 4 ) , ( 4 ) ) ( 0 . 1 0 1 , 0 . 2 4 4 )22p p b b a c b b a caa? ? ? ? ? ? ? ?（ 即 12{ } 1P p p p ?? ? ? ?，所以 p 的置信度為 (,) 。 1某城鎮(zhèn)抽樣調(diào)查的 500名應(yīng)該就業(yè)的人中，有 13名待業(yè)者，求該城鎮(zhèn)的待業(yè)率 p 的置信度為 的置信區(qū)間。 解：總體 X服從參數(shù)為 p 的兩點(diǎn)分布，即 1,0X ???? 待 業(yè)， 就 業(yè)， 1 2 500, ,...X X X 為來自總體的容量為 500的樣本，因?yàn)槌闃诱{(diào)查的 500名應(yīng)該就業(yè)的人中，有 13名待業(yè)者，所以 10011 0 .0 2 6500 iiXX????， , ???， 帶入 2 2 2/ 2 / 2( ) , 2 ( ) , ( )a n b n X c n X????? ? ? ? ? ?得 ,abc， 將 ,abc代入 2212 11, ) ( ( 4 ) , ( 4 ) )22p p b b a c b b a caa? ? ? ? ? ? ?（得 12? ?, ) ( 0 .0 1 5 , 0 .0 4 4 )pp ?（ 1設(shè) 12, ,... nX X X 為來自正態(tài)總體 2( , )N?? 的樣本，求 ? 的置信度為 1?? 的單側(cè)置信限。 解：假設(shè)方差未知，則需構(gòu)造樞軸量 ~ ( 1)/XT t nSn????。 置信下限： { ( 1)} 1P T t n? ?? ? ? ?，即有 ( 1)/X tnSn ??? ??，解得 ( 1) /X t n S n?? ? ? ? ； 置信上限： { ( 1)} 1P T t n? ?? ? ? ?，即有 ( 1)/X tnSn ??? ??，解得 ( 1) /X t n S n?? ? ? ? 1為研究某種輪胎的磨損特性，隨機(jī)選擇 16 只輪胎，每只輪胎行駛到磨壞為止，記錄所行駛的路程如下（略），假設(shè)這些數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體 2( , )N?? ， 2,?? 未知，求 ? 的置信度為 的單側(cè)置信下限。 解：我們希望的是行駛的路程越遠(yuǎn)越好，因此需要求 ? 的最小估計(jì)值。 因?yàn)?2,?? 未知，所以構(gòu)造的樞軸量為 ~ ( 1)/XT t nSn????， 因而其置信下限為 ( 1) /X t n S n?? ? ? ? ， 經(jīng)計(jì)算 , , 16x s n? ? ?，查表得 (15) ? 將其帶入，可得 ? ??
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