吳贛昌編概率論與數(shù)理統(tǒng)計第六章-在線瀏覽
2025-03-26 17:47本頁面
【正文】 43211 185)]()([91)]()([361)( θXDXDXDXDTD ????? 243212 41)]()()()([161)( θXDXDXDXDTD ????? D (T1) D (T2) 所以 T2較為有效。 解：因為 12,XX獨立同分布于 ~ ( ,1)X N m ，所以 ,1iiEX m DX??， 由于1 1 221()33E m E X X m? ? ?，所以 1m 是 m 的無偏估計量；同理可驗證其余兩個。 證明：（ 1）1 12X? ??和2 (1) 1 1X n? ???都是 ? 的無偏估計量。 證：因為 ~ [ , 1]XU??? ，所以 2 1 1,2 1 2E X D X? ??? （ 1） 12EX ???，所以1 1()2E E X??? ? ?，所以1 12X? ??是 ? 的無偏估計量。 由于 ~ [ , 1]XU??? ，所以 0,( ) , 11 , 1xF x x xx?? ? ?????? ? ? ? ?????? ( 1 ) ( 1 ) 1 2( ) { } {m in ( , , , ) } 1 [ 1 ( ) ] nXnF x P X x P X X X x F x? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) 1x?????時，( 1 ) 11( 1 ) ( ) ( ) { 1 [ 1 ( ) ] } [ 1 ( ) ] ( ) ( 1 )n n nXf x F x F x n F x f x n x?????? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 1( 1 ) 1(1 ) 1nE X x n x d x n?? ??? ?? ? ? ? ???， 所以2 (1 ) 1()1E E X n??? ? ??，所以2 (1) 1 1X n? ???是 ? 的無偏估計量 （ 2）由于 112DXDX nn??，所以1 11()2 1 2D D X n? ? ? ? 下求 (1)X 的方差， 由于 12 2 1 2( 1 ) 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12n nnE X x n x d x nn?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ???? 所以 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 221[ ] ( 1 ) ( 1 ) [ ]1 2 1 ( 1 ) ( 2 )n n nD X E X E X n n n n n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 所以2 ( 1 ) ( 1 ) 21() 1 ( 1 ) ( 2 )nD D X D Xn n n? ? ? ? ?? ? ? 顯然有 12DD??? 1設(shè)從均值為 ? ，方差為 2? 的總體中，分別抽取容量為 12,nn的兩獨立樣本， 12,XX為均值。 證：由題意 12,EX EX????，所以 12( ) ( )EY E aX bX a b ??? ? ? ? ?，即 12Y aX bX??都是 ? 的無偏估計。已知第 i 臺儀器測量時，則定值總體的標(biāo)準(zhǔn)差為 ( 1,2,... )i ik? ? 。設(shè)儀器沒有系統(tǒng)誤差 ，即( 1, 2 , ... )iEX i k??? 。 解： 分析，本題是根據(jù)測量儀器的標(biāo)準(zhǔn)差，來確定每臺儀器的權(quán)重，使 k臺儀器測量結(jié)果的加權(quán)平均得到的誤差最小。 ） 那么，如何根據(jù)儀器測量誤差 ( 1,2,... )i ik? ? 確定權(quán)重？這需要用到拉格朗日乘數(shù)法。 ) ( 1 ) ( 1 )k k kk i i i ii i iL a a a D a a a? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 令1212( , , ... 。 ) 0kikL a a aaL a a a????? ?? ????? ?? ??得到21201iikiiaa???? ???? ???? 得到 220iia????，所以22i ia ???，而1 1kii a? ??，所以有21 12ki i??? ?? 記221 011ki i??? ??，則 202??? ， 于是當(dāng) 202i ia ???時， D? 最小 . 1設(shè)有一批產(chǎn)品，為估計其廢品率 p ， 12, , , nX X X 為樣本且服從兩點分布，證明： pX? 是 p 的 一致 無偏估計。求下列 各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量。 （ 2）????? ????.,0 10,)(1其它 xxθxfθ 其中 θ0， θ為未知參數(shù)。 解：（ 1） Xθ cθθ cθcθ cθdxxcθdxxxfXE θθc θθ ???????? ???? ????? ?? 1,11)()( 1 令，得 cXXθ ?? （ 2） ,1)()( 10 ???? ?? ???? θ θdxxθdxxxfXE θ 2)1(,1 XXθXθ θ ???? 得令 （ 3） E (X) = mp 令 mp = X ， 解得 mXp?? 設(shè)總體 ~ [0, ]XU? ，求（ 1） ? 的矩估計量；（ 2）當(dāng)樣本觀察值為 ， ， ， ， ， 時，求 ? 的矩估計值。 解： 11(1 2 .. . ) 2EX ??? ?? ? ? ? ?，令 12 X?? ? ，解得參數(shù) ? 的矩估計量 21X???。 解：設(shè)這批產(chǎn)品為總體，則總體 ~ (1, )X B p ，則 EX p? ；設(shè) 1 2 60, , ,X X X 為來自總體的樣本，即抽取的 60件，其中 1,0i iX i?? ?? 第 次 抽 取 廢 品， 第 次 抽 取 正 品，因為是一大批產(chǎn)品，所以得到的樣本是簡單隨機樣本， 且 601 ii X??表示抽取的 60件產(chǎn)品中廢品的件數(shù)，所以11 n iiXXn ?? ?表示產(chǎn)品中廢品的平均件數(shù)， 因而11 4 16 0 1 5n iiXXn ?? ? ??，令 EX X? ，得 115p?。 解：因為 ~ ( , )X B k p ，所以 , (1 )EX k p D X k p p? ? ?，所以 22(1 ) ( ) (1 )E X k p p k p k p p k p? ? ? ? ? ?； 21211, 2 n iiA X A X????； 令 12 2EX AEX A??? ??，得 12(1 )kp Akp p kp A??? ? ? ??，解得2 21 2 1121221 2 1[ ] [ ]A A A XSpAXA XkA A A X S? ?? ??????? ??? ? ? ??其中 k要取整。 解：（ 1）矩估 計 X ~ π (λ )， E (X )= λ， 故 λ? =X 為矩估計量。()(2111?， λnxλxλL ni ini i ??? ?? ?? 11 !lnln)(ln Xλnλx
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