【正文】 X與 Y相互獨立 , ),(~),(~ 222211 ???? NYNX1, 21 nXXX ?為取自總體 X的樣本， 2, 21 nYYY ?為取自總 體 Y的樣本，記 ??? 1111 niiXnX??? 2121 niiYnY????? 112121 )(11 nii XXnS????? 212222 )(11 nii YYnS? ?? ??????? 1 21 122212 ])()([21 niniiiw YYXXnnS2)1()1(21222211??????nnSnSn廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定理 4 在上述兩個正態(tài)總體的條件下，有 （ 1） )1,0(~// )()(22212121 NnnYXu?????????（ 2） ),(~)(1)(12112222212121121nnFYnXnniinii??????????)1,1(~//)()1(1)()1(12122222121122221221121??????????? nnFSSYYnXXnniinii????（ 3） 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回)1,0(~// )()(22212121 NnnYXu?????????證明 已知 ),(~),(~ 222211 ???? NYNX有 ),(~),(~22221211 nNYnNX????從而有 ),(~22212121 nnNYX???? ???于是 定理 4 在上述兩個正態(tài)總體的條件下，有 （ 1） )1,0(~// )()(22212121 NnnYXu?????????廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定理 4 在上述兩個正態(tài)總體的條件下，有 （ 2） ),(~)(1)(12112222212121121nnFYnXnniinii??????????證明 已知總體 ),(~),(~ 222211 ???? NYNX有 )1,0(~11 NX i??? )1,0(~22 NY i???有 )(~)( 1221 111 nXnii ?????? )(~)(2221 222 nYnii ??????又兩總體 X與 Y相互獨立， 由 F分布的定義即得結(jié)論（ 2）。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定理 4 在上述兩個正態(tài)總體的條件下，有 )1,1(~//)()1(1)()1(12122222121122221221121??????????? nnFSSYYnXXnniinii????（ 3） 證明 已知總體 ),(~),(~ 222211 ???? NYNX有 )1(~)1()(1 122121112211 ??????nSnXXnii ???又兩總體 X與 Y相互獨立， 由 F分布的定義即得結(jié)論（ 3）。 )1(~)1()(1 222222212222 ??????nSnYYnii ???廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回（ 1） )2(~/1/1 )()( 212121 ?????? nntnnSYXw??)1,1(~)()1(1)()1(121222112212121??????????? nnFSSYYnXXnniinii（ 2） 定理 5 在定理 4的條件下，若 ，則有 22221 ??? ??（定理 4中， 的特殊情形） 22221 ??? ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定理 5 在定理 4的條件下，若 ，則有 （ 1） 22221 ??? ??)2(~/1/1 )()( 212121 ?????? nntnnSYXw??證明 )1,0(~//)()(22212121 NnnYXu?????????)2(~])()([1 2121 12221 2 ?????? ? ?? ?nnYYXXWniniii ??)1(~)(1 121221????nXXnii ?? )1(~)(1221222????nYYnii ??由 t 分布的定義有 整理即得結(jié)論（ 1）。 )2(~)2/( 2121???? nntnnW u廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回關(guān)于一般非正態(tài)總體的情況 定理 6 設(shè) 是取自總體 X的一個樣本， nXXX , 21 ?,02 ?? ?DX 當(dāng) n 較大時，近似地有 ,??EX（ 1） ),(~2nNX?? )1,0(~/ NnX???（ 2） )1,0(~/2NnBX ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回),(~ 2??NX nXXX , 21 ? X2S1?nX11??? ?nnSXXT n 1?n例 1 設(shè) 是取自總體 X的樣本， 為樣本均值， 為樣本方差， 是對 X的又一觀測值， 服從 t分布，自由度為 試證明統(tǒng)計量 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回nXXX , 21 ? )1,0(NX 2S)1,0(~ NXn )(~ 22 nnS ?)1(~)1( ?? ntS Xn)1,1(~)1(2221 ????nFXXnnii例 2（ 05） 設(shè) 為取自 的樣本，樣本均值為 ，樣本方差為 （ A） （ B） （ C） （ D） ，則 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回921 , XXX ? X)(61 611 XXY ??? ? )(31 9872 XXXY ???SYYZ )(2 21 ??例 3 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的簡單隨機樣本， 證明統(tǒng)計量 Z服從自由度為 2的 t分布。 22972 )(21 YXSii ?? ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回)(~ ntX 21XY ?例 4（ 03） 設(shè)隨機變量 ，則 服從的分布為 )(2 n? )1(2 ?n?)1,(nF ),1( nF（ B） （ C） （ D） （ A） 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回nXXX , 21 ? ),(~ 2??NX X?????nii XXnS1221 )(11 ????nii XXnS1222 )(1?????niiXnS1223 )(11 ?????niiXnS1224 )(1 ?)1( ?nt1/1 ???nSXt ?1/2 ???nSXt ?nSXt/3???nSXt/4???例 6 設(shè) 取自總體 的樣本， 為樣本 則服從 的隨機變量為 （ B） （ C） （ D） （ A） 均值，設(shè) 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回),(~ 2??NX nXXX , 21 ?,11???niiXnX ?????nii XXnS122 )(11 ?)(2SD例 7 設(shè)總體 是取自總體 X的樣本，記 ，則 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 8 設(shè) 與 分別來服從標準正態(tài)分布總體 X和 Y的一組相互獨立的簡單隨機樣本， 和 分別不其樣本均值，設(shè)隨機變量 4321 , XXXX 54321 , YYYYYX Y251241)()( YYXXZiiii ???? ?????則 Z的數(shù)學(xué)期望 EZ= 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回)0)(,(~ 2 ????NXnXXX , 21 ? X 2S2222 )( ?? ??? SXE2222 )( ?? ??? SXE22 )( ?? ??? SXE22 )( ?? ??? SXE例 10 設(shè) ，從總體 X中抽取樣本 ，樣本均值為 ，樣本方差為 （ A） （ B） （ C） （ D） ，則 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回