【正文】 2 ?????NxNii ?? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 87 現(xiàn)從總體中抽取 n＝ 2的簡單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有 42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果為： 所有可能的 n = 2 的樣本（共 16個(gè)） 第一個(gè) 觀察值 第二個(gè)觀察值 1 2 3 4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 2 2,1 2,2 2,3 2,4 3 3,1 3,2 3,3 3,4 4 4,1 4,2 4,3 4,4 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 88 計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布： 16個(gè)樣本的均值（ ） 第一個(gè) 觀察值 第二個(gè)觀察值 1 2 3 4 1 2 3 4 x 樣本均值的抽樣分布 0 P ( x ) x 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 89 的分布律 P( ) 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16 2/16 1/16 ?比較及結(jié)論： ? 樣本均值的均值 (數(shù)學(xué)期望 ) 等于總體均值 ?樣本均值的方差等于總體方差的 1/n xxxnxPxniixix2122 6 2 )()( ??? ???? ???? ??? ??)(1niiix xPx 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 90 ? = σ2 = 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 抽樣分布 P ( x ) 0 .1 .2 .3 x ?x? ?x? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 91 抽樣分布的形成過程 總體 計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量 如：樣本均值、比例、方差 樣本 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 92 一、樣本均值的抽樣分布 ?由 獨(dú)立同分布中心極限定理 ，如果 n充分大，當(dāng) 重復(fù)抽樣 時(shí)，樣本均值 服從均值為 μ，方差為 σ 2的正態(tài)分布，即 ? 即 一般認(rèn)為，樣本容量 n充分大的條件為 n≥30。 稱 為樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差。 x2,xNn????????( 0 , 1 ) .x Nn???x n?? ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 93 的分布趨于正態(tài)分布的過程 x 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 94 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)，有 2 ( ) 1 ,xP k kn???????? ? ? ??????? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 95 ?當(dāng)不重復(fù)抽樣時(shí)，可以證明，樣本均值 仍服從正態(tài)分布，其均值仍為總體均值 μ，而方差變?yōu)? ?其中 (Nn)/(N1)為修正系數(shù)。當(dāng) Nn時(shí)，修正系數(shù)可取近似值 1，即 (Nn)/(N1)≈1。 x2,1NnnN? ??? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 96 ?在樣本均值的抽樣分布中，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ 未知，則用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s代替。由 t分布的定義，統(tǒng)計(jì)量 ?服從自由度為 n1的 t分布，即 xsn??( 1 ) .x tnsn?? ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 97 例題分析 ? 【 例 】 考察 μ=100和 σ=20的正態(tài)總體。如果隨機(jī)選擇大小為 16的一組樣本，求這組樣本的均值落在 90與 110之間的概率。 ? 解： 由題意有 )25,100(~ Nx( 9 0 1 1 0 )9 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 05 5 5100( 2 2 )5( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 10 .9 5 4 4PxxPxPΦ Φ Φ驏 247。231。= 247。231。247。231。桫= = = = 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 98 例題分析 ? 【 例 】 幼兒園里孩子的身高是關(guān)于均值為 39英寸、標(biāo)準(zhǔn)差為 2英寸的近似正態(tài)分布。抽取大小為 25的一組隨機(jī)樣本，計(jì)算均值，求該均值在 。 ? 解： 由題意有 ),39(~ Nx( 3 8 .5 4 0 )3 8 .5 3 9 3 9 4 0 3 90 .4 0 .4 0 .4391 .2 5 2 .50 .4( 2 .5 ) ( 1 .2 5 ) 0 .8 8 8 2PxxPxPΦ Φ驏 247。231。= 247。231。247。231。桫驏 247。231。= 247。231。247。231。桫= = 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 99 例題分析 ?【 例 】 參看例題 2中幼兒園孩子的身高，在什么樣的正中央范圍內(nèi)樣本大小為 100的樣本均值的 90%抽樣分布落入其中？ ?解： ??????? ????????? aΦaΦ? ? ),39(~ ??? axPNx 且? ??????? ????? axaP 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 100 例題分析 ???? a ??? x2 ????????? aΦ???????? aΦ ??? x 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 101 二、樣本比率的抽樣分布 ?樣本比率 p： 樣本中具有某種性質(zhì)的單位 n0與全部單位 n總體之比 p=n0/n ?總體比率 π： 總體中具有某種性質(zhì)的單位N0與全部單位 N總體之比 π=N0/N ?如果從總體中簡單隨機(jī)抽樣，則每次抽中的單元具有性質(zhì) A的概率為 π。從總體中抽取一個(gè)容量為 n的簡單隨機(jī)樣本，則該樣本中具有性質(zhì) A的單元的個(gè)數(shù)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 (n,π)的二項(xiàng)分布，即 X~B(n,π)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 102 ?由 伯努利中心極限定理 ， 當(dāng) n充分大時(shí)，隨機(jī)變量 X近似服從均值為 nπ，方差為 nπ(1π)的正態(tài)分布，即 ?所以樣本比率 p=X/n近似服從均值為 π，方差為 π(1π)/n的正態(tài)分布，即 ?樣本比率抽樣估計(jì)中，當(dāng) np≥5，且 n(1p) ≥5時(shí)，認(rèn)為樣本容量 n充分大。 ( 1 ),.pNn??? ???????( , ( 1 ) ) ,X N n n? ? ?? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 103 ?在不重復(fù)抽樣的條件下，用修正系數(shù)對樣本比率的方差加以修正 ?所以 2 ( 1 ) ,1pNnnN??? ?????( 1 ),.1NnpNnN??? ???? ??? ??? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 104 ?【 例 】 某地招錄考試中，錄取比率為 10%，現(xiàn)隨機(jī)抽取了 100名考生，并計(jì)算這 100名考生的錄取比率。 ?試計(jì)算這 100名考生中錄取比率低于 7%的概率。 ?在什么樣的正中央范圍內(nèi)樣本容量為10000的樣本均值以 95%的概率落入其中？ 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 105 三、樣本方差的抽樣分布 ?由卡方分布的定義，對來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量 χ 2=(n1)s2/σ 2服從自由度為 n1的卡方分布，即 ?綜上，我們不難發(fā)現(xiàn)，抽樣分布給出了樣本統(tǒng)計(jì)量和其對應(yīng)的總體參數(shù)之間的關(guān)系，為抽樣估計(jì)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。 22~ ( 1 ) .n?? ? 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 106 抽樣分布形式 樣本統(tǒng)計(jì)量 樣本均值 x樣本比率 p 樣本方差 s2 大樣本 大樣本 正態(tài)總體 （小樣本） 正態(tài)分布 t分布 正態(tài)分布 χ2分布 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS SPSS在概率論中的應(yīng)用 統(tǒng)計(jì)學(xué)STATISTICS 1 108 思考題： 假設(shè)一個(gè)總體共有 6個(gè)數(shù)值： 6， 5， 1， 3， 4， 8. 從中按重復(fù)抽樣的方式抽取 n=2的隨機(jī)樣本。 求樣本均值 的抽樣分布。 x