【文章內(nèi)容簡介】 比． 12． (2022178。山東棗莊178。模擬 )如圖，以點(diǎn) O 為位似中心，將 △ ABC 放大得到 △ DEF，若 AD=OA，則 △ ABC 與 △ DEF 的面積之比為 1： 4 ． 【考點(diǎn)】 位似變換． 【分析】 由 AD=OA，易得 △ ABC 與 △ DEF 的位似比等于 1： 2，繼而求得 △ ABC 與 △ DEF的面積之比． 【解答】 解： ∵ 以點(diǎn) O 為位似中心，將 △ ABC 放大得到 △ DEF， AD=OA， ∴ AB： DE=OA： OD=1： 2， ∴△ ABC 與 △ DEF 的面積之比為： 1： 4． 故 答案為： 1： 4． 【點(diǎn)評】 此題考查了位似圖形的性質(zhì)．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方． 13． (2022178。上海普陀區(qū)178。一模 )已知在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。，點(diǎn) P、 Q 分別在邊 AB、 AC上， AC=4， BC=AQ=3，如果 △ APQ 與 △ ABC 相似，那么 AP 的長等于 或 ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)勾股定理求出 AB 的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式解答即可． 【解答】 解： ∵ AC=4， BC=3， ∠ C=90176。， ∴ AB= =5， 當(dāng) △ APQ∽△ ABC 時(shí)， = ，即 =， 解得， AP= ； 當(dāng) △ APQ∽△ ACB 時(shí)， = ，即 ， 解得， AP= ， 故答案為： 或 ． 【點(diǎn)評】 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等、正確運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵． 14． (2022178。上海普陀區(qū)178。一模 )已知 A（ 3， 2）是平面直角坐標(biāo)中的一點(diǎn)，點(diǎn) B 是 x 軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié) AB，并以 AB 為邊在 x 軸上方作矩形 ABCD，且滿足 BC： AB=1： 2，設(shè)點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)是 a，如果用含 a 的代數(shù)式表示 D 點(diǎn)的坐標(biāo)，那么 D 點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ 2，） ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】 如圖，過 C 作 CH⊥ x 軸于 H，過 A 作 AF⊥ x 軸于 F， AG⊥ y 軸于 G，過 D 作 DE⊥ AG于 E，于是得到 ∠ CHB=∠ AFO=∠ AED=90176。，根據(jù)余角的性質(zhì)得到 ∠ DAE=∠ FAB，推出△ BCH∽△ ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得 BH=AF=1， CH=BF= ，通過 △ BCH≌△ ADE，得到 AE=BH=1， DE=CH= ，求得 EG=3﹣ 1=2，于是得到結(jié)論． 【解答】 解：如圖，過 C 作 CH⊥ x 軸于 H，過 A 作 AF⊥ x 軸于 F， AG⊥ y 軸于 G，過 D作 DE⊥ AG 于 E， ∴∠ CHB=∠ AFO=∠ AED=90176。， ∴∠ GAF=90176。， ∴∠ DAE=∠ FAB， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABC=90176。， ∴∠ BCH=∠ ABF， ∴△ BCH∽△ ABF， ∴ ， ∵ A（ 3， 2）， ∴ AF=2， AG=3， ∵ 點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)是 a， ∴ OH=﹣ a， ∵ BC： AB=1： 2， ∴ BH=AF=1， CH=BF= ， ∵△ BCH∽△ ABF， ∴∠ HBC=∠ DAE， 在 △ BCH 與 △ ADE 中， ， ∴△ BCH≌△ ADE， ∴ AE=BH=1， DE=CH= ， ∴ EG=3﹣ 1=2， ∴ D（ 2， ）． 故答案為：（ 2， ）． 【點(diǎn)評】 本題考查了相似三角形 的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵． 15.（ 2022178。 吉林長春朝陽區(qū) 178。一模） 如圖，直線 l1∥ l2∥ l3，直線 AC 分別交 l l l3 于點(diǎn)A、 B、 C；過點(diǎn) B 的直線 DE 分別交 l l3 于點(diǎn) D、 E．若 AB=2， BC=4， BD=，則線段BE 的長為 3 ． 【考點(diǎn)】 平行線分線段成比例． 【專題】 計(jì)算題． 【分析】 根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 = ，然后把 AB、 BC、 BD 的值代入后利用比例的性質(zhì)可計(jì)算出 BE 的長． 【解答】 解： ∵ l1∥ l2∥ l3， ∴ = ，即 = ， ∴ BE=3． 故答案為 3． 【點(diǎn)評】 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例． 16.（ 2022178。河北石家莊178。一模） 如圖，正方形 ABCD 與正方形 EFGH 是位似形，已知 A（ 0，5）， D（ 0， 3）， E（ 0， 1）， H（ 0， 4），則位似中心的坐標(biāo)是 （ 0， ），（﹣ 6， 13） ． 【考點(diǎn)】 位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】 分別利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再利用當(dāng) B 與 F 是對應(yīng)點(diǎn)，以及當(dāng) B與 E 是對應(yīng)點(diǎn)分別求出位似中心． 【解答】 解：設(shè)當(dāng) B 與 F 是對 應(yīng)點(diǎn)，設(shè)直線 BF 的解析式為： y=kx+b， 則 ， 解得： ， 故直線 BF 的解析式為： y=﹣ x+ ， 則 x=0 時(shí)， y= ， 即位似中心是：（ 0， ）， 設(shè)當(dāng) B 與 E 是對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)直線 BE 的解析式為： y=ax+c， 則 ， 解得： ， 故直線 BE 的解析式為： y=﹣ 2x+1， 設(shè)直線 HF 的解析式為： y=dx+e， 則 ， 解得： ， 故直線 HF 的解析式為： y=﹣ x+5， 則 ， 解得： 即位似中心是：（﹣ 6， 13）， 綜上所述：所述位似中心為：（ 0， ），（﹣ 6， 13）． 故答案為：（ 0， ），（﹣ 6， 13） ． 【點(diǎn)評】 此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確分類討論得出是解題關(guān)鍵． 17.（ 2022178。廣東東莞178。聯(lián)考） 將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長為 20cm，點(diǎn) O為正方形的中心， AB=5cm，則 CD的長為 20 cm． 【考點(diǎn)】 正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)題意四邊形 BOCE 是正方形，且邊長等于大正方形的邊長的一半，等于 10cm，再根據(jù) △ DCE 和 △ DOA 相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可． 【解答】 解：如圖， ∵ 點(diǎn) O 為正方形的中心， ∴ 四邊形 BOCE 是正方形，邊長 =20247。2=10cm， ∵ CE∥ AO， ∴△ DCE∽△ DOA， ∴ ， 即 ， 解得 DC=20cm． 故答案為： 20． 【點(diǎn)評】 本題主要考查正方形各邊都相等，每個(gè)角都是直角的性質(zhì)和相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用． 18.（ 2022178。廣東深圳178。聯(lián)考） 如圖，已知矩形 OABC 與矩形 ODEF 是位似圖形， P 是位似中心，若點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2， 4），點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 2），則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 答案： （ 2， 0） 19.（ 2022178。 河南 三門峽 178。一 模） 如圖，在 平行四邊形 ABCD 中， E 是邊 BC 上的點(diǎn)，分別連 結(jié) AE、 BD 相交于點(diǎn) O，若 AD=5， 35BODO?，則 EC=__________ 答案： 2 三、解答題 1． (2022178。 浙江杭州蕭山區(qū) 178。模擬 )平面直角坐標(biāo)系中，有 A、 B、 C 三點(diǎn)，其中 A 為原點(diǎn)，點(diǎn) B 和點(diǎn) C 的坐標(biāo)分別為（ 5， 0）和（ 1， 2）． （ 1）證明： △ ABC 為 Rt△ ． （ 2）請你在直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn) D，使得 △ ABC 與 △ ABD 相似，寫出所有滿足條件的點(diǎn) D的坐標(biāo)，并在同一坐標(biāo)系中畫出所有符合要求的三 角形． （ 3）在第（ 2）題所作的圖中，連接任意兩個(gè)直角三角形（包括 △ ABC）的直角頂點(diǎn)均可得到一條線段，在連接兩點(diǎn)所得的所有線段中任取一條線段，求取到長度為無理數(shù)的線段的概率． 【考點(diǎn)】 相似形綜合題；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【專題】 綜合題；分類討論． 【分析】 （ 1）過點(diǎn) C 作 CH⊥ x 軸于 H，如圖 1，只需運(yùn)用勾股定理求出 AB AC BC2，然后運(yùn)用勾股定理的逆定理就可解決問題； （ 2） △ ABC 與 △ ABD 相似，對應(yīng)關(guān)系不確定，故需分六種情況（ ①若 △ ABC∽△ ABD，②若 △ ABC∽△ BAD， ③若 △ ABC∽△ ADB， ④若 △ ABC∽△ DAB， ⑤若△ ABC∽△ BDA， ⑥若 △ ABC∽△ DBA）討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題； （ 3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有 A、 B、 C、 D D D3，只需求出任意兩直角頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)和長度為無理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問題． 【解答】 解：（ 1）過點(diǎn) C 作 CH⊥ x 軸于 H，如圖 1， ∵ A（ 0， 0）， B（ 5， 0）， C（ 1， 2）， ∴ AC2=12+22=5， BC2=（ 5﹣ 1） 2+22=20， AB2=52=25， ∴ AB2=AC2+BC2， ∴△ ABC 為 Rt△ ； （ 2） ①若 △ ABC∽△ ABD， 則有 D1（ 1，﹣ 2）； ②若 △ ABC∽△ BAD，則有 D2（ 4，﹣ 1）， D3（ 4， 1）； ③若 △ ABC∽△ ADB，則有 D4（ 5，﹣ 10）， D5（ 5， 10）； ④若 △ ABC∽△ DAB，則有 D6（ 5，﹣ ）， D7（ 5， ）； ⑤若 △ ABC∽△ BDA，則有 D8（ 0，﹣ 10）， D9（ 0， 10）； ⑥若 △ ABC∽△ DBA，則有 D10（ 0，﹣ ）， D11（ 0， ）； 所有符合要求的三角形如圖所示． （ 3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有 A、 B、 C、 D D D3． 任意兩直角頂點(diǎn)的連線段共有 =15 條， 其中 AB=5， CD1=D2D3=4， CD2=D1D3=5， CD3=D1D2=3， 故長度為有理數(shù)的線段共 7 條，長度為無理數(shù)的線段共 8 條， 則取到長度為無理數(shù)的線段的概率為 p= ． 【點(diǎn)評】 本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（ 2）小題的關(guān)鍵． 3． (2022178。浙江鎮(zhèn)江178。模擬 )（本小題滿分 9 分） 如圖， AB 為⊙ O 的直徑， AB=2，點(diǎn)在 M 在 QO 上，MC 垂直平分 OA， 點(diǎn) N 為 直線 AB 上一動點(diǎn)（ N 不與A 重合）， 若△ MNP∽△ MAC， PC 與 直線 AB 所夾銳角為 α． （ 1）若 AM=AC，點(diǎn) N 與點(diǎn) O 重合，則 α= ▲ 176。； （ 2）若點(diǎn) C、點(diǎn) N 的位置如圖所示，求 α 的度數(shù)； ? C P M B O A C N （ 3） 當(dāng)直線 PC 與 ⊙ O 相切時(shí)， 則 MC 的長 為 ▲ ． （ 1） 如圖 ， α= 30 176。； （ 2） 連接 MO， ∵ MC 垂直平分 AO，∴ MA=MO=AO ∴ ∠ AMO=60176。，則 ∠ AMC=30176。． ∵ △MAQ∽ △MNP， ∴ MPMQMNMA?，NMPAMQ ???， ∴ ∠ AMN=∠ QMP， ∴ △AMN∽ △QMP， ∴ ∠ MAN=∠ MQP， ∴ α=∠ AMQ=30176。； （ 3）334． 4.（ 2022 青島一模） 把 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 按如圖（ 1）擺放（點(diǎn) C 與 E 重合），點(diǎn) B、C（ E）、 F 在同一條直線上．已知： ∠ ACB=∠ EDF=90176。， ∠ DEF=45176。， AC=8cm， BC=6cm，EF=10cm．如圖（ 2）， △ DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 CB 向 △ ABC 勻速移動，在 △ DEF 移動的同時(shí)，點(diǎn) P 從 △ ABC 的頂點(diǎn) A 出發(fā)， 以 2cm/s 的速度沿 AB 向點(diǎn)B 勻速移動；當(dāng)點(diǎn) P 移動到點(diǎn) B 時(shí)，點(diǎn) P 停止移動， △ DEF 也隨之停止移動． DE 與 AC 交于點(diǎn) Q，連接 PQ，設(shè)移動時(shí)間為 t（ s）． （ 1）用含 t 的代數(shù)式表示線段 AP 和 AQ 的長，并寫出 t 的取值范圍； （ 2）連接 PE，設(shè)四邊形 APEQ 的面積為 y（ cm2），試探究 y 的最大值； （ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)， △ APQ 是等腰三角形． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】 動點(diǎn)型． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出 CQ、 AQ，從而得出結(jié)論， M P O A C （ N） （ 2）作 PG⊥ x 軸，將四邊形的面積表示為 S△ ABC﹣ S△ BPE﹣ S△ QCE 即可求解， （ 3）根據(jù)題意以及三角形相似對邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】