【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 之比． 【解答】 解： ∵ 以點(diǎn) O為位似中心，將 △ABC 放大得到 △DEF ， AD=OA， ∴AB ： DE=OA： OD=1： 2， ∴△ABC 與 △DEF 的面積之比為： 1： 4． 故答 案為： 1： 4． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了位似圖形的性質(zhì)．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方． 13． (2020178。上海普陀區(qū)178。一模 )已知在 Rt△ABC 中， ∠C=90176。 ，點(diǎn) P、 Q 分別在邊 AB、 AC上， AC=4， BC=AQ=3，如果 △APQ 與 △ABC 相似，那么 AP 的長(zhǎng)等于 或 ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)勾股定理求出 AB的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式解答即可． 【解答】 解： ∵AC=4 ， BC=3， ∠C=90176。 ， ∴AB= =5， 當(dāng) △APQ∽△ABC 時(shí)， = ，即 =， 解得， AP= ； 當(dāng) △APQ∽△ACB 時(shí)， = ，即 ， 解得， AP= ， 故答案為： 或 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等、正確運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵． 14． (2020178。上海普陀區(qū)178。一模 )已知 A（ 3， 2）是平面直角坐標(biāo)中的一點(diǎn)，點(diǎn) B是 x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié) AB，并以 AB為邊在 x軸上方作矩形 ABCD，且滿足 BC： AB=1： 2，設(shè)點(diǎn) C的橫坐標(biāo)是 a，如果用含 a的代數(shù)式表示 D點(diǎn)的坐標(biāo)，那么 D點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ 2， ） ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)； 坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】 如圖，過 C作 CH⊥x 軸于 H，過 A 作 AF⊥x 軸于 F， AG⊥y 軸于 G，過 D作 DE⊥AG于 E，于是得到 ∠CHB=∠AFO=∠AED=90176。 ，根據(jù)余角的性質(zhì)得到 ∠DAE=∠FAB ，推出△BCH∽△ABF ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得 BH=AF=1， CH=BF= ，通過 △BCH≌△ADE ，得到 AE=BH=1， DE=CH= ，求得 EG=3﹣ 1=2，于是得到結(jié)論． 【解答】 解：如圖，過 C作 CH⊥x 軸于 H，過 A作 AF⊥x 軸于 F， AG⊥y 軸于 G，過 D作 DE⊥AG于 E， ∴∠CHB=∠AFO =∠AED=90176。 ， ∴∠GAF=90176。 ， ∴∠DAE=∠FAB ， ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴∠ABC=90176。 ， ∴∠BCH=∠ABF ， ∴△BCH∽△ABF ， ∴ ， ∵A （ 3， 2）， ∴AF=2 ， AG=3， ∵ 點(diǎn) C的橫坐標(biāo)是 a， ∴OH= ﹣ a， ∵BC ： AB=1： 2， ∴BH=AF=1 ， CH=BF= ， ∵△BCH∽△ABF ， ∴∠HBC=∠DAE ， 在 △BCH 與 △ADE 中， ， ∴△BCH≌△ADE ， ∴AE=BH=1 ， DE=CH= ， ∴EG=3 ﹣ 1=2， ∴D （ 2， ）． 故答案為：（ 2， ）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵． 15.（ 2020178。 吉林長(zhǎng)春朝陽區(qū) 178。一模） 如圖，直線 l1∥l 2∥l 3，直線 AC 分別交 l l l3于點(diǎn) A、 B、 C；過點(diǎn) B的直線 DE分別交 l l3于點(diǎn) D、 E．若 AB=2， BC=4， BD=，則線段 BE的長(zhǎng)為 3 ． 【考點(diǎn)】 平行線分線段成比例． 【專題】 計(jì)算題． 【分析】 根據(jù)平行線分線段成比例定理得到 = ，然后把 AB、 BC、 BD的值代入后利用比例的性 質(zhì)可計(jì)算出 BE的長(zhǎng)． 【解答】 解： ∵l 1∥l 2∥l 3， ∴ = ，即 = ， ∴BE=3 ． 故答案為 3． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 16.（ 2020178。河北石家莊178。一模） 如圖，正方形 ABCD與正方形 EFGH是位似形，已知 A（ 0，5）， D（ 0， 3）， E（ 0， 1）， H（ 0， 4），則位似中心的坐標(biāo)是 （ 0， ），（﹣ 6， 13） ． 【考點(diǎn)】 位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】 分別利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再利用當(dāng) B 與 F 是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，以及 當(dāng) B與 E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別求出位似中心． 【解答】 解：設(shè)當(dāng) B與 F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)直線 BF 的解析式為： y=kx+b， 則 ， 解得： ， 故直線 BF的解析式為： y=﹣ x+ ， 則 x=0時(shí)， y= ， 即位似中心是：（ 0， ）， 設(shè)當(dāng) B與 E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)直線 BE的解析式為： y=ax+c， 則 ， 解得： ， 故直線 BE的解析式為： y=﹣ 2x+1， 設(shè)直線 HF的解析式為： y=dx+e， 則 ， 解得： ， 故直線 HF的解析式為： y=﹣ x+5， 則 ， 解得： 即位似中心是：（﹣ 6， 13）， 綜上 所述：所述位似中心為：（ 0， ），（﹣ 6， 13）． 故答案為：（ 0， ），（﹣ 6， 13）． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，正確分類討論得出是解題關(guān)鍵． 17.（ 2020178。廣東東莞178。聯(lián)考） 將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長(zhǎng)為 20cm，點(diǎn) O為正方形的中心， AB=5cm，則 CD 的長(zhǎng)為 20 cm． 【考點(diǎn)】 正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)題意四邊形 BOCE是正方形，且邊長(zhǎng)等于大正方形的邊長(zhǎng)的一半，等于 10cm，再根據(jù) △ DCE和 △ DOA相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可． 【解答】 解：如圖， ∵ 點(diǎn) O為正方形的中心， ∴ 四邊形 BOCE是正方形，邊長(zhǎng) =20247。2=10cm ， ∵ CE∥ AO， ∴△ DCE∽△ DOA， ∴ ， 即 ， 解得 DC=20cm． 故答案為： 20． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查正方形各邊都相等，每個(gè)角都是直角的性質(zhì)和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用． 18.（ 2020178。廣東深圳178。聯(lián)考） 如圖，已知矩形 OABC 與矩形 ODEF是位似圖形， P是位似中心，若點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 2， 4），點(diǎn) E的坐標(biāo)為（﹣ 1， 2），則點(diǎn) P的坐標(biāo)為 答案： （ 2， 0） 19.（ 2020178。 河南三門峽 178。一 模） 如圖，在 平行四邊形 ABCD中， E 是邊 BC 上的點(diǎn)，分別 連結(jié) AE、 BD相交于點(diǎn) O，若 AD=5， 35BODO? ，則 EC=__________ 答案： 2 三、解答題 1． (2020178。 浙江杭州蕭山區(qū) 178。模擬 )平面直角坐標(biāo)系中，有 A、 B、 C三點(diǎn)，其中 A為原點(diǎn)，點(diǎn) B和點(diǎn) C的坐標(biāo)分別為（ 5， 0）和（ 1， 2）． （ 1）證明： △ABC 為 Rt△ ． （ 2）請(qǐng)你在直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn) D，使得 △ABC 與 △ABD 相似，寫出所有滿足條件 的點(diǎn) D的坐標(biāo)，并在同一坐標(biāo)系中畫出所有符合要求的三角形． （ 3）在第（ 2）題所作的圖中，連接任意兩個(gè)直角三角形（包括 △ABC ）的直角頂點(diǎn)均可得到一條線段，在連接兩點(diǎn)所得的所有線段中任取一條線段，求取到長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段的概率． 【考點(diǎn)】 相似形綜合題；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【專題】 綜合題；分類討論． 【分析】 （ 1）過點(diǎn) C作 CH⊥x 軸于 H，如圖 1，只需運(yùn)用勾股定理求出 AB AC BC2，然后運(yùn)用勾股定理的逆定理就可解決問題； （ 2） △ABC 與 △ABD 相似，對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定，故需分六種情況（ ① 若 △ABC∽△ABD ， ② 若△ABC∽△BAD ， ③ 若 △ABC∽△ADB ， ④ 若 △ABC∽△DAB ， ⑤ 若 △ABC∽△BDA ， ⑥ 若△ABC∽△DBA ）討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題； （ 3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有 A、 B、 C、 D D D3，只需求出任意兩直角頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)和長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問題． 【解答】 解：（ 1）過點(diǎn) C作 CH⊥x 軸于 H，如圖 1， ∵A （ 0， 0）， B（ 5， 0）， C（ 1， 2）， ∴AC 2=12+22=5， BC2=（ 5﹣ 1） 2+22=20， AB2=52=25， ∴AB 2=AC2+BC2， ∴△ABC 為 Rt△ ； （ 2） ① 若 △ABC∽△ABD ， 則有 D1（ 1，﹣ 2）； ② 若 △ABC∽△BAD ，則有 D2（ 4，﹣ 1）， D3（ 4， 1）； ③ 若 △ABC∽△ADB ，則有 D4（ 5，﹣ 10）， D5（ 5， 10）； ④ 若 △ABC∽△DAB ，則有 D6（ 5，﹣ ）， D7（ 5， ）； ⑤ 若 △ABC∽△BDA ，則有 D8（ 0，﹣ 10）， D9（ 0， 10）； ⑥ 若 △ABC∽△DBA ，則有 D10（ 0，﹣ ）， D11（ 0， ）； 所有符合要求的三角形如圖所示． （ 3）圖中的直 角三角形的直角頂點(diǎn)有 A、 B、 C、 D D D3． 任意兩直角頂點(diǎn)的連線段共有 =15條， 其中 AB=5， CD1=D2D3=4， CD2=D1D3=5， CD3=D1D2=3， 故長(zhǎng)度為有理數(shù)的線段共 7條，長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段共 8條， 則取到長(zhǎng)度為無理數(shù)的線段的概率為 p= ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識(shí)，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（ 2）小題的關(guān)鍵． 3． (2020178。浙江鎮(zhèn)江178。模擬 )（本小題滿分 9分） 如圖， AB為⊙ O的直徑， AB=2，點(diǎn)在 M在 QO上， MC垂直平分 OA， 點(diǎn) N為 直線 AB上一動(dòng)點(diǎn)（ N不與 A重合）， 若△ MNP∽△ MAC， PC與 直線 AB所夾銳角為 α ． （ 1）若 AM=AC，點(diǎn) N與點(diǎn) O重合，則 α= ▲ 176。 ； （ 2）若點(diǎn) C、點(diǎn) N的位置如圖所示，求 α 的度數(shù)； （ 3） 當(dāng)直線 PC 與 ⊙ O 相切時(shí)， 則 MC 的長(zhǎng) 為 ▲ ． （ 1） 如圖 ， α= 30 176。 ； （ 2） 連接 MO， ∵ MC垂直平分 AO，∴ MA=MO=AO ∴ ∠ AMO=60176。 ，則 ∠ AMC=30176。 ． ∵ △ MAQ∽ △ MNP， ∴MPMQMNMA?，NMPAMQ ???， ∴ ∠ AMN=∠ QMP， ∴ △ AMN∽ △ QMP， ∴ ∠ MAN=∠ MQP， ∴ α =∠ AMQ=30176。 ； （ 3）334． ? C P M B O A C N M P O A C （ N） 4.（ 2020 青島一模） 把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如圖（ 1）擺放（點(diǎn) C 與 E 重合），點(diǎn) B、 C（ E）、 F在同一條直線上．已知： ∠ACB=∠EDF=90176。 ， ∠DEF=45176。 ， AC=8cm， BC=6cm， EF=10cm．如圖（ 2）， △DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1cm/s的速度沿 CB 向 △ABC 勻速移動(dòng)，在 △DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn) P從 △ABC 的頂點(diǎn) A出發(fā)，以 2cm/s的速度沿 AB 向點(diǎn) B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn) P移動(dòng)到點(diǎn) B時(shí)，點(diǎn) P停止移動(dòng)， △ DEF也隨之停止移動(dòng)． DE與 AC交于點(diǎn) Q，連接 PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為 t（ s）． （ 1）用含 t的代數(shù)式表示線段 AP 和 AQ的長(zhǎng)，并寫出 t的取值范圍； （ 2）連接 PE，設(shè)四邊形 APEQ的面積為 y（ cm2），試探究 y的最大值； （ 3）當(dāng) t為何值時(shí)， △APQ 是等腰三角形． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】 動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出 CQ、 AQ，從而得出結(jié)論， （ 2）作 PG⊥x 軸，將四邊形的面積表示為 S△ABC ﹣ S△BPE ﹣ S△QCE 即可求解， （ 3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】 （ 1）解： AP=2t ∵∠EDF=90176。 ， ∠DEF=45176。 ， ∴∠CQE=45176。=∠DEF ， ∴CQ=CE=t ， ∴AQ=8 ﹣ t， t的取值范圍是： 0≤t≤5 ； （ 2）過點(diǎn) P作 PG⊥x 軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴PG=PBSinB= （ 10﹣ 2t） ∴y=S △ABC ﹣ S△PBE ﹣S△QCE = = ∴ 當(dāng) （在 0≤t≤5 內(nèi)）， y有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP