【文章內(nèi)容簡介】 ????????? 13分 分 △BQE∽△AOC ， △EBQ∽△AOC ， △QEB∽△AOC 三種情況討論可 得出． 10. (2021178。 浙江杭州蕭山區(qū) 178。模擬 )如圖， △ABC 和 △DEF 均是邊長為 4的等邊三角形， △DEF的頂點(diǎn) D為 △ABC 的一邊 BC的中點(diǎn)， △DEF 繞點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)，且邊 DF、 DE 始終分別交 △ABC 的 邊 AB、 AC于 點(diǎn) H、 G，圖中直線 BC兩側(cè)的圖形關(guān)于直線 BC成軸對稱．連結(jié) HH′ 、 HG、 GG′ 、H′G′ ，其中 HH′ 、 GG′ 分別交 BC 于點(diǎn) I、 J． （ 1）求證： △DHB∽△GDC ； （ 2）設(shè) CG=x，四邊形 HH′G′G 的面積為 y， ① 求 y關(guān)于 x的函數(shù)解析式和自變量 x的取值范圍． ② 求當(dāng) x為何值時， y的值最大，最大值為多少？ 【考點(diǎn)】 幾何變換綜合題． 【分析】 （ 1）由等邊三角形的特點(diǎn)得到相等關(guān)系，即可； （ 2）由相似三角形得到 ，再結(jié)合對稱，表示出相關(guān)的線段，四邊形 HH′G′G 的面積為 y求出即可． 【解答】 證明：（ 1）在正 △ABC 中， ∠ABC=∠ACB=60176。 ， ∴∠BHD+∠BDH=120176。 ， 在正 △DEF 中， ∠EDF=60176。 ， ∴∠GDC+∠BDH=120176。 ， ∴∠BHD=∠GDC ， ∴△DHB∽△GDC ， （ 2） ①∵D 為 BC的中點(diǎn)， ∴BD=CD=2 ， 由 △DHB∽△GDC ， ∴ ， 即： ， ∴BH= ， ∵H ， H′ 和 G， G′ 關(guān)于 BC 對稱， ∴HH′⊥BC ， GG′⊥BC ， ∴ 在 RT△BHI 中， BI=BH=， HI= BH= ， 在 RT△CGJ 中， CJ=CG=， GJ= CG= ， ∴HH′=2HI= ， GG’=2GJ= x， IJ=4﹣﹣， ∴y= （ + x）（ 4﹣﹣）（ 1≤x≤4 ） ② 由 ① 得， y=﹣ （ +x） 2+2 （ +x）， 設(shè) =a，得 y=﹣ a2+2 a， 當(dāng) a=4時， y最大 =4 ， 此時 =4，解得 x=2． 【點(diǎn)評】 此題是幾何變換綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定以及對稱的性質(zhì)，用 x表示線段是解決本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)． 11. (2021178。浙江麗水178。模擬 )（本題 12分） 如圖，將邊長為 2 的正方形紙片 ABCD折疊，使點(diǎn) B 落在 CD 上，落點(diǎn)記為 E（不與點(diǎn) C， D重合），點(diǎn) A落在點(diǎn) F處，折痕 MN 交 AD于點(diǎn) M，交 BC 于點(diǎn) N． （ 1）、若 21?CDCE， ① 求出 BN的長； ② 求AM的值； 若),2(1 為整數(shù)且 nnnCDCE ??則 BNAM的值是多少（用含 的式(2)子表 示）． 解 ： （ 1）① . ② . （ 1） ① ∵ 沿 MN折疊 B和 E重合， ∴BN=NE ， ∵ 21?DCCE， CD=2， ∴CE=1 ， 設(shè) BN=NE=x 在 Rt△CEN 中，由勾股定理得： NE2=CE2+CN2， x2=12+（ 2x） 2 x= 45， BN=NE= 45 ② ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴∠A=∠C=∠D=90176。 ， ∴∠QEN=∠B=90176。 ， ∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90176。 ， ∴∠DQE=∠CEN ， ∵∠D=∠C=90176。 ， ∴△DQE∽△CEN ， ∴DECNQEENDQCE ??， ∴12 452451????QEDQ， DQ= 34， EQ= 35， ∵ 折疊 A和 F重合， B和 E重合， ∴∠F=∠A=90176。 ， EF=AB=2， AM=MF， 在 Rt△MFQ 中，由勾股定理得： MQ2=MF2+FQ2， （ 2 34AM） 2=AM2+（ 2 35） 2， AM= 41 ∵ 沿 MN折疊 B和 E重合， ∴BN=NE ， ∵?DCCE= n1， CD=2， ∴CE= ， 設(shè) BN=NE=x 在 Rt△CEN 中，由勾股定理得： NE2=CE2+CN2， x2=2)2(n+（ 2x） 2 x=221nn?， BN=NE=22． ∵ 四邊形 ABCD是正方形 ， ∴∠A=∠C=∠D=90176。 ， ∴∠QEN=∠B=90176。 ， ∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90176。 ， ∴∠DQE=∠CEN ， ∵∠D=∠C=90176。 ， ∴△DQE∽△CEN ， ∴?DQCE1)1( 2 2??nn 12. (2021178。浙江金華東區(qū)178。 4 月診斷檢測 （本題 12 分） 在平面直角坐標(biāo)系 x Oy 中，矩形AOBD的頂點(diǎn) A為（ 0， 36 ），頂點(diǎn) B 為（ 6， 0），取 OB、 BD 邊上的中點(diǎn)分別記為點(diǎn) E、 F，以 BE， BF為邊作矩形 BEGF（如圖 241），將矩形 BEGF繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中 OE、DF所在直線交于點(diǎn) M. （ 1）當(dāng)矩形 BEGF繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)到如圖 242時，求證： △ OEB ∽ △ DFB； （ 2）當(dāng)矩形 BEGF繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)到 60176。 時， ① 求點(diǎn) M坐標(biāo)； ② 求點(diǎn) M在這個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑長； （ 3）在矩形 BEGF繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)一周的過程中，點(diǎn) E能否與點(diǎn) M重合，若能畫出相應(yīng)狀態(tài)圖，并求出點(diǎn) M坐標(biāo)；若不能，請說明理由 . 答案：（ 1）略（ 4分）； （ 2）① )33,9( （ 2分）；② 2? （ 2分）； （ 3） ）， 8 331538 5945( ?? ， ）， 8 153338 5945( （ 4分 ） . 13. （ 2021 蘇州二模）如圖，拋物線 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ?與雙曲線 ky x? 全相交于點(diǎn) A 、B ，且拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (一 2,2),點(diǎn) B 在第四象限內(nèi) .過點(diǎn) B 作直線BC //x 軸，點(diǎn) C 為直線 BC 與拋物線的另一交點(diǎn) ,已知直線 BC 與 x 軸之間的距離是點(diǎn) B到 y 軸的距離的 4倍 .記拋物線頂點(diǎn)為 E . (1)求雙曲線和拋物線的解析式 。 (2)計算 ABC? 與 ABE? 的面積 。 (3)在拋物線上是否存在點(diǎn) D ，使 ABD? 的面積等于 ABE? 的面積的 8倍 ?若存在，請求出點(diǎn) D 的坐標(biāo) 。若不存在，請說明理由 . 圖 241 圖 242 G FDABO E xyMGFDABOExy 解 : (1)因?yàn)辄c(diǎn) A （ 2， 2）在雙曲線 kyx?上， 4k?? ，所以雙曲線的解析式為 4y x?? . 設(shè) B 的坐標(biāo)為（ ,4mm? ）（ m ?? ） ，代入雙曲線解析式，得 1m? ， 拋物線的解析式為 2 3y x x?? ? . (2) 15ABCS? ? . ABE AEF BEFS S S? ? ???=158 . (3)存在點(diǎn) D （ 3， 18）滿足條件 . 14. （ 2021棗莊 41中一模） 在梯形 ABCD 中， AD∥BC ． AB=DC=AD=6， ∠ABC=60176。 ，點(diǎn) E、 F分別在 AD、 DC上（點(diǎn) E與 A、 D不重合）；且 ∠BEF=120176。 ，設(shè) AE=x， DF=y． （ 1）求證： △ABE∽△DEF ； （ 2）求出 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系； （ 3）當(dāng) x為何值時， y有最大值，最大值為多少？ 【考點(diǎn)】 相似形綜合題． 【分析】 （ 1）由 AD∥BC ， AB=DC， ∠ABC=60176。 ，由等腰梯形的性質(zhì)可得 ∠A=∠D ，等量代換易得 ∠A=∠BEF ，可得 ∠DEF=∠ABE ，證得結(jié)論； （ 2）由 △ABE∽△DEF ，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等，得出 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系； （ 3）利用配方法，將（ 2）中的函數(shù)關(guān)系式寫成頂點(diǎn)式，可求最大值． 【解答】 （ 1）證明： ∵AD∥BC ， AB=DC， ∠ABC=60176。 ， ∴∠A=∠D ， ∠A=120176。 ∵ ∠BEF=120176。 ， ∴∠A=∠BEF ， 又 ∵∠AEB+∠BEF+∠DEF=180176。 ， 在 △AEB 中， ∠AEB+∠A+∠ABE=180176。 ， ∴∠DEF=∠ABE ， ∴△ABE∽△DEF ； （ 2）解： ∵△ABE∽△DEF ， ∴ = ，即 =， 解得 y=﹣ x2+x； （ 3）解： ∵y= ﹣ x2+x=y=﹣（ x﹣ 3） 2+，且﹣＜ 0， ∴ 當(dāng) x=3時， y 最大值 =． 15 （ 2021178。 天津北辰區(qū) 178。 一摸） （本小題 10分） 已知四邊形 ABCD是平行四邊形，且以 AB為直徑的 ⊙ O經(jīng)過點(diǎn) D. （ Ⅰ ）如圖（ 1），若 45BAD? ? ?，求證： 與 ⊙ 相切； （ Ⅱ ）如圖（ 2），若 6AD?， 10?， ⊙ O交 CD邊于點(diǎn) F，交 CB邊延長線于點(diǎn) E， 求 BE， DF的長； （ Ⅰ ）證明：連接 OD. ∵ ∠ A=45176。 ， ∴ ∠ BOD=90176。. ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB∥ CD. ∴ ∠ CDO+∠ BOD=180176。. ∴ ∠ CDO=∠ BOD=90176。. ∴ CD與 ⊙ O相切 . （ Ⅱ ）連接 DE， EF， BD. ∵ AB是 ⊙ O直徑 ， ∴ ∠ ADB=90176。. ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ ADB=∠ EBD=90176。. ∴ DE是 ⊙ O直徑 . ∴ DE=AB=CD=10. ∴ BE=BC=AD=6. 在 Rt△ DEF和 Rt△ CEF中， 2 2 2EF DE DF??，2 2EF CE CF ∴ 2 2 2 2D E D F CE CF? ? ?. 設(shè) F x?，則 10CF x??. ∴ 2 2 2 210 12 (10 )xx? ? ? ?. 圖 （ 2） D B C F A E O 圖 （ 1） D B C A O D B C F A E O 圖 （ 2） 圖 （ 1） D B C A O 解得145x?.即145DF?. 16. （ 2021178。 天津北辰區(qū) 178。 一摸） （本小題 10分） 已知拋物線2( ) 2y a x h? ? ?（ a， h，是常數(shù)， 0a?）， 與 x軸交于點(diǎn) A， B， 與 y軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) M為拋物線頂點(diǎn) . （ Ⅰ ）若點(diǎn) A（ 1?， 0） ， B（ 5， 0） ， 求拋物線的解析式 ； （ Ⅱ ）若 點(diǎn) （ ， ），且 △ ABM是直角三角形，求拋物線的解析式； （ Ⅲ ）若拋物線與直線 16yx??相交于 M、 D兩點(diǎn) . ① 用含 a的式子表示點(diǎn) D的坐標(biāo)； ② 當(dāng) CD∥ x軸時，求拋物線的解析式 . 解： （ Ⅰ ） ∵ 拋物線與 x交 于 點(diǎn) A（ 1?， 0） ， B（ 5， 0） ， ∴ 根據(jù)對稱性，有 5 ( 1)hh? ? ? ?. ∴ 2h?. 把 A（ 1?， 0）代入2( 2) 2y a x? ? ?，有2( 1 2) 2 0a ? ? ? ?. 得 29a?. ∴ 22 ( 2) 29 ? ?. ?3 分 （ Ⅱ ） ∵ 拋物線與 x軸交于 A， B兩點(diǎn)，頂點(diǎn) M在直線2y??上， ∴ 0a?. 由 2( ) 2 0x h? ? ?，得2xha??. ∴ 2 2 2| ( ) ( ) | 2B h ha a a? ? ? ? ?. 設(shè)對稱軸 xh?交 x軸于點(diǎn) H，則 2MH?. ∵ △ ABM是直角三角形， ∴ 2AB MH?. ∴ 224a?. 解得，1a?. 把 （ 1?， 0）代入21 ( ) 22y x h? ? ?，有21 ( 1 ) 2 02 h? ? ? ?. 解得， 11h?， 23h??