【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x 33y 3x? ?? ??????，解得：3x433y4? ????? ???。 ∴ P3（ 3 3 344 ， ）。 ④ 若 ∠ OPB=900， ∠ BOP=600，則 △ OBA∽△ POB， 過點(diǎn) P 作 PH⊥ x軸， 在含 30 度角的 Rt△ POB 中， OB= 3 ，則 OP= 32 ， ∴ 在含 30 度角的 Rt△ POB 中， HP= 34 ， OH=34 。 ∴ P4（ 3344 ， ）。 綜上所述，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)：（ 3， 3 ），（ 1， 3 ），（ 3 3 344 ， ），（ 3344 ， ）。 【考點(diǎn)】 一次函數(shù)綜合題，動(dòng)點(diǎn)問題， 待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）用待定系數(shù)法求解。 （ 2）因?yàn)?點(diǎn) C為線段 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)， 所以可設(shè) 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 3d, d 33???????? ，從而根據(jù)條件 S 梯形 OBCD＝ 433 列方程求解。 （ 3）分 ∠ OBP=900 和 ∠ OPB=900 兩種情況，每種情況又分 ∠ BOP=600 和 ∠ BOP=300 兩種情況討論。 8.（ 2020 年 浙江衢州 14 分） 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB=6， BC=22， ∠ A=45186。，以 AB 所在直線為 x軸， A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，將等腰梯形 ABCD 饒 A點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90186。得到等腰梯形 OEFG（ O﹑ E﹑ F﹑ G 分別是 A﹑ B﹑ C﹑ D 旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（圖 1） 教育網(wǎng) （ 1）寫出 C﹑ F 兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 （ 2）等腰梯形 ABCD 沿 x軸的負(fù)半軸平行移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)后的 OA=x（圖 2），等腰梯形 ABCD 與等腰梯形 OEFG重疊部分的面積為 y，當(dāng)點(diǎn) D 移動(dòng)到等腰梯形 OEFG 的內(nèi)部時(shí)，求 y 與 x之間的關(guān)系式。 （ 3）線段 DC 上是否存在點(diǎn) P，使 EFP 為等腰三角形。若存在，求出點(diǎn) P 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【答案】 解：（ 1） C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 4， 2）， F 點(diǎn)的坐標(biāo)為（－ 2， 4）。 （ 2）當(dāng)點(diǎn) D移動(dòng)到等腰梯形 OEFG的內(nèi)部時(shí)， 2＜ x＜ 4，如圖， ∵ 重合部分是四邊形 ONDH，它的面積等于梯形 DNOA的面積減去 △ OHA的面積，梯形 DNOA上底為 x－ 2，下底為 x，高為 2，△ OHA的底邊為 x，高為 1x2 ， ∴ 2x 2 x 1 1 1y 2 x x x 2 x 22 2 2 4??? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ∴ 當(dāng)點(diǎn) D 移動(dòng)到等腰梯形 OEFG 的內(nèi)部時(shí)， y 與 x 之間的關(guān)系式為 21y x 2x 24? ? ? ?（ 2＜ x＜ 4）。 （ 3）存在。 易得 F（－ 2， 4）， E（ 0， 6）， EF=BC=22，設(shè) P（ p， 2）（ 2≤p≤4）， 根據(jù)勾股定理，得 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2 2E P p 6 2 p 1 6 F P p 2 4 2 p 4 p 8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 若 EP=FP，則 22p 16 p 4p 8? ? ? ?，解得： p=2。 若 EP=EF，則 2p 16 2 2?? ，即 2p8?? ，方程無(wú)解。 若 FP=EF，則 2p 4p 8 2 2? ? ? ，解得： p=0 或 p=4。都不符合 2≤p≤4，舍去。 綜上所述， 線段 DC 上存在點(diǎn) P，使 EFP 為等腰三角形，點(diǎn) P 坐標(biāo)為（ 2， 2）。 教育網(wǎng) 【考點(diǎn)】 平移和旋轉(zhuǎn)問題，等腰梯形的性質(zhì)，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的判定，勾股定理，分類思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）如圖，過點(diǎn) C 作 CM⊥ AB 于點(diǎn) M， ∵ 在等腰梯形 ABCD 中， AB=6， BC=22， ∠ A=45186。， ∴ CM=BM=2， OM=4。 ∴ C 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 4， 2）。 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， F 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 C點(diǎn)縱坐標(biāo)的相反數(shù)， F 點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于 C 點(diǎn)橫坐標(biāo)， EP=EF， ∴ F 點(diǎn)的坐標(biāo)為（－ 2， 4）。 （ 2）根據(jù)重合部分四邊形 ONDH 的面積等于梯形 DNOA的面積減去 △ OHA的面積列式即可。 （ 3）分 EP=FP， EP=EF， FP=EF 討論即可。 9.（ 2020年 浙江湖州 10分） 在 88 的正方形網(wǎng) 格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知 A(2， 4)， B(4， 2)。C 是第一象限內(nèi)的一個(gè)格點(diǎn)，由點(diǎn) C 與線段 AB 組成一個(gè)以 AB 為底，且腰長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的等腰三角形。 （ 1）填空： C 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ， △ ABC 的面積是 ； （ 2）將 △ ABC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn) 180176。得到 △ A1B1C1，連結(jié) AB BA1，試判斷四邊形 AB1A1B 是何種特殊四邊形，請(qǐng)說明理由； （ 3）請(qǐng)?zhí)骄浚涸?x 軸上是否存在這樣的點(diǎn) P，使四邊形 ABOP 的面積等于 △ ABC 面積的 2 倍。若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo) (不必寫 出解答過程 )；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【答案】 解：（ 1）（ 1， 1）， 4。 （ 2）四邊形 AB1A1B 是矩形。理由如下： 教育網(wǎng) ∵ AC=A1C， BC=B1C， ∴ 四邊形 AB1A1B 平行四邊形。 又 ∵ AC=BC， ∴ AA1=BB1。 ∴ 四邊形 AB1A1B 是矩形。 （ 3）存在。點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 0），（－ 1， 0）。 【考點(diǎn)】 網(wǎng)格 問題， 等腰三角形的性質(zhì)， 勾股定理， 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 矩形的判定，分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 【分析】 （ 1）此點(diǎn)應(yīng)在 AB 的垂直平分線上，在第一象限，腰長(zhǎng)又是無(wú)理數(shù)，只有是點(diǎn)（ 1， 1）。 從 A， B 向 x 軸引垂線，把所求的三角形的面積分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形的面積減去一個(gè)直角三角形的面積。 （ 2）旋轉(zhuǎn) 180176。后可得新四邊形的對(duì)角線互相平分，那么先判斷是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到對(duì)角線相等，那么所求的四邊形是矩形。 （ 3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合（ 1）中的方法解答易得四邊形 ABOP 的面積等于 8． 同（ 1）中的方法得到三點(diǎn) A， B， O 構(gòu)成的面積為 6。 當(dāng) P 在 O 左邊時(shí)， △ APO 的面積應(yīng)為 2，高為 4，那么底邊長(zhǎng)為 1，所以 P（－ 1， 0）； 當(dāng) P 在 O右邊時(shí)， △ BOP 的面積應(yīng)為 2，高為 2，所以底邊長(zhǎng)為 2，此時(shí) P 坐標(biāo)為（ 2， 0）。故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 2， 0），（－ 1， 0）。 10.（ 2020年 浙江湖州 12分） 如圖， P 是射線 y＝ 35 x(x＞ 0)上的一動(dòng)點(diǎn)，以 P 為圓心的圓與 y 軸相切于 C 點(diǎn)，與 x軸的正半軸交于 A、 B 兩點(diǎn)。 （ 1）若 ⊙ P 的半徑為 5，則 P 點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ， )； A點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ， )；以 P 為頂點(diǎn)，且經(jīng)過 A點(diǎn)的拋物線的解析式是 ； （ 2）在（ 1）的條件下，上述拋物線是否經(jīng)過點(diǎn) C 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) D，請(qǐng)說明理由； （ 3）試問：是否存在這樣的直線 l，當(dāng) P 在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過 A、 B、 C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線 l上？若存在，請(qǐng)求出直線 l的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由。 教育網(wǎng) 【答案】 解：（ 1） P（ 5， 3）； A（ 1， 0）； ? ? 23y x 5 316? ? ? ?。 （ 2） C 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 8 的坐標(biāo)為（ 0，－ 3）， ∵ 當(dāng)ｘ＝ 0 時(shí)， ? ?23 2 7y 0 5 31 6 1 6? ? ? ? ? ?， ∴ D 點(diǎn)不在拋物線 ? ?23y x 5 316? ? ? ?上。 （ 3） 存在。 設(shè) P（ m， 3m5 ）， m＞ 0， 過點(diǎn) P 作 PQ⊥ AB，垂足為 Q，則 AQ=BQ， ∵ PA=PC=m， PQ=3m5 ， ∴ AQ=4m5 。 ∴ A（ 1m5 ， 0)， B（ 9m5 ， 0）， C（ 0， 3m5 ）。 設(shè)經(jīng)過 A， B， C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 19y a x m x m55? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?， 將 C（ 0， 3m5 ） 代入解析式，得： 3 1 9m a 0 m 0 m5 5 5? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?，解得： 5a 3m? 。 ∴ 經(jīng)過 A， B， C 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 5 1 9y x m x m3 m 5 5? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? 。 ∵ ? ? 225 1 9 5 1 0 3 5 1 6y x m x m x x m x m m3 m 5 5 3 m 3 5 3 m 1 5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 16m, m15? ）。 教育網(wǎng) ∴ 存在直線 l： 16yx15?? ，當(dāng) P 在射線 3yx5? 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過 A， B， C 三 點(diǎn)著拋物線著頂點(diǎn)都在直線上。 【考點(diǎn)】 一、二次函數(shù)綜合題， 動(dòng)點(diǎn)問題，直線與圓相切的性質(zhì)，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理。 【分析】 （ 1） ∵ 圓的半徑為 5，且 圓與 y 軸相切， ∴ P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 5。 ∵ P 點(diǎn)在射線 3yx5? 上， ∴ P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 3。 ∴ P（ 5， 3）。 連接 PA，過 P 作 PM⊥ BA于 M，則 AP=5， PM=3， ∴ 根據(jù)勾股定理可得： AM=4。 ∵ OM=5， ∴ OA=1。 ∴ A（ 1， 0）。 設(shè) 以 P 為頂點(diǎn)，經(jīng)過 A點(diǎn)的拋物線的解析式為 ? ?2y a x 5 3? ? ? ， 將 A（ 1， 0）代入，得 ? ?20 a 1 5 3? ? ? ，解得： 3a 16?? 。 ∴ 以 P 為頂點(diǎn)，經(jīng)過 A點(diǎn)的拋物線的解析式為 ? ?23y x 5 316? ? ? ?。 （ 2）因?yàn)?以 P 為圓心的圓與 y 軸相切于 C 點(diǎn)，所以 C（ 0， 3），從而得 D（ 0，－ 3），代入（ 1） 的拋物線的解析式即可判斷出 D 點(diǎn)是否在拋物線上。 （ 3）仿照（ 1）的解題過程進(jìn)行求解．可先根據(jù)直線 OP 的解析式設(shè)出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，然 后用 P 點(diǎn) 的橫坐標(biāo)仿照（ 1）的方法求出 A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出過 A， B， C 三點(diǎn)的拋物線的解析式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出所求的直線解析式。 11.（ 2020年 浙江衢州 14分） 如圖，點(diǎn) B1（ 1， y1）， B2（ 2， y2）， B3（ 3， y3） … ， Bn（ n， yn）（ n是正整數(shù)）依次為一次函數(shù) 11yx4 12??的圖像上的點(diǎn)， 點(diǎn) A1（ x1， 0）， A2（ x2， 0）， A3（ x3， 0）， … ， An（ xn， 0）（ n是正整數(shù)）依次是 x軸正半軸上的點(diǎn)，已知 x1=a（ 0＜ a＜ 1） ， △ A1B1A2， △ A2B2A3， △ A3B3A4… ， △ AnBnAn+1分別是以 B1， B2， B3， … ， Bn 為頂點(diǎn)的等腰三角形． （ 1）寫出 B2， Bn兩點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2）求 x2， x3（用含 a 的代數(shù)式表示）；分析圖形中各等腰三角形底邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系，寫出你認(rèn)為成立的兩個(gè)結(jié)論； 教育網(wǎng) （ 3）當(dāng) a（ 0＜ a＜ 1）變化時(shí)，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相應(yīng)的 a 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】 解：（ 1） B2（ 2， 712 ）， Bn（ n， n14 12? ）。 （ 2） 23x 2 a x 2 a? ? ? ?， 。 結(jié)論 1：頂點(diǎn)為 B1， B3， B5，等奇數(shù)位置上的等腰三角形底邊長(zhǎng)都等于 2－ 2a； 結(jié)論 2：頂點(diǎn)為 B2， B4， B6，等偶數(shù)位置上的等腰三角形底邊長(zhǎng)都等于 2a； 結(jié)論 3：每相鄰的兩個(gè)等腰三角形底邊之和都等于常數(shù) 2。 （ 3）設(shè)第 n 個(gè)等腰三角形恰好為直角三角形，那么這個(gè)三角形的底邊等于高 yn的 2 倍，由第（ 2）小題的結(jié)論可知： 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ,有 n12 2a 24 12??? ? ?????,化簡(jiǎn)得 : 11n 4 a (0 a 1)3? ? ? ? ? ∴ 1 11n33? ? ? ，即 n=1 或 3。 ∴ 21a 36? 或 。 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ,有 n12a 24 12????????,化簡(jiǎn)得 : 1n 4a (0 a 1)3? ? ? ?。 ∴ 1 11n33? ? ? ，即 n=2。 ∴ 7a 12? 。