【正文】 ∴ A（ 1m5 ， 0)， B（ 9m5 ， 0）， C（ 0， 3m5 ）。 教育網(wǎng) 【答案】 解：（ 1） P（ 5， 3）； A（ 1， 0）； ? ? 23y x 5 316? ? ? ?。 當(dāng) P 在 O 左邊時(shí)， △ APO 的面積應(yīng)為 2，高為 4，那么底邊長(zhǎng)為 1，所以 P（－ 1， 0）； 當(dāng) P 在 O右邊時(shí)， △ BOP 的面積應(yīng)為 2，高為 2，所以底邊長(zhǎng)為 2，此時(shí) P 坐標(biāo)為（ 2， 0）。 從 A， B 向 x 軸引垂線，把所求的三角形的面積分為一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形的面積減去一個(gè)直角三角形的面積。 （ 3）存在。 （ 2）四邊形 AB1A1B 是矩形。 （ 1）填空： C 點(diǎn)的坐標(biāo)是 ， △ ABC 的面積是 ； （ 2）將 △ ABC 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn) 180176。 （ 2）根據(jù)重合部分四邊形 ONDH 的面積等于梯形 DNOA的面積減去 △ OHA的面積列式即可。 【分析】 （ 1）如圖，過(guò)點(diǎn) C 作 CM⊥ AB 于點(diǎn) M， ∵ 在等腰梯形 ABCD 中， AB=6， BC=22， ∠ A=45186。 若 FP=EF，則 2p 4p 8 2 2? ? ? ，解得： p=0 或 p=4。 ∴ 當(dāng)點(diǎn) D 移動(dòng)到等腰梯形 OEFG 的內(nèi)部時(shí)， y 與 x 之間的關(guān)系式為 21y x 2x 24? ? ? ?（ 2＜ x＜ 4）。 （ 3）線段 DC 上是否存在點(diǎn) P，使 EFP 為等腰三角形。 8.（ 2020 年 浙江衢州 14 分） 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB=6， BC=22， ∠ A=45186。 【考點(diǎn)】 一次函數(shù)綜合題，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題， 待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 ∴ P3（ 3 3 344 ， ）。 ∴ BP=1。 ∴ 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 32,3?????? （ 3） 存在。 （ 2） ∵ 點(diǎn) C 為線段 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)， ∴ 設(shè) 點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 3d, d 33???????? 。 教育網(wǎng) （ 2）若 S 梯形 OBCD＝ 433 ,求點(diǎn) C 的坐標(biāo) 。進(jìn)而可得 AB2=BP?BE，即 AB BEBP AB? ，可得△ ABE∽△ PBA；進(jìn)而可得 ∠ BAE=90176。EQ，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 (5, － 4)或（ ，－ ）或（ 1107 ， 727 ）。 由 Rt△ Q3BR∽ Rt△ EBA， △ EBA 的三邊長(zhǎng)分別為 10， 故不妨設(shè) BR=3t， RQ3=4t， BQ3=5t， 由 Rt△ ARQ3∽ Rt△ EAB 得 3RQAREA AB? ， 即 6 3t 4t86? ? 得 t=187 。 ∴ Q2 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 2+ AQ2 EQ1 , ∴ Q1(5, － 4)符合題意。 ∴∠ BPA=∠ BAE=90176。 連結(jié) AE ， ∵ BE 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ BAE=90176。 ∴ BC=5。 6.（ 2020年 浙江 臺(tái)州 14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)， ⊙ C 與 y 軸相切于 D點(diǎn)，與 x軸相交于 A（ 2， 0）、 教育網(wǎng) B（ 8， 0）兩點(diǎn)，圓心 C 在第四象限 . （ 1）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)； （ 2）連結(jié) BC并延長(zhǎng)交 ⊙ C 于另一點(diǎn) E，若 線段 ． ． BE上有一點(diǎn) P，使得 AB2＝ BP 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)。 ∴ 3CP2? 。 （ 3）存在。 ∴ BD DABA AC? ，即 152 AC? 。 ∵ ∠ BAD=∠ ACB， ∴ B D 5sin A CB sin B A D A D 5? ? ? ? ?。 （ 2）過(guò)點(diǎn) B 作 BD⊥ y 軸于點(diǎn) D，求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)．設(shè)直線 l的解析式為 y=kx－ 4，把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入求出 k 值之后可求出直線 l的解析式。 ∵ 直線 l（或直線 Q2B）與拋物線的交點(diǎn)均在 0＜ x≤5 內(nèi)，而直線與拋物線交點(diǎn)不可能多于兩個(gè)， ∴ x＞ 5 時(shí)，以 P， Q， B 為頂點(diǎn)的三角形也不可能與 △ OBC 相似。 △ BPQ中不可能出現(xiàn) 135176。 當(dāng) PB PQOC OB? 時(shí)， △ PQB∽△ OBC， ∵ ? ?PB 2 5 x??， ? ?22P Q x x 4 x 5 x x? ? ? ? ?， OC=4， OB 5 2? ， ∴ ? ? 22 5 x 5x x4 52? ??，整理得 22x 15x 25 0? ? ?。 ∴ 直線 l的解析式為 9y x 45??。 ∵ BD 5tan O C B C D 9? ? ?， ∴ CD=9。 【答案】 解：（ 1） ∵ 拋物線 2y ax bx c? ? ? 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 0），（ 4， 0）， 教育網(wǎng) ∴ 可設(shè)拋物線解析式為 ? ?y ax x 4???？傻玫?∠ AFO=90176。 【考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題， 切割線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，弧長(zhǎng)的計(jì)算，分類思想的應(yīng)用。 ∴∠ OAC2=600。 連接 DF1， DF2，則點(diǎn) F 移動(dòng)的行程為 12FF 。 綜上所述，存在 m 的值，使得 ΔAEF是等腰三角形， m 的值為 2， 54 ， 13 2? 。 由（ 1） ΔAFE∽ ΔABC， ∴ 若要使 ΔAEF是等腰三角形，必須 ΔABC是等腰三角形。 教育網(wǎng) 【答案】 解：（ 1）根據(jù)題意，由切割線定理，得： 2A E A B A O A F A C? ? ? ?，即 AE AFAC AB? 。 （！）求證： ΔAFE∽ ΔABC 。構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用三角函數(shù)即可求出 AD 與 AB 的長(zhǎng)。 【考點(diǎn)】 動(dòng) 點(diǎn)問(wèn)題，圓內(nèi)接矩形的性質(zhì)，由實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)關(guān)系式，解二元方程組，分類思想的應(yīng)用。 解得， y 17 43?? 。 ∴ 若點(diǎn) E 在 DC 上，不存在 直線 EF 將四邊形 PBCD 的周長(zhǎng)和面 積同時(shí)平分。 ∴ ? ?2P E F 1 1 4 3 2 6 8y S E N P F x x x x 0 x 1 52 2 5 4 5 5 ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????。 ∴ AB=AD?tan∠ ADB=12 4 163? ? 。 ∴∠ PDB=90176。 ∴∠ PAD=∠ BAD=90176。在直角 △ OBP 中，由正切定理可求出BP 的長(zhǎng)。=90176。= 3 。－ 30176。 ∴ 當(dāng) ∠ EHG=∠ AOE=2∠ EOF,即 ∠ EOF=30176。 ∴∠ EOP=90176。 ∴∠ AOF=∠ EOF。 又 ∵ PF是 ⊙ O 的切線， ∴ EF=FA， PE=PB 。 （ 1）求四邊形 CDFP 的周長(zhǎng)； （ 2）請(qǐng)連結(jié) OF， OP，求證： OF⊥ OP； （ 3）延長(zhǎng) DC， FP 相交于點(diǎn) G，連結(jié) OE 并延長(zhǎng)交直線 DC 于 H(如圖乙 )。 教育網(wǎng) 若 MN 為斜邊，則 ∠ ONP=45176。 【分析】 由題意，應(yīng)分 M 在第二象限和第三象限兩類情況討論：每種情況又分 MN 為直角邊時(shí)和 MN 為斜邊兩種情況： ① 當(dāng) M 在第二象限，運(yùn)動(dòng)到（－ 1， 1）時(shí)， ON=1， MN=1， ∵ MN⊥ x軸， ∴ 由 ON=MN 可知，（ 0， 0）是符合條件的 P 點(diǎn)； 若 MN 為斜邊時(shí)，則 NP=MP， ∠ MNP=45176。 【 考點(diǎn)】 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用。 ② 當(dāng) M 運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)， 若 MN=MP，且 PM⊥ MN，設(shè)點(diǎn) M（ x， 2x+3）， 則有 ? ?x 2x 3? ?? ? ，解得 x=－ 3，這時(shí)點(diǎn) P 坐標(biāo)為（ 0，－ 3）。 三、解答題 【 版 江 泰 州 元 工 作 室 所 有 ， 必 究 】權(quán) 歸 蘇 錦 數(shù) 學(xué) 鄒 強(qiáng) 轉(zhuǎn) 載 1.（ 2020年 浙江溫州 、臺(tái)州 12 分） 如圖甲，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2，點(diǎn) M 是 BC的中點(diǎn)， P 是線段 MC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (不運(yùn)動(dòng)至 M， C),以 AB 為直徑作 ⊙ O，過(guò)點(diǎn) P 的切線交 AD 于點(diǎn) F，切點(diǎn)為 E。 ∴ AF、 BP 都是 ⊙ O 的切線。 在 Rt△ AOF 和 Rt△ EOF 中， ∵ AO=EO， OF=OF， ∴ Rt△ AOF∽ Rt△ EOF。=90176。 ∵∠ EOF=∠ AOF， ∴∠ EHG=∠ AOE=2∠ EOF。 ∠ BOP=∠ EOP=90176。tan60176。 （ 2）連結(jié) OE，根據(jù)切線的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，求出 ∠ EOF+∠ EOP=12 180176。 （ 3）要 △ EFO∽△ EHG，必須 ∠ EHG=∠ EFO=2∠ EOF=60176。 【答案】 解：（ 1）如圖 1 連接 BD， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD⊥ PB。 教育網(wǎng) ∵ DP 切 ⊙ O 于 D， ∴ BD⊥ DP。 ∵ A D 1 2 4tan P A P 9 3? ? ? ?， ∴ A B 4tan A D B A D 3? ? ?。 ∵ PE=x， ∴ PF=34－ x， EN=PE?sin∠ P=4x5 。 ∴ 若 直線 EF 能將四邊形 PBCD 的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則 ： ? ? ? ?? ? ? ?1 6 x 1 5 2 5 y x 1 2 y1 6 x 2 5 y xy1 2 1 222? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ???，即 x y 2241xy2????? ????，無(wú)解。 將 x y 22?? 代入 xy 12y 246 0? ? ?得 ? ?y 2 2 y 1 2 y 2 4 6 0? ? ? ?，即 2y 34y 246 0? ? ?。 ∴ 若點(diǎn) E 在 CB 上，存在 直線 EF 將四邊形 PBCD 的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，此時(shí)， BF 17 43?? 。因?yàn)?PD是 ⊙ O 的切線，所以根據(jù)切線的性質(zhì)和直徑所對(duì)的圓周角是 90176。 3.（ 2020年 浙江衢州 14分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知 ΔABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A（ 0， 3）， B（－ 2，0） ,C(m， 0),其中 m OB， OC 為直徑的圓分別交 AB 于點(diǎn) E，交 AC 于點(diǎn) F，連結(jié) EF。試求點(diǎn) C1（ 3 ， 0）移動(dòng)到點(diǎn) C2（ 3 3 ， 0）點(diǎn) F移動(dòng)的行程。 ∵ A（ 0， 3）， B（－ 2， 0） ,C(m， 0)，即 OA=3， OB=2， OC= m， BC=2＋ m ∴ 根據(jù)勾股定理，得 2 2 2 2 2A B O A O B 1 3 A C O A O C 9 m? ? ? ? ? ? ?。 ③ 若要 AF=FE，則要 AB=CB，即 13 2 m?? ，解得 m 13 2??。 ∴ 點(diǎn) F移動(dòng)的行程在以 AO的中點(diǎn) D為圓心，AO 的一半為半徑的圓上（如圖）。 教育網(wǎng) ∵ OC1=3 3 ， ∴ 2tan OAC 3??。 ∴ 點(diǎn) F 移動(dòng)的行程為 ： 12360 2FF 180 2? ?????。 （ 3）因?yàn)?CO 為直徑，則 ∠ OFC=90176。問(wèn)：是否存在點(diǎn) P，使得以 P,Q,B為頂點(diǎn)的三角形與 OBC 相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （ 2）過(guò)點(diǎn) B 作 BD⊥ y 軸于點(diǎn) D， ∵ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 5， 5）， ∴ BD=5， OD=5。 設(shè)直線 l的解析式為 y kx 4??， 把 B（ 5， 5）代入，得 5=5k－ 4，解得 9k 5? 。 ∴ P1（ 45 ， 45 ）。 ② 當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) O 左側(cè)（即 x＜ 0=時(shí)）， ∵ PQ∥ y 軸， ∴∠ BPQ=45176。 ∴ 符合條件的點(diǎn) Q即在拋物線上，同時(shí)又在直線 l上；或者既在拋物線上，同時(shí)又在 Q2， B 所在直線上（ Q2 為上面求得的 P2所對(duì)應(yīng)）。 【分析】 （ 1）依題 意設(shè)拋物線解析式為 ? ?y ax x 4??，把 B（ 5， 5）代入求得解析式。 ∠ BAD=∠ ACB， AB=2， BD=1，過(guò)點(diǎn) D 作 DM⊥ AD交 AC 于點(diǎn) M， DM 的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn) C 的垂線交于點(diǎn) P． （ 1）求 sin∠ ACB 的值； （ 2）求 MC 的長(zhǎng)； （ 3）若點(diǎn) Q以每秒 1 個(gè)單位的速度由點(diǎn) C向點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻 t，使四邊形 ADQP 的面積等于四邊形 ABCQ 的面積；若存在，求出 t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】 解：（ 1）在 Rt△ ABD 中， ∵ AB=2， BD=1， ∴ 根據(jù)勾股定理得： 22A D A B B D 5? ? ?。 教育網(wǎng) ∵ ∠ BAD=∠ ACB， ∠ B=∠ B， ∴ △ ABD∽