【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y=x+1，∴點(diǎn)F（0，1），∵D（0，3），∴D與E關(guān)于x=1對(duì)稱，作F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（0，﹣1），連接EF′交x軸于H，交對(duì)稱軸x=1于G，四邊形DFHG的周長(zhǎng)即為最小，設(shè)直線EF′的解析式為：y=kx+b，∴，解得：，∴直線EF′的解析式為：y=2x﹣1，∴當(dāng)y=0時(shí)，2x﹣1=0，得x=，即H（，0），當(dāng)x=1時(shí)，y=1，∴G（1，1）；∴DF=2，F(xiàn)H=GH==，DG==，∴使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長(zhǎng)最小值為：DF+FH+GH+DG=2+++=2+2；（3）存在．∵BD==3，設(shè)m（a，0），∵M(jìn)N∥BD，∴，即=，∴MN=（1+a），DM=，要使△DNM∽△BMD，需，即DM2=BD?MN，可得：9+a2=3（1+a），解得：a=或a=3（舍去）．當(dāng)x=時(shí)，y=﹣（﹣1）2+4=．∴存在，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，）．點(diǎn)評(píng)：此此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周長(zhǎng)最短問(wèn)題，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2011?潼南縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求b，c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由∠ACB=90176。，AC=BC，OA=1，OC=4，可得A（﹣1，0）B（4，5），然后利用待定系數(shù)法即可求得b，c的值；（2）由直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），即可求得直線AB的解析式，又由二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3，設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則可得點(diǎn)F的坐標(biāo)，則可求得EF的最大值，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）①順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD，可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）由S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得；②過(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），可得m2﹣2m﹣2=，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n2﹣2n﹣3），可得n2﹣2n﹣2=﹣，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可得使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形的P的坐標(biāo)．解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如圖：∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），∴直線AB的解析式為：y=x+1，∵二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3，∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，EF的最大值為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；（3）①如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD．可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF=（4﹣）+（﹣1）=；②如圖：ⅰ）過(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3）則有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n2﹣2n﹣3）則有：n2﹣2n﹣2=﹣，解得：n1=，n2=（與點(diǎn)F重合，舍去），∴P3（，﹣），綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：P1（，），P2（，），P3（，﹣）能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，四邊形與三角形面積問(wèn)題以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2011?銅仁地區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），且過(guò)點(diǎn)（﹣2，2），平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A、B在此拋物線上，AB與y軸相交于點(diǎn)M．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣4，0），點(diǎn)Q（x，y）是拋物線上任意一點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）在x軸上有一點(diǎn)P（t，0），若PQ∥CM，試用x的代數(shù)式表示t；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△BAQ的面積是△BMC的面積的2倍？若存在，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），且過(guò)點(diǎn)（﹣2，2），故設(shè)其解析式為y=ax2+1，則利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式，又由四邊形OABC是平形四邊形，則可求得點(diǎn)A與M的坐標(biāo)；（2）作QH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，即可證得△PQH∽△CMO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得x與t的關(guān)系式；（3）設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，可得S△BCM=BM?OM=2，則又由S△ABQ=2S△BCM=AB﹣h，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），且過(guò)點(diǎn)（﹣2，2），故設(shè)其解析式為y=ax2+1，則有：2=（﹣2）2a+1，得a=，∴此拋物線的解析式為：y=x2+1，∵四邊形OABC是平形四邊形，∴AB=OC=4，AB∥OC，又∵y軸是拋物線的對(duì)稱軸，∴點(diǎn)A與B是拋物線上關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，則MA=MB=2，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，則其縱坐標(biāo)y=22+1=2，即點(diǎn)A（2，2），故點(diǎn)M（0，2）．（2）作QH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H．則∠QHP=∠MOC=90176。，∵PQ∥CM，∴∠QPH=∠MCO，∴△PQH∽△CMO，∴，即，而y=x2+1，∴（x2+1），∴t=﹣x2+x﹣2；（3）設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，∵S△BCM=BM?OM=2，∴S△ABQ=2S△BCM=AB﹣h=4，∴h=2，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，代入y=x2+1，得x=177。2，∴存在符合條件的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為（2，4），（﹣2，4）．點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．（2011?臺(tái)州）已知拋物線y=a（x﹣m）2+n與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)分別為C、D．若A、B、C、D中任何三點(diǎn)都不在一直線上，則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形，直線AB為拋物線的伴隨直線．（1）如圖1，求拋物線y=（x﹣2）2+1的伴隨直線的解析式．（2）如圖2，若拋物線y=a（x﹣m）2+n（m＞0）的伴隨直線是y=x﹣3，伴隨四邊形的面積為12，求此拋物線的解析式．（3）如圖3，若拋物線y=a（x﹣m）2+n的伴隨直線是y=﹣2x+b（b＞0），且伴隨四邊形ABCD是矩形．①用含b的代數(shù)式表示m、n的值；②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD是一個(gè)等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示），若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）利用拋物線y=（x﹣2）2+1的與y軸交于點(diǎn)A（0，5），它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B（2，1），求出直線解析式即可；（2）首先得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣3），以及點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），進(jìn)而求出BE=2，得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式即可；（3）①由已知可得A坐標(biāo)為（0，b），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣b），以及n=﹣2m+b，即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣2m+b），利用勾股定理求出；②利用①中B點(diǎn)坐標(biāo)，以及BD的長(zhǎng)度即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：（1）由拋物線y=a（x﹣m）2+n與y軸交于點(diǎn)A，它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B，∴拋物線y=（x﹣2）2+1的與y軸交于點(diǎn)A（0，5），它的頂點(diǎn)為點(diǎn)B（2，1），設(shè)所求直線解析式為y=kx+b，∴，解得：，∴所求直線解析式為y=﹣2x+5；（2）如圖，作BE⊥AC于點(diǎn)E，由題意得四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），可得：AC=6，∵平行四邊形ABCD的面積為12，∴S△ABC=6即S△ABC=AC?BE=6，∴BE=2，∵m＞0，即頂點(diǎn)B在y軸的右側(cè)，且在直線y=x﹣3上，∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，﹣1），又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣3），∴a=﹣，∴y=﹣（x﹣2）2﹣1；（3）①如圖，作BF⊥x軸于點(diǎn)F，由已知可得A坐標(biāo)為（0，b），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣b），∵頂點(diǎn)B（m，n）在直線y=﹣2x+b（b＞0）上，∴n=﹣2m+b，即點(diǎn)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣2m+b），在矩形ABCD中，CO=BO．∴﹣b=，∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2，∴m=b，n=﹣2b+b=﹣b，②∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），即（b，﹣b），∴BO==b，∴BD=b，當(dāng)BD=BP，∴PF=b﹣b=b，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，b）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理和點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．（2011?湘潭）如圖，直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，又由過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0），利用兩點(diǎn)式法即可求得拋物線的解析式；（2）分別從AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住線段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．解答：解：（1）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（0，3），∵C（3，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），∴3=a1（﹣3），∴a=﹣1，∴此拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3；（2）存在．①∵拋物線的對(duì)稱軸為：x==1，∴如圖對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)即為Q1，∵OA=OQ1，BO⊥AQ1，∴AB=Q1B，∴Q1（1，0）；當(dāng)Q2A=Q2B時(shí)，設(shè)Q2的坐標(biāo)為（1，m），∴22+m2=12+（3﹣m）2，∴m=1，