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正文內(nèi)容

[中考]九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)-拋物線與存在性問題(編輯修改稿)

2025-02-11 06:13 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 y=x+1,∴點F(0,1),∵D(0,3),∴D與E關(guān)于x=1對稱,作F關(guān)于x軸的對稱點F′(0,﹣1),連接EF′交x軸于H,交對稱軸x=1于G,四邊形DFHG的周長即為最小,設(shè)直線EF′的解析式為:y=kx+b,∴,解得:,∴直線EF′的解析式為:y=2x﹣1,∴當(dāng)y=0時,2x﹣1=0,得x=,即H(,0),當(dāng)x=1時,y=1,∴G(1,1);∴DF=2,F(xiàn)H=GH==,DG==,∴使D、G,H、F四點所圍成的四邊形周長最小值為:DF+FH+GH+DG=2+++=2+2;(3)存在.∵BD==3,設(shè)m(a,0),∵M(jìn)N∥BD,∴,即=,∴MN=(1+a),DM=,要使△DNM∽△BMD,需,即DM2=BD?MN,可得:9+a2=3(1+a),解得:a=或a=3(舍去).當(dāng)x=時,y=﹣(﹣1)2+4=.∴存在,點T的坐標(biāo)為(,).點評:此此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,周長最短問題,相似三角形的判定與性質(zhì),以及平行線分線段成比例定理等知識.此題綜合性很強(qiáng),解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2011?潼南縣)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點,拋物線的頂點為D.(1)求b,c的值;(2)點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(點A、B除外),過點E作x軸的垂線交拋物線于點F,當(dāng)線段EF的長度最大時,求點E的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下:①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積;②在拋物線上是否存在一點P,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題。分析:(1)由∠ACB=90176。,AC=BC,OA=1,OC=4,可得A(﹣1,0)B(4,5),然后利用待定系數(shù)法即可求得b,c的值;(2)由直線AB經(jīng)過點A(﹣1,0),B(4,5),即可求得直線AB的解析式,又由二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3,設(shè)點E(t,t+1),則可得點F的坐標(biāo),則可求得EF的最大值,求得點E的坐標(biāo);(3)①順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD,可求出點F的坐標(biāo)(,),點D的坐標(biāo)為(1,﹣4)由S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF即可求得;②過點E作a⊥EF交拋物線于點P,設(shè)點P(m,m2﹣2m﹣3),可得m2﹣2m﹣2=,即可求得點P的坐標(biāo),又由過點F作b⊥EF交拋物線于P3,設(shè)P3(n,n2﹣2n﹣3),可得n2﹣2n﹣2=﹣,求得點P的坐標(biāo),則可得使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形的P的坐標(biāo).解答:解:(1)由已知得:A(﹣1,0),B(4,5),∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(﹣1,0),B(4,5),∴,解得:b=﹣2,c=﹣3;(2)如圖:∵直線AB經(jīng)過點A(﹣1,0),B(4,5),∴直線AB的解析式為:y=x+1,∵二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3,∴設(shè)點E(t,t+1),則F(t,t2﹣2t﹣3),∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣)2+,∴當(dāng)t=時,EF的最大值為,∴點E的坐標(biāo)為(,);(3)①如圖:順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD.可求出點F的坐標(biāo)(,),點D的坐標(biāo)為(1,﹣4)S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF=(4﹣)+(﹣1)=;②如圖:?。┻^點E作a⊥EF交拋物線于點P,設(shè)點P(m,m2﹣2m﹣3)則有:m2﹣2m﹣2=,解得:m1=,m2=,∴P1(,),P2(,),ⅱ)過點F作b⊥EF交拋物線于P3,設(shè)P3(n,n2﹣2n﹣3)則有:n2﹣2n﹣2=﹣,解得:n1=,n2=(與點F重合,舍去),∴P3(,﹣),綜上所述:所有點P的坐標(biāo):P1(,),P2(,),P3(,﹣)能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形.點評:此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,四邊形與三角形面積問題以及直角三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強(qiáng),解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2011?銅仁地區(qū))如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一拋物線的頂點坐標(biāo)是(0,1),且過點(﹣2,2),平行四邊形OABC的頂點A、B在此拋物線上,AB與y軸相交于點M.已知點C的坐標(biāo)是(﹣4,0),點Q(x,y)是拋物線上任意一點.(1)求此拋物線的解析式及點M的坐標(biāo);(2)在x軸上有一點P(t,0),若PQ∥CM,試用x的代數(shù)式表示t;(3)在拋物線上是否存在點Q,使得△BAQ的面積是△BMC的面積的2倍?若存在,求此時點Q的坐標(biāo).考點:二次函數(shù)綜合題。分析:(1)由拋物線的頂點坐標(biāo)是(0,1),且過點(﹣2,2),故設(shè)其解析式為y=ax2+1,則利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式,又由四邊形OABC是平形四邊形,則可求得點A與M的坐標(biāo);(2)作QH⊥x軸,交x軸于點H,即可證得△PQH∽△CMO,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得x與t的關(guān)系式;(3)設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h,可得S△BCM=BM?OM=2,則又由S△ABQ=2S△BCM=AB﹣h,即可求得點Q的坐標(biāo).解答:解:(1)∵拋物線的頂點坐標(biāo)是(0,1),且過點(﹣2,2),故設(shè)其解析式為y=ax2+1,則有:2=(﹣2)2a+1,得a=,∴此拋物線的解析式為:y=x2+1,∵四邊形OABC是平形四邊形,∴AB=OC=4,AB∥OC,又∵y軸是拋物線的對稱軸,∴點A與B是拋物線上關(guān)于y軸的對稱點,則MA=MB=2,即點A的橫坐標(biāo)是2,則其縱坐標(biāo)y=22+1=2,即點A(2,2),故點M(0,2).(2)作QH⊥x軸,交x軸于點H.則∠QHP=∠MOC=90176。,∵PQ∥CM,∴∠QPH=∠MCO,∴△PQH∽△CMO,∴,即,而y=x2+1,∴(x2+1),∴t=﹣x2+x﹣2;(3)設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h,∵S△BCM=BM?OM=2,∴S△ABQ=2S△BCM=AB﹣h=4,∴h=2,∴點Q的縱坐標(biāo)為4,代入y=x2+1,得x=177。2,∴存在符合條件的點Q,其坐標(biāo)為(2,4),(﹣2,4).點評:此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積問題.此題綜合性很強(qiáng),解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.(2011?臺州)已知拋物線y=a(x﹣m)2+n與y軸交于點A,它的頂點為點B,點A、B關(guān)于原點O的對稱點分別為C、D.若A、B、C、D中任何三點都不在一直線上,則稱四邊形ABCD為拋物線的伴隨四邊形,直線AB為拋物線的伴隨直線.(1)如圖1,求拋物線y=(x﹣2)2+1的伴隨直線的解析式.(2)如圖2,若拋物線y=a(x﹣m)2+n(m>0)的伴隨直線是y=x﹣3,伴隨四邊形的面積為12,求此拋物線的解析式.(3)如圖3,若拋物線y=a(x﹣m)2+n的伴隨直線是y=﹣2x+b(b>0),且伴隨四邊形ABCD是矩形.①用含b的代數(shù)式表示m、n的值;②在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△PBD是一個等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo)(用含b的代數(shù)式表示),若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題。分析:(1)利用拋物線y=(x﹣2)2+1的與y軸交于點A(0,5),它的頂點為點B(2,1),求出直線解析式即可;(2)首先得出點A的坐標(biāo)為(0,﹣3),以及點C的坐標(biāo)為(0,3),進(jìn)而求出BE=2,得出頂點B的坐標(biāo)求出解析式即可;(3)①由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點坐標(biāo)為(0,﹣b),以及n=﹣2m+b,即點B點的坐標(biāo)為(m,﹣2m+b),利用勾股定理求出;②利用①中B點坐標(biāo),以及BD的長度即可得出P點的坐標(biāo).解答:解:(1)由拋物線y=a(x﹣m)2+n與y軸交于點A,它的頂點為點B,∴拋物線y=(x﹣2)2+1的與y軸交于點A(0,5),它的頂點為點B(2,1),設(shè)所求直線解析式為y=kx+b,∴,解得:,∴所求直線解析式為y=﹣2x+5;(2)如圖,作BE⊥AC于點E,由題意得四邊形ABCD是平行四邊形,點A的坐標(biāo)為(0,﹣3),點C的坐標(biāo)為(0,3),可得:AC=6,∵平行四邊形ABCD的面積為12,∴S△ABC=6即S△ABC=AC?BE=6,∴BE=2,∵m>0,即頂點B在y軸的右側(cè),且在直線y=x﹣3上,∴頂點B的坐標(biāo)為(2,﹣1),又拋物線經(jīng)過點A(0,﹣3),∴a=﹣,∴y=﹣(x﹣2)2﹣1;(3)①如圖,作BF⊥x軸于點F,由已知可得A坐標(biāo)為(0,b),C點坐標(biāo)為(0,﹣b),∵頂點B(m,n)在直線y=﹣2x+b(b>0)上,∴n=﹣2m+b,即點B點的坐標(biāo)為(m,﹣2m+b),在矩形ABCD中,CO=BO.∴﹣b=,∴b2=m2+4m2﹣4mb+b2,∴m=b,n=﹣2b+b=﹣b,②∵B點坐標(biāo)為(m,n),即(b,﹣b),∴BO==b,∴BD=b,當(dāng)BD=BP,∴PF=b﹣b=b,∴P點的坐標(biāo)為(b,b).點評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理和點的坐標(biāo)性質(zhì),二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點同學(xué)們應(yīng)重點掌握.(2011?湘潭)如圖,直線y=3x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使△ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.考點:二次函數(shù)綜合題。分析:(1)由直線y=3x+3交x軸于A點,交y軸于B點,即可求得點A與B的坐標(biāo),又由過A、B兩點的拋物線交x軸于另一點C(3,0),利用兩點式法即可求得拋物線的解析式;(2)分別從AB=BQ,AQ=BQ,AB=AQ三方面去分析,注意抓住線段的求解方法,借助于方程求解即可求得答案.解答:解:(1)∵當(dāng)x=0時,y=3,當(dāng)y=0時,x=﹣1,∴A(﹣1,0),B(0,3),∵C(3,0),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3),∴3=a1(﹣3),∴a=﹣1,∴此拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3;(2)存在.①∵拋物線的對稱軸為:x==1,∴如圖對稱軸與x軸的交點即為Q1,∵OA=OQ1,BO⊥AQ1,∴AB=Q1B,∴Q1(1,0);當(dāng)Q2A=Q2B時,設(shè)Q2的坐標(biāo)為(1,m),∴22+m2=12+(3﹣m)2,∴m=1,
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