高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案(第47講)拋物線(編輯修改稿)
2025-07-04 23:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ② 由①②知，直線MK是拋物線在點(diǎn)M的切線 (2)令MA為法線,則 +, 為平角所以反射光線MB平行x軸 例7 如圖,ABCD是一塊邊長為4km的正方形地域,地域內(nèi)有一條河流MD,其經(jīng)過路線是以AB中點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線(河流寬度忽略不記),某集團(tuán)公司準(zhǔn)備投巨資建一個(gè)大型矩形游樂園PQCN問如何施工才能使游樂園面積最大?并求出最大面積解: 以M為原點(diǎn)BA所在直線為y軸,如圖建系 設(shè)拋物線方程為,由點(diǎn)D(4, 2)在拋物線上, 故物線方程為 設(shè)是曲線MD上任意一點(diǎn) 則, 矩形游樂園面積 , 令得 當(dāng) 時(shí)。 當(dāng)時(shí), 時(shí),S有極大值, 此時(shí), 又時(shí), 所以當(dāng)游樂園長PN=, 寬PQ=時(shí),其面積最大為例8 A,B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點(diǎn)，滿足OA^OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))求證：(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；(2)直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)(3)作OM^AB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程解：(1)設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2), 則y12=2px1, y22=2px2, ∴y12y22=4p2x1x2, ∵OA^OB, ∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)(2)直線AB的斜率k===, ∴直線AB的方程為y─y1=(x─),即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x─2p),直線AB過定點(diǎn)C(2p,0)(3)解法1:設(shè)M(x,y), 由(2)知y=(x─2p) (i),又AB^OM, 故兩直線的斜率之積為─1, 即= ─1 (ii)由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x185。0)解法2: 由OM^AB知點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)和點(diǎn)(2p,0)為直徑的圓(除去原點(diǎn)) 立即可求出例9 定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動，AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)解：如圖，設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 則x=, y=,又設(shè)點(diǎn)A，B，M在準(zhǔn)線:x=─1/4上的射影分別為A/,B/,M/, MM/與y軸的交點(diǎn)為N，則|AF|=|AA/|=x1+,|BF|=|BB/|=x2+,∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)179。(|AB|─)=等號在直線AB過焦點(diǎn)時(shí)成立，此時(shí)直線AB的方程為y=k(x─)由得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0依題意|AB|=|x1─x2|===3,∴k2=1/2, 此時(shí)x=(x1+x2)== ∴y= 177。即M(,), N(,─)小結(jié):1求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法2凡涉及拋物線的弦長、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算3解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，
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