【正文】 否存在一條定直線 m，使m與以MN為直徑的圓相切．如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：（1）把點(diǎn)F的坐標(biāo)代入直線可以確定b的值．（2）聯(lián)立直線與拋物線，代入（1）中求出的b值，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求出x1?x2的值．（3）確定M1，N1的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判斷三角形的形狀．（4）根據(jù)題意可知y=﹣1總與該圓相切．．解答：解：（1）∵直線y=kx+b過點(diǎn)F（0，1），∴b=1；（2）∵直線y=kx+b與拋物線交于M（x1，y1）和N（x2，y2）兩點(diǎn)，∴可以得出：kx+b=x2，整理得：x2﹣kx﹣1=0，x1?x2==﹣4；（3）△M1FN1是直角三角形（F點(diǎn)是直角頂點(diǎn)）．理由如下：設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)是F1，F(xiàn)M12=FF12+M1F12=x12+4，F(xiàn)N12=FF12+F1N12=x22+4，M1N12=（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+8，∴FM12+FN12=M1N12，∴△M1FN1是以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形．（4）符合條件的定直線m即為直線l：y=﹣1．過M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，=（x1﹣x2）2+[（kx1+1）﹣（kx2+1）]2，=（x1﹣x2）2+k2（x1﹣x2）2，=（k2+1）（x1﹣x2）2，=（k2+1）（16k2+16），=16（k2+1）2，∴MN=4（k2+1），分別取MN和M1N1的中點(diǎn)P，P1，PP1=（MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2）+1=k（x1+x1）+2=2k2+2，∴PP1=MN即線段MN的中點(diǎn)到直線l的距離等于MN長度的一半．∴以MN為直徑的圓與l相切．點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，（1）由點(diǎn)F的坐標(biāo)求出b的值．（2）結(jié)合直線與拋物線的解析式，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值．（3）用兩點(diǎn)間的距離公式，判斷三角形的形狀．（4）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置判斷直線與圓的位置．（2011?蘇州）巳知二次函數(shù)y=a（x2﹣6x+8）（a＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)．（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)039。恰好落在該拋物線的 對稱軸上，求實(shí)數(shù)a的值；（2）如圖②，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，4）、（4，3），邊HG位于邊EF的 右側(cè)．小林同學(xué)經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)了一個(gè)正確的命題：“若點(diǎn)P是邊EH或邊HG上的任意一點(diǎn)，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等 （即這四條線段不能構(gòu)成平行四邊形）．“若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，剛才的結(jié)論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)l是大于3的常數(shù)，試問：是否存在一個(gè)正數(shù)阿a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對應(yīng)相等 （即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）本題需先求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸，再根據(jù)∠OAC=60176。得出AO，從而求出a．（2）本題需先分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P是EF上任意一點(diǎn)時(shí)，可得PC＞PB，從而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．（3）本題需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出關(guān)于t與a的方程，從而得出a的值，即可求出答案．解答：解：（1）令y=0，由a（x2﹣6x+8）=0，解得x1=2，x2=4；令x=0，解得y=8a，∴點(diǎn) A、B、C的坐標(biāo)分別是（2，0）、（4，0）、（0，8a），該拋物線對稱軸為直線x=3，∴OA=2，如圖①，設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，則AM=1，由題意得：O′A=OA=2，∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60176。，∴∠OAC=∠O′AC=60176。，∴，即8a=2，∴a=；（2）若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)，結(jié)論同樣成立，①如圖②，設(shè)P是邊EF上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），連接PM，∵點(diǎn)E（4，4）、F（4，3）與點(diǎn)B（4，0）在一直線上，點(diǎn)C在y軸上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB，又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形，②設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)G重合），∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，3），點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，3），∴FG=3，GB=，∴3≤PB，∵PC≥4，∴PC＞PB，又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD也不能構(gòu)成平行四邊形；（3）存在一個(gè)正數(shù)a，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，如圖③，∵點(diǎn)A、B是拋物線與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，∴PA=PB，∴當(dāng)PC=PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，8a），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，﹣a），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，t），∴PC2=32+（t﹣8a）2，PD2=（t+a）2，由PC=PD得PC2=PD2，∴32+（t﹣8a）2=（t+a）2，整理得：7a2﹣2ta+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根a==，顯然a=滿足題意當(dāng)t是一個(gè)大于3的常數(shù)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)a=，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問題，在解題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論，把二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平行四邊形的判定相結(jié)合是本題的關(guān)鍵．（2011?十堰）如圖，己知拋物線y=x2+bx+c與x 軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn) B，與y軸交丁點(diǎn)C （0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖（1），己知點(diǎn)H（0，﹣1）．問在拋物線上是否存在點(diǎn)G （點(diǎn)G在y軸的左側(cè)），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由：（3）如圖（2），拋物線上點(diǎn)D在x軸上的正投影為點(diǎn)E（﹣2，0），F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連 接DF，P為線段BD上的一點(diǎn)，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由拋物線y=x2+bx+c與x 軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn) B，與y軸交丁點(diǎn)C （0，﹣3），利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）分別從GH∥AC與GH與AC不平行去分析，注意先求得直線GH的解析式，根據(jù)交點(diǎn)問題即可求得答案，小心不要漏解；（3）利用待定系數(shù)法求得直線DF的解析式，即可證得△PBE∽△FDP，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．解答：解：（1）由題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；（2）解法一：假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)G，設(shè)G（m，n），顯然，當(dāng)n=﹣3時(shí)，△AGH不存在．①當(dāng)n＞﹣3時(shí)，可得S△GHA=﹣++，S△GHC=﹣m，∵S△GHC=S△GHA，∴m+n+1=0，由，解得：或，∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，∴G（﹣，）；②當(dāng)﹣4≤n＜﹣3時(shí)，可得S△GHA=﹣﹣﹣，S△GHC=﹣m，∵S△GHC=S△GHA，∴3m﹣n﹣1=0，由，解得：或，∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，∴G（﹣1，﹣4）．∴存在點(diǎn)G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．解法二：①如圖①，當(dāng)GH∥AC時(shí)，點(diǎn)A，點(diǎn)C到GH的距離相等，∴S△GHC=S△GHA，可得AC的解析式為y=3x﹣3，∵GH∥AC，得GH的解析式為y=3x﹣1，∴G（﹣1，﹣4）；②如圖②，當(dāng)GH與AC不平行時(shí)，∵點(diǎn)A，C到直線GH的距離相等，∴直線GH過線段AC的中點(diǎn)M（，﹣）．∴直線GH的解析式為y=﹣x﹣1，∴G（﹣，），∴存在點(diǎn)G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．（3）如圖③，∵E（﹣2，0），∴D的橫坐標(biāo)為﹣2，∵點(diǎn)D在拋物線上，∴D（﹣2，﹣3），∵F是OC中點(diǎn)，∴F（0，﹣），∴直線DF的解析式為：y=x﹣，則它與x軸交于點(diǎn)Q（2，0），則QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180176。，∵∠EPF=∠PDF，∴∠BPE=∠DFP，∴△PBE∽△FDP，∴，得：PB?DP=，∵PB+DP=BD=，∴PB=，即P是BD的中點(diǎn)，連接DE，∴在Rt△DBE中，PE=BD=．點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及三角形面積問題的求解等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用（2011?深圳）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（l，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn) E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為直線 PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G，H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最?。舸嬖冢蟪鲞@個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)過點(diǎn)M 作MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2+4，然后將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；（2）作F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′（0，﹣1），連接EF′交x軸于H，交對稱軸x=1于G，四邊形DFHG的周長即為最小，則根據(jù)題意即可求得這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；（3）首先設(shè)M的坐標(biāo)為（a，0），求得BD與DM的長，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長，然后由相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可得DM2=BD?MN，則可得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2+4，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．∴4a+4=0，∴a=﹣1，∴此拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在．拋物線的對稱軸方程為：x=1，∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，∴y=﹣4+4+3=3，∴點(diǎn)E（2，3），∴設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b，∴，∴，∴直線AE的解析式為：