【正文】 動時間為t秒，則MP=t，∴PH=t，MH=t，HN=t，∴MN=t，∴S=t?t?=t2（10分），②當2＜t＜4時，P1G=2t﹣4，P1H=t，∵MN∥OB∴△P1EF∽△P1MN，∴，∴，∴=3t2﹣12t+12，∴S=t2﹣（3t2﹣12t+12）=﹣t2+12t﹣12，∴當0＜t≤2時，S=t2，當2＜t＜4時，S=﹣t2+12t﹣12．（12分）點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．求出二次函數(shù)解析式，研究二次函數(shù)的頂點坐標及相關(guān)圖形的特點，是解題的關(guān)鍵．1（2011?張家界）如圖，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點A（﹣4，0）、B（﹣2，2），連接OB、AB，（1）求該拋物線的解析式．（2）求證：△OAB是等腰直角三角形．（3）將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135176。，得到△OA′B′，寫出A′B′的中點P的坐標，試判斷點P是否在此拋物線上．（4）在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形ABOM成直角梯形，若存在，請求出點M坐標及該直角梯形的面積，若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題。專題：綜合題。分析：（1）將A（﹣4，0）、B（﹣2，2）代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx，列方程組求a、b的值即可；（2）根據(jù)所求拋物線解析式求拋物線的頂點坐標，判斷三角形的形狀；（3）根據(jù)△OAB的形狀，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角，畫出圖形，可求A′、B′的坐標，根據(jù)中點坐標公式求P的坐標，代入拋物線解析式進行判斷；（4）存在．過點O，作OM∥AB交拋物線于點M，根據(jù)△OAB為等腰直角三角形，可求直線OM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，可求M點坐標，同理，過點A，作AM′∥OB交拋物線于點M′，聯(lián)立方程組可求M′的坐標，由圖形的特殊性可知，兩種情況下，梯形面積相等，根據(jù)梯形面積公式求解．解答：解：（1）由A（﹣4，0）、B（﹣2，2）在拋物線y=ax2+bx圖象上，得：（2分）解之得：a=﹣，b=﹣2，∴該函數(shù)解析式為：y=﹣x2﹣2x．（4分）（2）過點B作BC垂直于X軸，垂足是點C．（6分）∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+2）2+2，∴線段CO、CA、CB的長度均為2，∴△ABC和△OBC為全等的等腰直角三角形，∴AB=OB且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90176?！唷鱋AB是等腰直角三角形（8分）（3）如圖，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)135176。，得到△OA′B′其中點B′正好落在y軸上且B′A′∥x軸．又∵OB′和A′B′的長度為2，A′B′中點P的坐標為（，﹣2），顯然不滿足拋物線方程，∴點P不在此拋物線上（10分）（4）存在（11分）過點O，作OM∥AB交拋物線于點M易求出直線OM的解析式為：y=x聯(lián)立拋物線解析式得：解之得點M（﹣6，﹣6），顯然，點M（﹣6，﹣6）關(guān)于對稱軸x=﹣2的對稱點M′（2，﹣6）也滿足要求，故滿足條件的點M共有兩個，坐標分別為（﹣6，﹣6）和（2，﹣6）∴sABOM=S△ABO+s△AOM=42+46=16．（12分）（注：此題方法較多，只要合理均可給分）點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，根據(jù)解析式確定圖形的特殊性．1（2011?湛江）如圖，拋物線y=x2+bx+c的頂點為D（﹣1，﹣4），與y軸交于點C（0，﹣3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)）．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由定點列式計算，從而得到b，c的值而得解析式；（2）由解析式求解得到點A，得到AC，CD，AD的長度，而求證；（3）由（2）得到的結(jié)論，進行代入，要使以A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是AB∥=EF，那么只需將M點的坐標向左或向右平移BF長個單位即可得出P點的坐標，然后將得出的P點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的P點．解答：解：（1）由題意得，解得：b=2，c=﹣3，則解析式為：y=x2+2x﹣3；（2）由題意結(jié)合圖形則解析式為：y=x2+2x﹣3，解得x=1或x=﹣3，由題意點A（﹣3，0），∴AC=，CD=，AD=，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD為直角三角形；（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=4，∵點E在拋物線的對稱軸上，∴點E的橫坐標為﹣1，當AB為平行四邊形的一邊時，EF=AB=4，∴F的橫坐標為3或﹣5，把x=3或﹣5分別代入y=x2+2x﹣3，得到F的坐標為（3，12）或（﹣5，12）；當AB為平行四邊形的對角線時，由平行四邊形的對角線互相平分，∴F點必在對稱軸上，即F點與D點重合，∴F（﹣1，4）．∴所有滿足條件的點F的坐標為（3，12），（﹣5，12），（﹣1，4）．點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．1（2011?岳陽）九（1）班數(shù)學課題學習小組，為了研究學習二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實踐﹣﹣應用﹣﹣探究的過程：（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道（如圖①）進行測量，測得一隧道的路面寬為10m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式．（2）應用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，．為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m，（兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙）？（3）探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題，請予解答：I．如圖③，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸 上．設矩形ABCD的周長為l求l的最大值．II?如圖④，過原點作一條y=x的直線OM，交拋物線于點M，交拋物線對稱軸于點N，P 為直線0M上一動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．問在直線OM上是否存在點P，使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）利用頂點式求出二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)已知得出當x=2時，正好是汽車寬度，求出即可；（3）I．首先表示出矩形周長，再利用二次函數(shù)最值公式求出；II?利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出QN=AB=AO，以及P在y=x的圖象上，即可得出P點的坐標．解答：解：（1）根據(jù)坐標系可知此函數(shù)頂點坐標為（5，），且圖象過（10，0）點，代入頂點式得：y=a（x﹣5）2+，∴0=a（10﹣5）2+，解得：a=﹣，∴y=﹣（x﹣5）2+；（2）當最寬3m，∴x=2代入解析式得：y=﹣（2﹣5）2+；y=4，4﹣=，∴隧道能讓最寬3m，；（3）I．假設AO=x，可得AB=10﹣2x，∴AD=﹣（x﹣5）2+；∴矩形ABCD的周長為l為：l=2[﹣（x﹣5）2+]+2（10﹣2x）=﹣+x+20，∴l(xiāng)的最大值為：==．II?當以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，∵P在y=x的圖象上，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．∴∠POA=∠OPA=45176。，∴Q點的縱坐標為5，∴5=，解得：m=5177。，∴使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：（5﹣，5﹣）或（5+，5+）．點評：此題主要考查了頂點式求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值求法和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象獲取正確點的坐標以及利用y=x圖象上點的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．1（2011?遵義）已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點C的坐標；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求點E的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）從當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90176。與當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90176。，分別求出符合要求的答案；（3）根據(jù)當OE∥AB時，△FEO面積最小，得出OM=ME，求出即可．解答：解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點，∴，解得：，∴y=x2﹣x+3；∴點C的坐標為：（0，3）；（2）當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PAB=90176。，∵A（3，0），B（4，1），∴AM=BM=1，∴∠BAM=45176。，∴∠DAO=45176。，∴AO=DO，∵A點坐標為（3，0），∴D點的坐標為：（0，3），∴直線AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：∴0=3k+b，b=3，∴k=﹣1，∴y=﹣x+3，∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，∴x2﹣3x=0，解得：x=0或3，∴y=3或0（不合題意舍去），∴P點坐標為（0，3），當△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且∠PBA=90176。，由（1）得，F(xiàn)B=4，∠FBA=45176。，∴∠DBF=45176。，∴DF=4，∴D點坐標為：（0，5），B點坐標為：（4，1），∴直線AD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：∴1=4k+b，b=5，∴k=﹣1，∴y=﹣x+5，∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，∴x2﹣3x﹣4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴y1=6，y2=1，∴P點坐標為（﹣1，6），（4，1），∴點P的坐標為：（﹣1，6），（0，3）；（3）作EM⊥BO，∵當OE∥AB時，△FEO面積最小，∴∠EOM=45176。，∴MO=EM，∵E在直線CA上，∴E點坐標為（x，﹣x+3），∴x=﹣x+3，解得：x=，∴E點坐標為（，）．點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．48