【文章內(nèi)容簡介】 在 Rt△ADE 中， AE= = =18 ∴BE=AE ﹣ AB=18 ﹣ 18， 在 Rt△BCE 中， CE=BE?tan60176。= （ 18 ﹣ 18） =54﹣ 18 ， ∴CD=CE ﹣ DE=54﹣ 18 ﹣ 18≈5 米． 【點評】 本題考查了解直角三角形﹣仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形；難點是充分找到并運用題中相等的線段． 13. (2020 浙江麗水 模擬 )（本題 6分） 如圖，梯子斜靠在與地面垂直 (垂足為 O)的墻上，當梯子位于 AB 位置時，它與地面所成的角 ∠ABO ＝ 60176。 ；當梯子底端向右滑動 2 m(即 BD＝ 2 m)到達 CD 位置時，它與地面所成的角∠CDO ＝ 45176。 ，求梯子的長． 解 ： 解設(shè) OB=x,則 OD=x+2 ∵∠OBA=60176?！郼os∠OBA=21?ABOB ∴AB=2x ∵∠ODA=45176。∴cos∠ODA= 22?CDOD ∴CD= ）（ 22 ?x ∵AB= CD, 即 2x= ）（ 22 ?x ∴x= 222 ? ∴ 梯子的長 AB= 424 ? 14.（ 2020 紹興市浣紗初中等六校 5 月聯(lián)考 模擬）（本題 8分）如圖，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌 CD，小李在山坡的坡腳 A處測得廣告牌底部 D的仰角為 60176。 ．沿坡面 AB向上走到 B 處測得廣告牌頂部 C 的仰角為 45176。 ，已知山坡 AB的坡度 i=1： ， AB=10 米， AE=15米．（ i=1： 是指坡面的鉛直高度 BH與水平寬度 AH的比） （ 1）求點 B距水平面 AE 的高度 BH； （ 2）求廣告牌 CD的高度． 解：（ 1） 過 B作 BG⊥DE 于 G， Rt△ABF 中， i=tan∠BAH= = ， ∴∠BAH=30176。 ， ∴BH= AB=5； （ 2） 由 （ 1） 得 ： BH=5， AH=5 ， ∴BG=AH+AE=5 +15， Rt△BGC 中 ， ∠CBG=45176。 ， ∴CG=BG=5 +15． Rt△ADE 中 ， ∠DAE=60176。 ， AE=15， ∴DE= AE=15 ． ∴CD=CG+GE ﹣ DE=5 +15+5﹣ 15 =20﹣ 10 ． 答：宣傳牌 CD高 20﹣ 10 米． 15． (2020 浙江鎮(zhèn)江 模擬 )從一幢建筑大樓的兩個觀察點A， B觀察地面的花 壇（點 C），測得俯角分別為 15176。 和 60176。 ，如圖，直線 AB 與地面垂直， AB=50米，試求出點 B到點 C的距離．（結(jié)果保留根號） 6 0 176。CBA1 5 176。 解：作 AD⊥ BC于點 D， ∵∠ MBC=60176。 ， ∴∠ ABC=30176。 ， ∵ AB⊥ AN， ∴∠ BAN=90176。 ， ∴∠ BAC=105176。 ， 則 ∠ ACB=45176。 ， 在 Rt△ ADB中， AB=1000，則 AD=500， BD= 3500 ， 在 Rt△ ADC中， AD=500， CD=500， 則 BC= 3500500? ． ??4 分 答：觀察點 B到花壇 C的距離為 )3500500( ? 米． 16． (2020 新疆烏魯木齊九十八中 一模 )如圖， MN 表示襄樊至武漢的一段高速公路設(shè)計路線圖．在點 M測得點 N在它的南偏東 30176。 的方向，測得另一點 A在它的南偏東 60176。 的方向；取 MN上另一點 B，在點 B測得點 A在它的南偏東 75176。 的方向，以點 A為圓心， 500m為半徑的圓形區(qū)域為某居民區(qū)，已知 MB=400m，通過計算回答：如果不改變方向，高速公路是否會穿過居民區(qū)？ 【考點】 解直角三角形的應用 方向角問題． 【專題】 應用題． 【分析】 高速公路是否會穿過居民區(qū)即是比較點 A到 MN 的距離與半徑的大小，于是作 AC⊥MN于點 C，求 AC的長．解直角三角形 ACM和 ACB． 【 解答】 解：作 AC⊥MN 于點 C ∵∠AMC=60176。 ﹣ 30176。=30176。 ， ∠ABC=75176。 ﹣ 30176。=45176。 設(shè) AC為 xm，則 AC=BC=x 在 Rt△ACM 中， MC=400+x ∴tan∠AMC= ，即 解之，得 x=200+200 ∵ ＞ ∴x=200+200 ＞ 500． ∴ 如果不改變方向，高速公路不會穿過居民區(qū)． MN60 176。15 176。DCBA 【點評】 怎么理解是否穿過居民區(qū)是關(guān)鍵，與最近距離比較便知應作垂線，構(gòu)造 Rt△ 求解． 17． (2020 云南省 一模 )如圖，某同學站在旗桿正對的教學樓上點 C處觀測到旗桿頂端 A的仰 角為 30176。 ，旗桿底端 B的俯角為 45176。 ，已知旗桿距離教學樓 12米，求旗桿 AB的高度． （結(jié)果精確到 . ≈ ， ≈ ）（參考數(shù)據(jù)： sin30176。= ， cos30176。= ，tan30176。= ， sin45176。= ， cos45176。= ， tan45176。=1 ） 【考點】 解直角三角形的應用 仰角俯角問題． 【分析】 根據(jù)在 Rt△ACD 中， tan∠ACD= ，求出 AD的值，再根據(jù)在 Rt△BCD 中， tan∠BCD= ，求出 BD的值，最后根據(jù) AB=AD+BD，即可求出答案． 【解答】 解：在 Rt△ ACD中， ∵tan∠ACD= ， ∴tan30176。= ， ∴ = ， ∴AD=4 m， 在 Rt△BCD 中， ∵∠BCD=45176。 ， ∴BD=CD=12m ， ∴AB=AD+BD=34 +12（ m）． 答：旗桿 AB的高度為 34 +12m． 【點評】 此題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，本題要求學生借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形． 18． (2020 鄭州 二模 )圖 l是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖 2是小明鍛煉時上半身由 EN 位置運動到與地面垂直的 EM 位置時 的示意圖．已知 BC＝ ， AD＝， α ＝ 18176。 （ sin18176?！?， cos18176。≈ ， tan18176?！?） （ 1）求 AB的長（精確到 ） （ 2）若測得 EN＝ ，計算小明頭頂由 N點運動到 M點的路徑⌒MN 的長度（結(jié)果保留 π ） 【解答】 解：（ 1）作 AF⊥ BC于點 F． ∴∠ AFB=90176。. ∴∠ AFB=∠ AFC =∠ ADC =90176。. ∴ 四邊形 ADCF是矩形 . ∴ FC=AD. ∴ BF= BC﹣ CF =BC﹣ AD==， ∴ AB=BF247。sin18176。=247。≈ 米； （ 2） ∵∠ NEM=90176。+18176。=108176。 ， 19. （ 2020廣東河源一模）一測量愛好者在海邊測量位于其正東方向的小島高度 ，他先在點 B測得小島的頂點 A的仰角是?30，然后沿正東方向 前行 62 m 到達點 D，在點 D 測得小島的頂點 A 的仰角為?60（ B， C， D 三點在同一水平面上，且測量儀的高度忽略不計 )．求小島的高度 AC。 (結(jié)果精確到 1 m，參考數(shù)據(jù)：?，) 解：設(shè) AC＝ x m，在 Rt△ ACD中，CDACADC ??tan ，∴ xACCD3360tan ???. 在 Rt△ ABC 中，BCACB ??tan，∴ ．xACBC 330tan ???由 BCCDBD ?? ，得xx 33362 ?? ，解得 ．53331 ??x ∴小島的高度 AC約為 53 m. 20. （ 2020廣東深圳聯(lián)考） 2020年 9月 23日 強臺風“天兔”登錄深圳 ，伴隨著就是 狂風 暴雨 。梧桐山 山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，臺風過后，大樹 被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所 示）。 已知山坡的坡角∠ AEF=23176。，量得樹干的傾 斜角為 ∠ BAC=38176。 ,大樹被折斷部分和坡面所成的角 ∠ ADC=60176。 , AD=3m。 （ 1）求∠ DAC的度數(shù)； （ 2）求這棵大樹折斷前的高度。（結(jié)果保留根號） C 60176。 38176。 D E 23176。 A F 答案： 解：（ 1）延長 BA交 EF 于一點 G， 則 ∠DAC=180176。 ﹣ ∠BAC ﹣ ∠GAE =180176。 ﹣ 38176。 ﹣（ 90176。 ﹣ 23176。 ） =75176。 ； （ 2）過點 A作 CD的垂線，設(shè)垂足為 H， 則 Rt△ADH 中， ∵∠ADC=60176。 ， ∠AHD=90176。 ， ∴∠DAH=30176。 ， ∵AD= 3， ∴DH= 32， AH=332 ． Rt△ACH 中， ∵∠CAH=∠ CAD﹣ ∠DAH=75176。 ﹣ 30176。 =45176。 ， ∴∠C=45176。 ， 故 CH=AH=332 ， AC=362 ． 故樹高 362 +332 +32 （ 米 ） ． 21. （ 2020廣東深圳聯(lián)考） 如圖，在 □ ABCD中， AE 平分∠ BAD，交 BC 于點 E， BF平分∠ ABC，交 AD于點 F， AE與 BF交于點 P，連接 EF， PD． （ 1）求證：四邊形 ABEF是菱形； （ 2）若 AB=4， AD=6，∠ ABC=60176。 ，求 tan∠ DPF的值． FDABPHCE 答案： （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC ． ∴∠DAE=∠AEB ． ∵ AE是角平分線， ∴∠DAE=∠BAE ． ∴∠BAE=∠AEB ． ∴AB=BE ． 同理 AB=AF． ∴AF=BE ． ∴ 四邊形 ABEF是平行四邊形． ∵AB=BE ， ∴ 四邊形 ABEF是菱形． （ 2）解： 延長 BF， 作 DH⊥PH 于 H， ∵ 四邊形 ABEF是菱形， ∠ABC=60176。 ， AB=4， ∴AB=AF=4 ， ∠ABF=∠AFB=30176。 ， ∠DFH=30176。 ， ∵AD= 6， AF=4， ∴DF =1， ∵DH⊥PH ， ∠DFH=30176。 ， ∴HFDHD F H ??tan ∴FH= 3 ， ∴ 在 Rt△ APF中 ,PF=AFcos30176。 = 32 ， PH= 33 ∴tan∠DP F=PHDH=93331 ?． 22. 如圖，某高樓頂部有一信號發(fā)射塔，在矩形建筑物 ABCD 的 A， C 兩點測得該塔頂端 F的仰角分別為 ? 和 β ，矩形建筑物寬度 AD=20m，高度 DC=33m．求： （ 1）試用 α 和 β 的三角 函數(shù)值 表示線段 CG的長； （