【文章內容簡介】 ），∵將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，∴B2（﹣2，1），∴Bn（﹣2，1），∵矩形AnOCnBn的對角線交點（﹣2，1），即（﹣，），故答案為：（﹣，）．三、 解答題1. （2016湖北武漢10分）在△ABC中，P為邊AB上一點．(1) 如圖1，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝APAB；(2) 若M為CP的中點，AC＝2，① 如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長；② 如圖3，若∠ABC＝45176。，∠A＝∠BMP＝60176。，直接寫出BP的長． 【考點】相似形綜合，考查相似三角形的判定和性質，平行線的性質，三角形中位線性質，勾股定理?！敬鸢浮?（1）證△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝；②【解析】（1）證明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝APAB；（2）①如圖，作CQ∥BM交AB延長線于Q，設BP＝x，則PQ＝2x∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝APAQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝ 即BP＝；②如圖：作CQ⊥AB于點Q，作CP0＝CP交AB于點P0，∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ ，設P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴，∴MP? P0C＝AP0 ?BP＝x（－1＋x），解得x＝∴BP＝－1＋＝．2. （2016遼寧丹東12分）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD．（1）猜想PM與PN的數量關系及位置關系，請直接寫出結論；（2）現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0176。＜α＜90176。），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點G、H．請判斷（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數量關系，并加以證明．【考點】相似形綜合題．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN；（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；（3）PM=kPN，由已知條件可證明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因為點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，所以PM=BD，PN=AE，進而可證明PM=kPN．【解答】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90176。．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90176。，∴∠MPA+∠NPC=90176。，∴∠MPN=90176。，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90176。．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90176。．∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180176。．∴∠MGE=90176。．∴∠MPN=90176。．∴PM⊥PN． （3）PM=kPN ∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90176。．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE． ∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．3. （2016四川瀘州）如圖，△ABC內接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點H，AC的延長線與過點B的直線相交于點E，且∠A=∠EBC．（1）求證：BE是⊙O的切線；（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交于點F、G，若BG?BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．【考點】圓的綜合題；三角形的外接圓與外心；切線的判定．【分析】（1）欲證明BE是⊙O的切線，只要證明∠EBD=90176。．（2）由△ABC∽△CBG，得=求出BC，再由△BFC∽△BCD，得BC2=BF?BD求出BF，CF，CG，GB，再通過計算發(fā)現CG=AG，進而可以證明CH=CB，求出AC即可解決問題．【解答】（1）證明：連接CD，∵BD是直徑，∴∠BCD=90176。，即∠D+∠CBD=90176。，∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，∴∠CBD+∠EBC=90176。，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切線．（2）解：∵CG∥EB，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠BCG，∵∠CBG=∠ABC∴△ABC∽△CBG，∴=，即BC2=BG?BA=48，∴BC=4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2=BF?BD，∵DF=2BF，∴BF=4，在RT△BCF中，CF==4，∴CG=CF+FG=5，在RT△BFG中，BG==3，∵BG?BA=48，∴即AG=5，∴CG=AG，∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90176。，∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=4，∵△ABC∽△CBG，∴=，∴AC==，∴AH=AC﹣CH=．4．（2016四川內江）(12分)如圖15，已知拋物線C：y＝x2－3x＋m，直線l：y＝kx(k＞0)，當k＝1時，拋物線C與直線l只有一個公共點．(1)求m的值；(2)若直線l與拋物線C交于不同的兩點A，B，直線l與直線l1：y＝－3x＋b交于點P，且＋＝，求b的值；(3)在(2)的條件下，設直線l1與y軸交于點Q，問：是否存在實數k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．xyOl1QPBAl圖15xyOl1QPBAl答案圖CED[考點]二次函數與一元二次方程的關系，三角形的相似，推理論證的能力。解：(1)∵當k＝1時，拋物線C與直線l只有一個公共點，∴方程組有且只有一組解． 2分消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有兩個相等的實數根．∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．∴m＝4． 4分(2)如圖，分別過點A，P，B作y軸的垂線，垂足依次為C，D，E，則△OAC∽△OPD，∴＝．同理，＝．∵＋＝，∴＋＝2．∴＋＝2．∴＋＝，即＝． 5分解方程組得x＝，即PD＝． 6分由方程組消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．∵AC，BE是以上一元二次方程的兩根，∴AC＋BE＝k＋3，ACBE＝4． 7分∴＝．解得b＝8． 8分(3)不存在．理由如下： 9分假設存在，則當S△APQ＝S△BPQ時有AP＝PB，于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，∴k＋3＝2，即(k＋3)2＝16．解得k＝1(舍去k＝－7)． 11分當k＝1時，A，B兩點重合，△QAB不存在．∴不存在實數k使S△APQ＝S△BPQ． 12分5．（2016四川南充）已知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結CM． （1）如圖一，若點M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN； （2）①如圖二，在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需說明理由） ②是否存在滿足條件的點P，使得PC=？請說明理由． 【分析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90176。，推出∠PAM+∠PBA=90176。即可證明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出==，由△BAP∽△BNA，推出=，得到=，由此即可證明． （2）①結論仍然成立，證明方法類似（1）．②這樣的點P不存在．利用反證法證明．假設PC=，推出矛盾即可． 【解答】（1）證明：如圖一中，∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90176。， ∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM=∠PBC， ==， ∴∠PBC+∠PBA=90176。， ∴∠PAM+∠PBA=90176。， ∴∠APB=90176。， ∴AP⊥BN， ∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90176。， ∴△BAP∽△BNA， ∴=， ∴=， ∵AB=BC， ∴AN=AM． （2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN． 理由如圖二中，∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90176。， ∵△PBC∽△PAM， ∴∠PAM=∠PBC， ==， ∴∠PBC+∠PBA=90176。， ∴∠PAM+∠PBA=90176。， ∴∠APB=90176。， ∴AP⊥BN， ∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90176。， ∴△BAP∽△BNA， ∴=， ∴=， ∵AB=BC， ∴AN=AM． ②這樣的點P不存在． 理由：假設PC=， 如圖三中，以點C為圓心為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓， CO==＞1+， ∴兩個圓外離，∴∠APB＜90176。，這與AP⊥PB矛盾， ∴假設不可能成立， ∴滿足PC=的點P不存在． 【點評】本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質、圓的有關知識，解題的關鍵是熟練應用相似三角形性質解決問題，最后一個問題利用圓的位置關系解決問題，有一定難度，屬于中考壓軸題． 6．（2016四川攀枝花）如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動圓圓心Q從點O出發(fā)，沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點P從點A出發(fā)，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連結CD、QC．（1）當t為何值時，點Q與點D重合？（2）當⊙Q經過點A時，求⊙P被OB截得的弦長．（3）若⊙P與線段QC只有一個公共點，求t的取值范圍．【考點】圓的綜合題．【分析】（1）由題意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用對應邊的比求出AD的長度，若Q與D重合時，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；