【文章內(nèi)容簡介】 證明 如下：如圖，延長 FD到 G，使 DG＝ BE，連接 AG， ∵∠ B＋∠ ADC＝ 180176。，∠ ADC＋∠ ADG＝ 180176。，∴∠ B＝∠ ADG， 在△ ABE和△ ADG中， ，∴△ ABE≌△ ADG（ SAS）， ∴ AE＝ AG，∠ BAE＝∠ DAG， ∵∠ EAF＝∠ BAD， ∴∠ GAF＝∠ DAG＋∠ DAF＝∠ BAE＋∠ DAF＝∠ BAD－∠ EAF＝∠ EAF，∴∠ EAF＝∠GAF， 在△ AEF和△ GAF中， ，∴△ AEF≌△ GAF（ SAS），∴ EF＝ FG， ∵ FG＝ DG＋ DF＝ BE＋ DF，∴ EF＝ BE＋ DF； 實際應(yīng)用：如圖，連接 EF，延長 AE、 BF相交于點 C， ∵∠ AOB＝ 30176。＋ 90176。＋（ 90176。－ 70176。）＝ 140176。，∠ EOF＝ 70176。，∴∠ EAF＝∠ AOB， 又∵ OA＝ OB，∠ OAC＋∠ OBC＝（ 90176。－ 30176。）＋（ 70176。＋ 50176。）＝ 180176。，∴符合探索延伸中的條件， ∴結(jié)論 EF＝ AE＋ BF成立，即 EF＝ （ 60＋ 80）＝ 210海里． 答：此時兩艦艇之間的距離是 210海里． （ 2022青島一模）已知：如圖，在矩形 ABCD 中，點 E在邊 AD 上，點 F在邊 BC上，且 AE=CF，作 EG∥ FH，分別與對角線 BD交于點 G、 H，連接 EH， FG． （ 1）求證：△ BFH≌△ DEG； （ 2）連接 DF，若 BF=DF，則四邊形 EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論． 【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】（ 1）由平行四邊形的性質(zhì)得出 AD∥ BC， AD=BC， OB=OD，由平行線的性質(zhì)得出∠ FBH=∠ EDG，∠ OHF=∠ OGE，得出∠ BHF=∠ DGE，求出 BF=DE，由 AAS即可得出結(jié)論； （ 2）先證明四邊形 EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出 EF⊥ GH，即可得出四邊形 EGFH 是菱形． 【解答】（ 1）證明 ：∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， AD=BC， OB=OD， ∴∠ FBH=∠ EDG， ∵ AE=CF， ∴ BF=DE， ∵ EG∥ FH， ∴∠ OHF=∠ OGE， ∴∠ BHF=∠ DGE， 在△ BFH和△ DEG 中， ， ∴ BFH≌△ DEG（ AAS）； （ 2）解：四邊形 EGFH是菱形；理由如下： 連接 DF，如圖所示： 由（ 1）得： BFH≌△ DEG， ∴ FH=EG， 又∵ EG∥ FH， ∴四邊形 EGFH是平行四邊形， ∵ BF=DF， OB=OD， ∴ EF⊥ BD， ∴ EF⊥ GH， ∴四邊形 EGFH是菱形． （ 2022青島一模）把 Rt△ ABC和 Rt△ DEF按如圖（ 1）擺放（點 C與 E 重合），點 B、C（ E）、 F在同一條直線上．已知：∠ ACB=∠ EDF=90176。，∠ DEF=45176。， AC=8cm， BC=6cm， EF=10cm．如圖（ 2），△ DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 CB向△ ABC勻速移動，在△ DEF移動的同時，點 P 從△ ABC 的頂點 A 出發(fā)，以 2cm/s 的速度沿 AB 向點 B 勻速移動；當(dāng)點 P移動到點 B時，點 P 停止移動，△ DEF也隨之停止移動． DE與 AC交于點 Q，連接 PQ，設(shè)移動時間為 t（ s）． （ 1）用 含 t的代數(shù)式表示線段 AP 和 AQ的長，并寫出 t的取值范圍； （ 2）連接 PE，設(shè)四邊形 APEQ的面積為 y（ cm2），試探究 y的最大值； （ 3）當(dāng) t為何值時，△ APQ 是等腰三角形． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】動點型． 【分析】（ 1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出 CQ、 AQ，從而得出結(jié)論， （ 2）作 PG⊥ x軸，將四邊形的面積表示為 S△ ABC﹣ S△ BPE﹣ S△ QCE即可求解， （ 3）根據(jù)題意以及三角形相似對邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】（ 1）解： AP=2t ∵∠ EDF=90176。，∠ DEF=45176。， ∴∠ CQE=45176。 =∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t 的取值范圍是： 0≤ t≤ 5； （ 2）過點 P作 PG⊥ x軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S△ ABC﹣ S△ PBE﹣ S△QCE= = ∴當(dāng) （在 0≤ t≤ 5內(nèi)）， y有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖①：過點 P作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ，如圖②：過點 Q作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176?！?A=∠ A， ∴△ AQI∽△ ABC ∴ 即 ， 解得： （ s） 綜上所述，當(dāng) 或 或 時，△ APQ是等腰三角形． 8． (2022浙江杭州蕭山區(qū)模擬 )在△ ABC中， AB=AC，點 E， F分別在 AB， AC 上， AE=AF，BF與 CE 相交于點 P．求證： PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖 形問題． 【分析】可證明△ ABF≌△ ACE，則 BF=CE，再證明△ BEP≌△ CFP，則 PB=PC，從而可得出 PE=PF， BE=CF． 【解答】解：在△ ABF和△ ACE中， ， ∴△ ABF≌△ ACE（ SAS）， ∴∠ ABF=∠ ACE（全等三角形的對應(yīng)角相等）， ∴ BF=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）， ∵ AB=AC， AE=AF， ∴ BE=CF， 在△ BEP和△ CFP 中， ， ∴△ BEP≌△ CFP（ AAS）， ∴ PB=PC， ∵ BF=CE， ∴ PE=PF， ∴圖中相等的線段為 PE=PF， BE=CF， BF=CE． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，難度不大． 9． (2022云南省一模 )在△ ABC中， AB=AC，點 E， F分別在 AB， AC上， AE=AF， BF與 CE相交于點 P．求證：△ EBC≌△ FCB． 【考點】全等三角形的判定． 【專題】證明題． 【分析】首先根據(jù)等邊對等角可得∠ ABC=∠ ACB，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得 BE=CF，然后再利用 SAS判定△ EBC≌△ FCB． 【解答】證明：∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ ACB， ∵ AE=AF， ∴ AB﹣ AE=AC﹣ AF 即 BE=CF， 在△ EBC和△ FCB 中， ， ∴△ EBC≌△ FCB（ SAS）． 【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 10. （ 2022 吉林長春朝陽區(qū) 一模） 探究：如圖 ①， △ ABC 是等邊三角形，在邊 AB、BC 的延長線上截取 BM=CN，連結(jié) MC、 AN，延長 MC 交 AN 于點 P． （ 1）求證： △ ACN≌△ CBM； （ 2）