【正文】 上一點(diǎn) P，作 PE⊥ AC于 E， Q 為 BC 延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng) PA=CQ 時(shí)，連接 PQ 交邊 AC 于點(diǎn) D，則 DE 的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D．不能確定 【考點(diǎn)】 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線(xiàn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專(zhuān)題】 證明題． 【分析】 過(guò) P 作 PF∥ BC 交 AC 于 F，得出等邊三角形 APF，推出 AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出 EF=AE，證 △ PFD≌△ QCD，推出 FD=CD，推出 DE=AC 即可． 【解答】 解：過(guò) P 作 PF∥ BC 交 AC 于 F， ∵ PF∥ BC， △ ABC 是等邊三角形， ∴∠ PFD=∠ QCD， ∠ APF=∠ B=60176。 CG= AB= 2a=a， ∴ MG= CG= a= ， ∴ HN= ， 故選： D． 【點(diǎn)評(píng) 】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 4. （ 2022 新疆烏魯木齊九十八中 BE=BC=3cm，得出 AE=AB﹣ BE=2cm，設(shè) DC=xcm，則 DE=xcm， AD=（ 4﹣ x） cm，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解 答】解：∵∠ C=90176。 又∵∠ MBH+∠ MBC=∠ ABC=60176。廣東東莞一模）如圖，△ ABC和△ CDE都是等邊三角形，且∠ EBD=66176。 ∴∠ CBD=∠ ABE+（ 66176。 =126176。一模）已知：∠ D=∠ E， AD=AE，∠ 1=∠ 2．求證： BD=CE． 【分析】先證出∠ BAD=∠ CAE，再由 ASA證明△ ABD≌△ ACE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可． 【解答】證明：∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ BAD=∠ CAE， 在△ ABD與△ ACE 中， ， ∴△ ABD≌△ ACE（ ASA）， ∴ BD=CE 3.(2022． ∴∠ DGF=∠ EGA=70176。． E、 F 分別是 BC、 CD上的點(diǎn)．且∠ EAF＝ 60176?！唷?B＝∠ ADG， 在△ ABE和△ ADG中， ，∴△ ABE≌△ ADG（ SAS）， ∴ AE＝ AG，∠ BAE＝∠ DAG， ∵∠ EAF＝∠ BAD， ∴∠ GAF＝∠ DAG＋∠ DAF＝∠ BAE＋∠ DAF＝∠ BAD－∠ EAF＝∠ EAF，∴∠ EAF＝∠GAF， 在△ AEF和△ GAF中， ，∴△ AEF≌△ GAF（ SAS），∴ EF＝ FG， ∵ FG＝ DG＋ DF＝ BE＋ DF，∴ EF＝ BE＋ DF； 實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接 EF，延長(zhǎng) AE、 BF相交于點(diǎn) C， ∵∠ AOB＝ 30176。）＋（ 70176。 =∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t 的取值范圍是： 0≤ t≤ 5； （ 2）過(guò)點(diǎn) P作 PG⊥ x軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S△ ABC﹣ S△ PBE﹣ S△QCE= = ∴當(dāng) （在 0≤ t≤ 5內(nèi)）， y有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖①：過(guò)點(diǎn) P作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ，如圖②：過(guò)點(diǎn) Q作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176。． 應(yīng)用：將圖 ①的 △ ABC 分別改為正 方形 ABCD 和正五邊形 ABCDE，如圖 ②、 ③，在邊AB、 BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取 BM=CN，連結(jié) MC、 DN，延長(zhǎng) MC 交 DN 于點(diǎn) P，則圖 ②中 ∠ CPN= 90 176。 故答案為 120． 應(yīng)用：將等邊三角形換成正方形， 解：四邊形 ABCD 是正方形， ∴ BC=DC， ∠ ABC=∠ BCD=90176。﹣（ ∠ CND+∠ PCN） =180176。﹣（ ∠ BCM+∠ BMC） =180176。即可得到 ∠ AEB+∠ FEG=90176。﹣ ∠ FCG=180176。 ∠ AEB+∠ CEF=90176。 ∴∠ DCF＝ 90186。廣東（直接寫(xiě)出結(jié)果即可） 解：（ 1）根據(jù)題意，有∠ OBP = 90176。∴△ OBP∽△ PCQ.∴CQBPPCOB?. 由題意知， BP＝ t， AQ＝ m， BC＝ 11， AC＝ 6，則 PC＝ 11－ t， CQ＝ 6－ m． ∴ ．mtt ??? 6116 ∴ 661161 2 ??? ttm （ 0＜ t＜ 11） . （ 3）點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 11 133? ， 6）或（ 11+133 ， 6） . 。 （ 1）如圖①，當(dāng)∠ BOP＝ 30176。 ∴∠ BAP＋∠ KAB＝∠ KAP＝ 45 186。 ∴∠ FPH＝∠ BAP 又 ∵ AP＝ PF ∴△ BAP≌△ HPF ∴ PH＝ AB， BP＝ FH ∴ PH＝ BC ∴ BP＋ PC＝ PC＋ CH ∴ CH＝ BP＝ FH 而 ∠ FHC＝ 90186。 ∴∠ ECF=135176。 ∴∠ AME=135176。一模 ） 數(shù)學(xué)活動(dòng)：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想． 數(shù)學(xué)課上，李老師出示了問(wèn)題：如圖 1，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 是邊 BC 上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E 作 EF⊥ AE，過(guò)點(diǎn) F 作 FG⊥ BC 交 BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) G．． （ 1）求證： ∠ BAE=∠ FEG． （ 2）同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖 2，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E是邊 BC的中點(diǎn)． ∠ AEF=90176。﹣（ ∠ CND+∠ PCN） =180176。． 在 △ DCN 和 △ CBM 中， ∴△ DCN≌△ CBM． ∴∠ BMC=∠ CND， ∠ BCM=∠ CDN， ∵∠ ABC=∠ BMC+∠ BCM=108176。+60176。 吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)區(qū) ∠ DEF=45176?！唷?EAF＝∠ AOB， 又∵ OA＝ OB，∠ OAC＋∠ OBC＝（ 90176。試求此時(shí)兩艦艇之間的距離？ 答案： 解：?jiǎn)栴}背景： EF＝ BE＋ DF； 探索延伸： EF＝ BE＋ DF仍然成立． 證明 如下：如圖，延長(zhǎng) FD到 G，使 DG＝ BE，連接 AG， ∵∠ B＋∠ ADC＝ 180176。． （ 3）延長(zhǎng) AE，交 DC 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) M． ∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AB∥ CD． ∴∠ BAF=∠ AFD，∠ M=∠ BAE． ∵點(diǎn) E是 BC 邊上的中點(diǎn)， ∴ BE=CE． 在△ ABE和△ MCE 中， ， ∴△ ABE≌△ MCE（ AAS）． ∴ AE=ME． ∵ AF⊥ CD， ∴ EF=AE=EM= AM． ∴∠ M=∠ EFC． ∴∠ AEF=∠ BAE+∠ EFC=2∠ EFC． （ 2022齊河三模）如圖 1： 在四邊形 ABCD中， AB＝ AD，∠ BAD＝ 120176。在 Rt△ DGF中，利用直角三角形兩銳角互余可求得∠ CDE=20176。一模）如圖，點(diǎn) C， D在線(xiàn)段 BF上， AB∥ DE， AB