【正文】 到 = ，代入計算即可得到答案． 【解答】 解：∵ DE∥ BC， ∴ = = ，又 AD=9， ∴ AB=12， 故選： C． 12． (2022178。＜ α＜ 60176。圖形的相似與位似 一、 選擇題 （ 2022齊河三模） 如圖， A， B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了 A、 B間的距離：先在 AB 外選一點(diǎn) C，然后測出 AC， BC 的中點(diǎn) M， N，并測量出 MN 的長為 12m，由此他就知道了 A、 B間的距離．有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是 ( ) =24m B. MN∥ AB C.△ CMN∽△ CAB :MA=1:2 答案： D （ 2022齊河三模） 如圖，在方格紙中，△ ABC和△ EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，要使△ ABC∽△ EPD，則點(diǎn) P所在的格點(diǎn)為 ( ) A． P1 B． P2 C． P3 D． P4 答案： B （ 2022泰安一模） 小剛身高 ，測得他站立在陽光下的影子長為 ，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為 ，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（ ） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】 相似三角形的應(yīng)用；比例的性質(zhì)． 【專題】 應(yīng)用題． 【分析】 在同一時刻，物體的實(shí)際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答． 【解答】 解：設(shè)小剛舉起的手臂超出頭頂是 xm 根據(jù)同一時刻物高與影長 成比例，得 ， x=． 故選： A． 4.(2022178。）如圖擺放，點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn)， DE 交 AC 于點(diǎn) P，DF 經(jīng)過點(diǎn) C，將 △ EDF 繞點(diǎn) D 順時針方向旋轉(zhuǎn) α（ 0176。重慶巴南 178。； ②∠ 1=∠ AEC； ③△ ABE∽△ ECF； ④∠ BAE=∠ 3． A． 1 個 B． 2 個 C． 3 個 D． 4 個 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】 解：由翻折變換的性質(zhì)可知， ∠ AEB+∠ FEC= 180176。廣東河源178。 在 Rt△ AFD 與 Rt△ CDG 中， ， ∴ Rt△ AFD≌ Rt△ CDG， ∴∠ ADF=∠ CDG， ∴∠ FDG=∠ ADC=90176。一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 0， 4），直線 y= x﹣ 3與 x軸、 y 軸分別交于點(diǎn) A， B，點(diǎn) M是直線 AB上的一個動點(diǎn)，則 PM 長的最小值為 ． 【分析】 認(rèn)真審題，根據(jù)垂線段最短得出 PM⊥ AB時線段 PM 最短，分別求出 PB、 OB、 OA、AB的長度，利用△ PBM∽△ ABO，即可求出本題的答案． 【解答】 解：如圖，過點(diǎn) P作 PM⊥ AB，則：∠ PMB=90176。一模 )已知 A（ 3， 2）是平面直角坐標(biāo)中的一點(diǎn)，點(diǎn) B 是 x 軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié) AB，并以 AB 為邊在 x 軸上方作矩形 ABCD，且滿足 BC： AB=1： 2，設(shè)點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)是 a，如果用含 a 的代數(shù)式表示 D 點(diǎn)的坐標(biāo)，那么 D 點(diǎn)的坐標(biāo)是 （ 2，） ． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 【分析】 如圖，過 C 作 CH⊥ x 軸于 H，過 A 作 AF⊥ x 軸于 F， AG⊥ y 軸于 G，過 D 作 DE⊥ AG于 E，于是得到 ∠ CHB=∠ AFO=∠ AED=90176。 浙江杭州蕭山區(qū) 178。一摸） （ 本小題 10 分） 如圖（ 1），在平面直角坐標(biāo)系中， 已知點(diǎn) A（ 4， 0），點(diǎn) B（ 0，） . 沿 x軸向右平移Rt△ ABO，得 Rt△ ABO? ? ?，直線 OB??與 AB或 BA的延長線相交于點(diǎn) D. 設(shè) D（ x， y）（ 0x?），以點(diǎn) A， ?， B?， D為頂點(diǎn)的四邊形面積記為 S. （ Ⅰ ）求 與 x的函數(shù)關(guān)系式； （ Ⅱ ）用含 （ 4?）的式子表示 S； （ Ⅲ ）當(dāng)103S?，求點(diǎn) D的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果） . （圖 2 為備用圖） . 解：（ Ⅰ ） 當(dāng)點(diǎn) O?與點(diǎn) A不重合時， ∵ BO??∥ OB， ∴ △ DO?∽△ ABO. ∴ DO AOBO AO?. 如圖（ 1），點(diǎn) D 在 AB 上， 有 4A O A O O O x? ? ? ?. ∴ 434yx??. 即3 34?? ?. 如圖（ 2），點(diǎn) D 在 BA 延長線上， 有 4A O O O A O x??? ? ? ?. ∴ 4???. 即3 34? ?. 當(dāng)點(diǎn) O?與點(diǎn) A重合時， D與 A重合，此時， 0x?，3y?. ∴ y與 x的關(guān)系是：3 34yx?? ?. （ Ⅱ ） ① 如圖（ 1），當(dāng) 4x?? ?時， 點(diǎn) D 在 AB 上， 有 四 邊 形 A B O A D OA A B DS S S? ? ? ??? ????. y B O A x 圖（ 2） 圖（ 1） y B O O? A x D A? B? 第（ 1）題 圖（ 1） y B O A x D O? A? B? 圖（ 2） y B O A x O? A? B? D ∴ 1122S A O B O A O D O? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 把 3 34DO y x?? ? ? ?，代入， 得1 1 34 3 ( 4 ) ( 3 )2 2 4S x x? ? ? ? ? ? ? ?. ∴ 23 38S x x?? ?（ 4x?? ?） . ② 如圖（ 2），當(dāng) 4x?時，點(diǎn) D 在 BA 延長線上， ∵ 平移 △ AOB得到 △ AOB? ? ?， ∴ OO AA x????，||D y y? ? ??. ∵ A A D A A BA D A BS S S? ? ??? ????四 邊 形 ∴ 1122A A B A A DS S S A A B O A A D O? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 把 3 34yx?? ?代入，得 21 1 3 1 3 33 ( ) ( 3 )2 2 2 2 4 8S x x y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 綜上，223 3838， 0 4 ， 4. xxSxx? ? ? ? ???? ?????????? ??? （ Ⅲ ） D（43， 2） . 把103S?代入23 38S x x?? ?，得 1 43x，2 20 43x ??，舍 . 把43x，代入3 34yx? ?，得2y?. 103S?代入238Sx?，得1 4 503x ?? ?(舍 ) ，2 54x ??（舍） . 6． （ 2022178。 一模 ） 如圖， AB 為 ⊙ O 的直徑， C 為 ⊙ O 上一點(diǎn)， AD 和過 C 點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為 D，且 AC 平分 ∠ DAB． （ 1）求證： DC 為 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 3， AD=4，求 AC 的長． 【考點(diǎn)】 切線的判定； 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）連接 OC，由 OA=OC 可以 得到 ∠ OAC=∠ OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明 ∠ DAC=∠ OCA，接著利用平行線的判定即可得到 OC∥ AD，然后就得到 OC⊥ CD，由此即可證明直線 CD 與 ⊙ O 相切于 C 點(diǎn)； （ 2）連接 BC，根據(jù)圓 周角定理的推 理得到 ∠ ACB=90176。四川峨眉 178。模擬 )（本題滿分 12 分，第 (1)、（ 2）小題各 6 分） 如圖，已知：四邊形 ABCD 是平行四邊形， 點(diǎn) E 在邊 BA 的延長線上， CE 交 AD 于點(diǎn) F，∠ECA = ∠ D． （ 1）求證： ?EAC∽ ECB； （ 2）若 DF = AF，求 AC︰ BC 的值． （ 1） 證明：因?yàn)?，四邊?ABCD 是平行四邊形， 所以，∠ B = ∠ D， 因?yàn)椤?ECA = ∠ D，所以∠ ECA = ∠ B， 因?yàn)椤?E = ∠ E， 所以△ ECA∽△ ECB (2)解：因?yàn)?，四邊?ABCD 是平行四邊形， 所以， CD∥ AB，即： CD∥ AE 所以D DFAE AF? 因?yàn)?DF=AF，所以， CD=AE， 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形，所以， AB=CD，所以 AE=AB， 所以， BE=2AE， 因?yàn)椤?ECA∽△ EBC 所以AE CE ACCE BE BC?? 所以2212E AE BE BE? ? ?，即：22CEBE? 所以22ACBC?． 16． (2022178。 ∵∠ BEF=90176。（如圖 2），則四邊形 P′ACP 是矩形，則 PP′=AC． 若 △ P180。 ∴∠ CQE=45176。廣東深圳178。一模 )已知在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。一模）如圖， E是 ?ABCD邊 AB 延長線上的一點(diǎn)， AB=4BE，連接 DE交 BC于點(diǎn) F，則△ DCF 與四邊形 ABFD面積的比是 ． 【分析】 由平行四邊形的性質(zhì)得出 AB=CD， AB∥ CD， AD∥ BC，得出△ BEF∽△ DCF，得出 S△ DCF=16S△ BEF，同理： S△ ACD=25S△ BEF，即可得出結(jié)果． 【解答】 解：∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AB=CD， AB∥ CD， AD∥ BC， ∴△ BEF∽△ DCF， ∴ =（ ） 2， ∵ AB=4BE， ∴ CD=4BE， ∴∴ =（ ） 2 ， ∴ S△ DCF=16S△ BEF， 同理： S△ ACD=25S△ BEF， ∴ = ， ∴ = = ， 即△ DCF與四邊形 ABFD面積的比是 2： 3， 故答案為 ． 7． (2022178。浙江鎮(zhèn)江178。第三步，連接 DE、 BE=8， ED =4， CD=3，則 BD的長是 ( ) A． 4 B． 6 C． 8 D． 12 答案： B 20.（ 2022178。上海浦東178。＜ α＜ 60176。一模） 將一副三角尺（在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。天津北辰區(qū) 可利用互余得 ∠ CPD=60176。一模 )如圖， BD、 CE 相交于點(diǎn) A，下列條件中，能推得 DE∥ BC的條件是（ ） 第 12 題圖 A． AE： EC=AD： DB B． AD： AB=DE： BC C． AD： DE=AB： BC D． BD： AB=AC： EC 【考點(diǎn)】 平行線分線段成比例． 【分析】 根據(jù)比例式看看能不能推出 △ ABC∽△ ADE 即可． 【解答】 解： A、 ∵ AE： EC=AD： DB， ∴ = ， ∴ 都減去 1 得： = ， ∵∠ BAC=∠ EAD， ∴△ ABC∽△ ADE， ∴∠ D=∠ B， ∴ DE∥ BC，故本選項(xiàng)正確； B、根據(jù) AD： AB=DE： BC 不能推出 △ ABC∽△ ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥ BC，故本選項(xiàng)錯誤； C、根據(jù) AD： DE=AB： BC 不能推出 △ ABC∽△ ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥ BC，故本選項(xiàng)錯誤； D、根據(jù) BD： AB=AC： EC 不能推出 △ ABC∽△ ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥ BC，故本選項(xiàng)錯誤； 故選 A． 【點(diǎn)評】 本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，能理解平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵． 14． (2022178。 ∴∠ 1+∠ 3=90176。一 模） 如圖，在 △ ABC 中， ∠ C=90176。﹣ ∠ FHM， ∠ QHM=90176。上海普陀區(qū)178。 吉林長春朝陽區(qū) 178。； （ 2） 連接 MO， ∵ MC 垂直平分 AO，∴ MA=MO=AO ∴ ∠ AMO=60176。 又 ∵ 在等腰三角形 △ APB 中有 AB=13， ∴ PA= = = ． （ 2）如圖（ 2）所示：連接 BC． OP 相交于 M 點(diǎn)，作 PN⊥ AB 于點(diǎn) N， ∵ P 點(diǎn)為弧 BC 的中點(diǎn)， ∴ OP⊥ BC， ∠ OMB=90176。一模）如圖 1，正方形 ABCD中，點(diǎn) E為 AD上任意一點(diǎn) ，連接 BE，以 BE為邊向 BE右側(cè)作正方形 BEFG， EF交 CD于點(diǎn) M，連接 BM， N為