【正文】 ∵△ ACE∽△ BDE， ∴ ， ∵∠ E=∠ E， ∴△ ECD∽△ EAB， ∴ ， ∴ ， ∴ BE?DC=AB?DE． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定和性質，鄰補角的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵． 14． (2022二模）如圖， ABCDY 中， E 是 CD 延長線上一點， BE 與 AD 交于點 F ， CDDE 21? ． （ 1）求證： ABFV ∽ CEBV ； （ 2）若 ABFV 的面積為 8 ，求 梯形 FBCD 的面積． 答案： （ 1）證明：在 ABCDY 中， E 是 CD 延長線上一點 ∴ AB ∥ CE ∴ ABF E? ?? 又 ∵ AC? ?? ABFV : CEBV （ 2）解：∵ AD ∥ BC ， ∴ EFD EBCV : V ． 又 ∵ ABFV : CEBV ， ∴ E F D A B F C E BV : :． 又 ∵ CDDE 21? ， AB CD? ， ∴ : : 1 : 2 : 3E D A B E C ?， ∴ : : 1 : 4 : 9E F D A B F E B CS S S ?V V V． 又∵ ABFV 的面積為 8 ， ∴ 4EFDS ?V ， B A C D E F ∴ 18CEBS ?V ， 所以梯形 FBCD 的面積為 CEBS ?V EFDSV =184? =14． 12． (2022178。 ∴四邊形 DRFH是矩形， ∴ AE=HF=DR， ∴ AD﹣ AE=CD=DR，即 DE=CR， ∴ DE= CM． 10.(2022178。 ∴∠ ABE+∠ AEB=90176?！?BEF=90176。 ∴△ ADC∽△ ACB， ∴ ， ∴ AC2=AD?AB， ∵⊙ O 的半徑為 3， AD=4， ∴ AB=6， ∴ AC=2 ． 【點評】 此題主要考查了切線的性質與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題． 9. (2022178。 天津五區(qū)縣 178。 P′A=P′C（如圖 1） 過點 P′作 P′H⊥ x 軸于點 H． ∴ PP′=CH=AH=P′H= AC． ∴ 2a= （ a+4） ∴ a= ∵ P′H=PC= AC， △ ACP∽△ AOB ∴ = = ，即 = ， ∴ b=2 2）若 ∠ P′AC=90176。 ∴∠ ACB=∠ OMB， ∴ OP∥ AC， ∴∠ CAB=∠ POB， 又因為 ∠ ACB=∠ ONP=90176。 P 是弧 AB 的中點，所以 三角形 APB 是等腰三角形，利用勾股定理即可求得． （ 2）根據垂徑定理得出 OP 垂直平分 BC，得出 OP∥ AC，從而得出 △ ACB∽△ 0NP，根據對應邊成比例求得 ON、 AN 的長，利用勾股定理求得 NP 的長，進而求得 PA． 【解答】 解：（ 1）如圖（ 1）所示，連接 PB， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑且 P 是 的中點， ∴∠ PAB=∠ PBA=45176。天津北辰區(qū) ∠ DEF=45176。． ∵ △MAQ∽ △MNP， ∴ MPMQMNMA?，NMPAMQ ???， ∴ ∠ AMN=∠ QMP， ∴ △AMN∽ △QMP， ∴ ∠ MAN=∠ MQP， ∴ α=∠ AMQ=30176。模擬 )（本小題滿分 9 分） 如圖， AB 為⊙ O 的直徑， AB=2，點在 M 在 QO 上，MC 垂直平分 OA， 點 N 為 直線 AB 上一動點（ N 不與A 重合）， 若△ MNP∽△ MAC， PC 與 直線 AB 所夾銳角為 α． （ 1）若 AM=AC，點 N 與點 O 重合，則 α= ▲ 176。一 模） 如圖，在 平行四邊形 ABCD 中， E 是邊 BC 上的點，分別連 結 AE、 BD 相交于點 O，若 AD=5， 35BODO?，則 EC=__________ 答案： 2 三、解答題 1． (2022178。2=10cm， ∵ CE∥ AO， ∴△ DCE∽△ DOA， ∴ ， 即 ， 解得 DC=20cm． 故答案為： 20． 【點評】 本題主要考查正方形各邊都相等，每個角都是直角的性質和相似三角形對應邊成比例的性質，需要熟練掌握并靈活運用． 18.（ 2022178。河北石家莊178。 ∴∠ DAE=∠ FAB， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABC=90176。上海普陀區(qū)178。上海普陀區(qū)178。上海普陀區(qū)178。 云南省曲靖市羅平縣 178。重慶銅梁巴川178。重慶巴蜀 178。 天津市南開區(qū) 178。 ∵∠ DHF=90176。 ∴∠ GCD=90176。 ∴△ OBA∽△ KEA． ∴ = ， ∴ ， ∴ KE= ， ∴ S=OK?KE= ， 設 OK=x，則 S= =﹣ ， ∴ 當 x=時， S 有最大值，最大值為 ； ②解：當 EM⊥ OF 時，平行四邊形 EOMF 為菱形， OE 的取值范圍為 ＜ OE＜ 3， 設 OK=a， OL=b， 由（ 1）得， KE= ， ML= ， 由 OE=OM 得 a2+[ ]2=b2+[ ]2． 設 y=x2+[ ]2= x2﹣ x+9， 則當 x1=a， x2=b 時，函數 y 的值相等． 函數 y 的對稱軸為直線 x 即 = 解得 a+b= ，即 OK+OL= ． 故答案為： ， ． 【點評】 本題綜合考查了菱形的性質、相似三角形的判定和性質、一元 二次方程、二次函數的知識，綜合性很強，屬于較難題，需要學生有綜合運用知識的能力． 2． (2022178。 浙江杭州蕭山區(qū) 178。聯(lián)考） 如圖，在同一時刻，身高 米的小麗在陽光下的影長為 米，一棵大樹的影長為 5 米，則這棵樹的高度為 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 答 案： B 23.（ 2022178。 .若動點 P以 2cm/s的速度從 B點出發(fā)沿著 B→A 的方向運動， 點 Q從 A點出發(fā)沿著 A→ C的方向運動，當點 P到達點 A時，點 Q也隨之停止運動． 設運動時間為 t(s)， 當△ APQ是直角 三角形時，t的值為（ ） A. 34 B. 33? C. 34或3? D. 34或3?或 答案： C 21. （ 2022178。第二步，連接 MN 分別交 AB、 AC 于點 E、 F。 ∴∠ BAE=∠ 3， ④正確； ∵∠ BAE=∠ 3， ∠ B=∠ C=90176。即 ∠ 2=90176。一模） 按如圖所示的方法折紙，下面結論正確的個數（ ） ①∠ 2=90176。模擬 )如圖，在 △ ABC 中， DE∥ BC，AD=6， BD=3， AE=4，則 EC 的長為（ ） D. 4 【 答案 】 B 17． (2022178。模擬 )如圖，在 △ ABC 中，點 D、 E 分別在邊 AB、 AC 上，下列條件中不能判斷 △ ABC∽△ AED 的是（ ） A． ∠ AED=∠ B B． ∠ ADE=∠ C C． = D． = 【考點】 相似三角形的判定． 【分析】 由于兩三角形有公共角，則根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可對 A、 B 選項進行判斷；根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可 對 C、 D 選項進行判斷． 【解答】 解： ∵∠ DAE=∠ CAB， ∴ 當 ∠ AED=∠ B 或 ∠ ADE=∠ C 時， △ ABC∽△ AED； 當 = 時， △ ABC∽△ AED． 故選 D． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；有兩組角對應相等的兩個三角形相似． 15． (2022178。一模）如圖所示，已知 E（ 4， 2）和 F（ 1， 1），以原點 O為位似中心，按比例尺 2： 1把△ EFO縮小，則點 E的對應點 E′的坐標為（ ） A．（ 2， 1） B．（ 12 ， 12 ） C．（ 2， 1） D．（ 2， 12 ） 答案： C 13． (2022178。= ． 故選 C． 【點評】 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質． 11． (2022178。 ∴∠ MPD=∠ NCD， ∵△ EDF 繞點 D 順時針方向旋轉 α（ 0176。= ，于是可得 = ． 【解答】 解： ∵ 點 D 為斜邊 AB 的中點， ∴ CD=AD=DB， ∴∠ ACD=∠ A=30176。∠ BCD=∠ B=60176。 ∠ E=45176。 天津市南開區(qū) 178。 天津市南開區(qū) 178。 4月診斷檢測 下列 4179。浙江金華東區(qū)178。一摸） 如圖，在 △ ABC 中，點 D， E 分別在 AB， AC 邊上， DE∥ BC，19ADEABCSS?? ?， BC=， 則 DE 等于 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： C 9.（ 2022178。 AO=AB， CO=CD，等腰 Rt△ OAB 與等腰 Rt△ OCD是位似圖形，點 B 的坐標為（ 1， 0）， ∴ BO=1，則 AO=AB= ， ∴ A（ ，﹣ ）， ∵ 等腰 Rt△ OAB 與等腰 Rt△ OCD 是位似圖形， O 為位似中心，相似比為 1： 2， ∴ 點 C 的坐標為：（ 1，﹣ 1）． 第（ 6）題 D C A B E 故選： D． 【點評】 此題主要考查了位似變換的性質，正確理解位似與相似的關系，記憶關于原點位似的兩個圖形對應點坐標之間的關系是解題的關鍵． 10.（ 2022178。在 Rt△ EDF 中， ∠ EDF=90176。）， DE′交 AC 于點 M， DF′交 BC 于點 N，則 的值為（ ） A． B． C． D． 【考 點】 旋轉的性質． 【專題】 壓軸題． 【分析】 先根據直角三角形斜邊上的中線性質得 CD=AD=DB，則 ∠ ACD=∠ A=30176。再根據旋轉的性質得∠ PDM=∠ CDN=α，于是可判斷 △ PDM∽△ CDN，得到 = ，然后在 Rt△ PCD 中利用正切的定義得到 tan∠ PCD=tan 30176。 ∴∠ CPD=60176。= ， ∴ =tan30176。山西大同 178。山東棗莊178。陜西師大附中178。河北石家莊178。 則 ∠ AEF=90176。又 ∠ 1+∠ BAE=90176。一模） 如圖，在 △ ABC 中， AD 平分 ∠ BAC，按如下步驟作圖：第一步， ]分別以點 為圓心，以大于 21 AD 的長為半徑在 AD 兩側作 弧，交于兩點 M、 N。一模） 如圖， AB 是⊙ O 的直徑，弦 BC=2cm， ∠ABC =60176。廣東深圳178。 BC=3， D， E 分別在 AB、 AC 上，將 △ ADE 沿 DE 翻折后 ，點 A 正好 落在點 A′處，若 A′為 CE 的中點，則折痕 DE 的 長為 ( ) A. 21 B. 3 C. 2 D. 1 答案： D 二、填空題 1． (2022178。 EDABC①△ OEK 面積 S 的最大值為 ； ②若以 OE、 OM 為邊構造平行四邊形 EOMF，當 EM⊥ OF 時， OK+OL= ． 【考點】 相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質． 【分析】 ①根據條件證明 △ OBA∽△ KEA，得到比例式，用含 OK 的式子表示 KE，根據三角形的面積公式，列出關于 OK 的關系式即可； ②根據菱形的性質和勾股定理，利用一元二次方程根與系數的關系，求出答案． 【解答】 解： ①∵ EK⊥ OA， ∠ AOB=90176。推出Rt△ AFD≌ Rt△ CDG，證得 △ FDG 是等腰直角三角形，推出四邊形 APHQ 是矩形，證得△ HPF≌△ DHQ，根據全等三角形的性質得到 HP=HQ，推出 △ MHQ≌△ DHQ，根據全等三角形的性質得到 DH=MH= ， DQ=QM= ，求得 CH=DH= ，通過 △ DQH∽△ CEH，根據相似三角形的 性質即可得到結論． 【解答】 解：連接 DF， DG，過 H 作 HP⊥ AB 于 P， HQ⊥ AD 于 Q，