【正文】 上海浦東178。上海浦東178。 二模 )如圖，已知在矩形 ABCD 中，過對角線 AC 的中點 O 作 AC的垂線，分別交射線 AD 和 CB 于點 E、 F，交邊 DC 于點 G，交邊 AB 于點 H．聯(lián)結 AF，CE． （ 1）求證：四邊形 AFCE 是菱形； （ 2）如果 OF=2GO，求證： GO2=DG?GC． 【考點】 相似三角形的判定與性質；菱形的判定；矩形的性質． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質得到 AD∥ BC，由平行線的性質得到 ∠ EAC=∠ ACF，推出△ EOA≌△ FOC，根據(jù)全等三角形的性質得到 AE=CF， OE=OF，推出四邊形 AFCE 是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結論； （ 2）根據(jù)相似三角形的性質得到 ，等量代換求得結論； 【解答】 證明：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ EAC=∠ ACF， 在 △ EOA 和 △ FOC 中， ， ∴△ EOA≌△ FOC， ∴ AE=CF， OE=OF， ∴ 四邊形 AFCE 是平行四邊形， ∵ AC⊥ EF， ∴ 四邊形 AFCE 是菱形； （ 2） ∵∠ EDG=∠ COG=90176。一模 )已知，如圖，在四邊形 ABCD 中， ∠ ADB=∠ ACB，延長AD、 BC 相交于點 E．求證： （ 1） △ ACE∽△ BDE； （ 2） BE?DC=AB?DE． 【考點】 相似三角形的判定與性質． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)鄰補角的定義得到 ∠ BDE=∠ ACE，即可得到結論； （ 2）根據(jù)相似三角形的性質得到 ，由于 ∠ E=∠ E，得到 △ ECD∽△ EAB，由相似三角形的性質得到 ，等量代換得到 ，即可得到結論． 【解答】 證明：（ 1） ∵∠ ADB=∠ ACB， ∴∠ BDE=∠ ACE， ∴△ ACE∽△ BDE； （ 2） ∵△ ACE∽△ BDE， ∴ ， ∵∠ E=∠ E， ∴△ ECD∽△ EAB， ∴ ， ∴ ， ∴ BE?DC=AB?DE． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定和性質，鄰補角的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵． 14． (2022一模 )已知：如圖，有一塊面積等于 1200cm2 的三角形紙片 ABC，已知底邊與底邊 BC 上的高的和為 100cm（底邊 BC 大于底邊上的高），要把它加工成一個正方形紙片，使正方形的一邊 EF 在邊 BC 上，頂點 D、 G 分別在邊 AB、 AC 上，求加工成的正方形鐵片 DEFG 的邊長． 【考點】 相似三角形的應用． 【分析】 作 AM⊥ BC 于 M，交 DG 于 N，設 BC=acm， BC 邊上的高為 hcm， DG=DE=xcm，根據(jù)題意得出方程組求出 BC 和 AM，再由平行線 得出 △ ADG∽△ ABC，由相似三角形對應高的比等于相似比得出比例式，即可得出結果． 【解答】 解：作 AM⊥ BC 于 M，交 DG 于 N，如圖所示： 設 BC=acm， BC 邊上的高為 hcm， DG=DE=xcm， 根據(jù)題意得： ， 解得： ，或 （不合題意，舍去）， ∴ BC=60cm， AM=h=40cm， ∵ DG∥ BC， ∴△ ADG∽△ ABC， ∴ ，即 ， 解得： x=24， 即加工成的正方形鐵片 DEFG 的邊長為 24cm． 【點評】 本題考查了方程組的解法、相似三角形的運用；熟練掌握方程組的解法，證明三角形相似得出比例式 是解決問題的關鍵． 13． (2022178。二模）如圖， ABCDY 中， E 是 CD 延長線上一點， BE 與 AD 交于點 F ， CDDE 21? ． （ 1）求證： ABFV ∽ CEBV ； （ 2）若 ABFV 的面積為 8 ，求 梯形 FBCD 的面積． 答案： （ 1）證明：在 ABCDY 中， E 是 CD 延長線上一點 ∴ AB ∥ CE ∴ ABF E? ?? 又 ∵ AC? ?? ABFV : CEBV （ 2）解：∵ AD ∥ BC ， ∴ EFD EBCV : V ． 又 ∵ ABFV : CEBV ， ∴ E F D A B F C E BV : :． 又 ∵ CDDE 21? ， AB CD? ， ∴ : : 1 : 2 : 3E D A B E C ?， ∴ : : 1 : 4 : 9E F D A B F E B CS S S ?V V V． 又∵ ABFV 的面積為 8 ， ∴ 4EFDS ?V ， B A C D E F ∴ 18CEBS ?V ， 所以梯形 FBCD 的面積為 CEBS ?V EFDSV =184? =14． 12． (2022178。二模）如圖 11（甲），在 ABC? 中， 90ACB? ? ? ， D 、 E 分別 是 BC 、 AC 邊上的點，且 : : 1 : 2C D DB AE EC??， AD 與 BE 相交于點 M ，（ 1）求 AMMD 的值； （ 2）如圖 11(乙 )，在 ABC? 中， 90ACB? ? ? ，點 D 在 BC 邊的延長線上， E 在 AC 邊上，且 : 1: 2AE EC ? ， : : 1 : 2 : 3D C C B A C ? 求① AMMD ； ②若 1CD? ，求 BM 的值 . 答案： 解： (1)過 A 作 AF ∥ BC ，交 BE 的延長線于點 F （如圖 11 甲） , ∴ AFM DBMV : V ， ∴ AM AFMD DB? ． 又∵ AFE CBEV : V ， : 1: 2AE EC ? ， ∴ 12AF AECB EC??． 又 ∵ : 1: 2CD DB ? , ∴ 13 22AF AEECDB ??， ∴ 34AFDB? ， 即： 34AM AFMD DB??． (2) ① 過 A 作 AF ∥ BC ，交 BE 的延長線 于點 F (如圖 11乙 )， ∴ AFM DBMV : V ， ∴ AM AFMD DB? ． 又∵ AFE CBEV : V ， : 1: 2AE EC ? ， ∴ 12AE AFEC BC??． ∵ : : 1 : 2 : 3D C C B A C ?， ∴ 12 23AF AFBC DB??， ∴ 13AFDB? ， 即： 13AM AFMD DB??． ② 在 ① 的條件下， ∵ : : 1 : 2 : 3D C C B A C ?， 1CD? ， ∴ DC 、 CB 、 AC 分別為、 2 、 3 ． 又∵ : 1: 2AE EC ? ， ∴ 1AE? ， 2EC? ． 由 13AFDB? 可得 1AF? ， ∴ AFEV 、 ECBV 為等腰直角三角形， ∴ 22BE? 、 2EF? 、 32BF? ． 又 ∵ 13FM AMBM MD??， ∴ 34BM BF? ， ∴ 393 2 244BM ? ? ?． 11． (2022178。 ∴四邊形 DRFH是矩形， ∴ AE=HF=DR， ∴ AD﹣ AE=CD=DR，即 DE=CR， ∴ DE= CM． 10.(2022178。 ∴∠ AEB+∠ FEH=90176。 ∴∠ ABE+∠ AEB=90176。 N為 BM的中點， ∴ EN= BM=BN=NM， ∴∠ NBE=∠ NEB， ∴∠ NBG=∠ NEF， 在△ NBG和△ NEF中， ， ∴△ NBG≌△ NEF， ∴ GN=FN； （ 3）如圖 2，延長 ED，過點 F作 FH⊥ ED，交 ED 的延長線于 H， ∵∠ BCD=90176?！?BEF=90176。一模）如圖 1，正方形 ABCD中，點 E為 AD上任意一點 ，連接 BE，以 BE為邊向 BE右側作正方形 BEFG， EF交 CD于點 M，連接 BM， N為 BM的中點，連接 GN，F(xiàn)N． （ 1）若 AB=4， AE： DE=3： 1，求 EM的長； （ 2）求證： GN=FN； （ 3）如圖 2，移動點 E，使得 FN⊥ CD 于點 Q時，請?zhí)骄?CM 與 DE的數(shù)量關系并說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意分別求出 AE、 DE，證明△ ABE∽△ DEM，根據(jù)相似三角形的性質得到比例式，計算即可； （ 2）連接 EN，根據(jù)直角三角形的性質得到 EN= BM，證明△ NBG≌△ NEF即可； （ 3）延長 ED，過點 F 作 FH⊥ ED， 交 ED的延長線于 H，證明△ ABE≌△ HEF，得到 AE=HF，根據(jù)矩形的性質得到 DR=FH，等量代換即可． 【解答】 解：（ 1）∵ AB=4， AE： DE=3： 1， ∴ AE=3， DE=1， ∴ BE= =5， ∵∠ BEF=90176。 ∴△ ADC∽△ ACB， ∴ ， ∴ AC2=AD?AB， ∵⊙ O 的半徑為 3， AD=4， ∴ AB=6， ∴ AC=2 ． 【點評】 此題主要考查了切線的性質與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題． 9. (2022178。又 ∠ DAC=∠ OAC，由此可以得到△ ADC∽△ ACB，然后利用相似三角形的性質即可解決問題． 【解答 】 （ 1）證明：連接 OC ∵ OA=OC ∴∠ OAC=∠ OCA ∵ AC 平分 ∠ DAB ∴∠ DAC=∠ OAC ∴∠ DAC=∠ OCA ∴ OC∥ AD ∵ AD⊥ CD∴ OC⊥ CD ∴ 直線 CD 與 ⊙ O 相切于點 C； （ 2）解：連接 BC，則 ∠ ACB=90176。 天津五區(qū)縣 178。CA 為等腰直角三角形，則： P′A=CA， ∴ 2a=a+4 ∴ a=4 ∵ P′A=PC=AC， △ ACP∽△ AOB ∴ = =1，即 =1 ∴ b=4 3）若 ∠ P′CA=90176。 P′A=P′C（如圖 1） 過點 P′作 P′H⊥ x 軸于點 H． ∴ PP′=CH=AH=P′H= AC． ∴ 2a= （ a+4） ∴ a= ∵ P′H=PC= AC， △ ACP∽△ AOB ∴ = = ，即 = ， ∴ b=2 2）若 ∠ P′AC=90176。 天津市南開區(qū) 178。 ∴∠ ACB=∠ OMB， ∴ OP∥ AC， ∴∠ CAB=∠ POB， 又因為 ∠ ACB=∠ ONP=90176。 又 ∵ 在等腰三角形 △ APB 中有 AB=13， ∴ PA= = = ． （ 2）如圖（ 2）所示：連接 BC． OP 相交于 M 點，作 PN⊥ AB 于點 N， ∵ P 點為弧 BC 的中點， ∴ OP⊥ BC， ∠ OMB=90176。 P 是弧 AB 的中點，所以 三角形 APB 是等腰三角形，利用勾股定理即可求得． （ 2）根據(jù)垂徑定理得出 OP 垂直平分 BC，得出 OP∥ AC，從而得出 △ ACB∽△ 0NP，根據(jù)對應邊成比例求得 ON、 AN 的長，利用勾股定理求得 NP 的長，進而求得 PA． 【解答】 解：（ 1）如圖（ 1）所示，連接 PB， ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑且 P 是 的中點， ∴∠ PAB=∠ PBA=45176。 天津市南開區(qū) 178。天津北辰區(qū) =∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t 的取值范圍是： 0≤t≤5； （ 2）過點 P 作 PG⊥ x 軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S△ ABC﹣ S△ PBE﹣S△ QCE= = ∴ 當 （在 0≤t≤5 內(nèi)）， y 有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t 解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖 ①：過點 P 作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ，如圖 ②：過點 Q 作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176。 ∠ DEF=45176。 ∠ DEF=45176。． ∵ △MAQ∽ △MNP， ∴ MPMQMNMA?，NMPAM