【正文】 ， ∴ HN=2， ∵ PM=8﹣ t， ∴ BM=16﹣ 2t， ∵ OB=12， ∴ ON=（ 8﹣ t）﹣（ 16﹣ 2t﹣ 12） =4+t， ∴ OH=ON﹣ HN=4+t﹣ 2=2+t=EG， ∴ S=（ 2+t+4+t） 2 =2 t+6 ． ∵ S 隨 t 的增大而增大， ∴ 當(dāng) t=1 時(shí)， Smax=8 ． ② 當(dāng) 1＜ t＜ 2 時(shí)，見圖 3． 設(shè) PM 交 EC 于點(diǎn) I，交 EO 于點(diǎn) F， PN 交 EC 于點(diǎn) G，重疊部分為五邊形 OFIGN． 作 GH⊥ OB 于 H， ∵ FO=4 ﹣ 2 t， ∴ EF=2 ﹣（ 4 ﹣ 2 t） =2 t﹣ 2 ， ∴ EI=2t﹣ 2． ∴ S=S 梯形 ONGE﹣ S△ FEI=2 t+6 ﹣（ 2t﹣ 2）（ 2 t﹣ 2 ） =﹣ 2 t2+6 t+4 由題意可得 MO=4﹣ 2t， OF=（ 4﹣ 2t） ， PC=4 ﹣ t， PI=4﹣ t， 再計(jì)算 S△ FMO=（ 4﹣ 2t） 2 S△ PMN= （ 8﹣ t） 2， S△ PIG= （ 4﹣ t） 2， ∴ S=S△ PMN﹣ S△ PIG﹣ S△ FMO= （ 8﹣ t） 2﹣ （ 4﹣ t） 2﹣（ 4﹣ 2t） 2 =﹣ 2 t2+6 t+4 ∵ ﹣ 2 ＜ 0， ∴ 當(dāng) 時(shí)， S 有最大值， Smax= ． ③ 當(dāng) t=2 時(shí)， MP= MN=6，即 N 與 D 重合， 設(shè) PM 交 EC 于點(diǎn) I， PD 交 EC 于點(diǎn) G，重疊部 分為等腰梯形 IMNG，見圖 4． S= 62﹣ 22=8 ， 綜上所述：當(dāng) 0≤t≤1 時(shí)， S=2 t+6 ； 當(dāng) 1＜ t＜ 2 時(shí)， S=﹣ 2 t2+6 t+4 ； 當(dāng) t=2 時(shí)， S=8 ． ∵ ， ∴ S 的最大值是 ． 【點(diǎn)評】 本題考查一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法． 。 =8﹣ t， 當(dāng)點(diǎn) M 與點(diǎn) O 重合時(shí)， ∵∠ BAO=60176。 ∴ AB=2OA=8 ， ∵ AP= t， ∴ BP=AB﹣ AP=8 t， ∵△ PMN 是等邊三角形， ∴∠ MPB=90176。得到 OB=12， ∴ B（ 12， 0），設(shè)直線 AB 解析式為 y=kx+b， 把 A 和 B 坐標(biāo)代入得： ， 解得： ， 則直線 AB 的解析式為： y=﹣ x+4 ． （ 2） ∵∠ AOB=90176。廣東東莞吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué) ∴∠ MFC=∠ MCF=45176。 ∵∠ MCO=∠ MEO=∠ EOC=90176。 ∴∠ MCF=90176。重慶巴蜀 由 DG∥ AB得∠ EDG=30176。山西大同 重慶銅梁巴川∠ A=∠ A， ∴△ AQI∽△ ABC ∴ 即 ， 解得： （ s） 綜上所述，當(dāng) 或 或 時(shí)， △ APQ 是等腰三角形． 6. （ 2022 泰安一模） 如圖，矩形 ABCD 中，點(diǎn) P 是線段 AD 上一動(dòng)點(diǎn)， O 為 BD 的中點(diǎn)，PO 的延長線交 BC 于 Q． （ 1）求證： OP=OQ； （ 2）若 AD=8 厘米， AB=6 厘米， P 從點(diǎn) A 出發(fā)，以 1 厘米 /秒的速度向 D 運(yùn)動(dòng)（不與 D 重合）．設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒，請用 t 表示 PD 的長；并求 t 為何值時(shí)，四邊形 PBQD 是菱形． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【專題】 證明題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】 （ 1）本題需先根據(jù)四邊形 ABCD 是矩形，得出 AD∥ BC， ∠ PDO=∠ QBO，再根據(jù) O 為 BD 的中點(diǎn)得出 △ POD≌△ QOB，即可證出 OP=OQ． （ 2）本題需先根據(jù)已知條件得出 ∠ A 的度數(shù)，再根據(jù) AD=8 厘米， AB=6 厘米，得出 BD和 OD 的長，再根據(jù)四邊形 PBQD 是菱形時(shí)，即可求出 t 的值，判斷出四邊形 PBQD 是菱形． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ PDO=∠ QBO， 又 ∵ O 為 BD 的中點(diǎn)， ∴ OB=OD， 在 △ POD 與 △ QOB 中， ∵ ∴△ POD≌△ QOB（ ASA）， ∴ OP=OQ； （ 2）解： PD=8﹣ t， ∵ 四邊形 PBQD 是菱形， ∴ PD=BP=8﹣ t， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ A=90176。 ∴∠ CQE=45176。 AC=8cm， BC=6cm，EF=10cm．如圖（ 2）， △ DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿 CB 向 △ ABC 勻速移動(dòng)，在 △ DEF 移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn) P 從 △ ABC 的頂點(diǎn) A 出發(fā)，以 2cm/s 的速度沿 AB 向點(diǎn)B 勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn) P 移動(dòng)到點(diǎn) B 時(shí)，點(diǎn) P 停止移動(dòng)， △ DEF 也隨之停止移動(dòng)． DE 與 AC 交于點(diǎn) Q，連接 PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為 t（ s）． （ 1）用含 t 的代數(shù)式表示線段 AP 和 AQ 的長，并寫出 t 的取值范圍； （ 2）連接 PE， 設(shè)四邊形 APEQ 的面積為 y（ cm2），試探究 y 的最大值； （ 3）當(dāng) t 為何值時(shí)， △ APQ 是等腰三角形． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】 動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出 CQ、 AQ，從而得出結(jié)論， （ 2）作 PG⊥ x 軸，將四邊形的面積表示為 S△ ABC﹣ S△ BPE﹣ S△ QCE 即可求解， （ 3）根據(jù)題意以及三角形相似對邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】 （ 1）解： AP=2t ∵∠ EDF=90176。 (3)當(dāng) 04t?? 時(shí)， 21328S O M O N t??. 當(dāng) 4 t? ?? 時(shí)，如圖① , 23 38S t t?? ? . (4)有最大值 . 如圖② ,當(dāng) 04t?? 時(shí)，當(dāng) t =4時(shí) ， S 可取到最大值 =6. 當(dāng) 48t?? 時(shí)，拋物線 23 38S t t?? ? 的開口向下， 圖② 所以 6S? ，綜上， 4t? 時(shí)， S 有最大值為 6. 5. （ 2022 青島一模） 把 Rt△ ABC 和 Rt△ DEF 按如圖（ 1）擺放（點(diǎn) C 與 E 重合），點(diǎn) B、C（ E）、 F 在同一條直線上．已知： ∠ ACB=∠ EDF=90176。 (4)探求 (3)中得到的函數(shù) S 有沒有最大值 ? 若有，求出最大值 : 若沒有，請說明理由 . (第 4 題 ) 解 : (1)A (4,0) ,C (0,3)。 (2)當(dāng) t = s 或 s 時(shí)， 12MN AC? 。若點(diǎn) D 在線段 BC 上運(yùn)動(dòng)，試探究：當(dāng)銳角 ∠ ACB等于度時(shí)，線段 CE 和 BD 之間的位置關(guān)系仍然成立（點(diǎn) C、 E 重合除外）。 ，當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 的延長線上時(shí)，如圖 2， 請判斷 ① 中的結(jié)論是否仍然成立，如成立，請證明你 的結(jié)論。 得到 AE，連接 EC. 問題發(fā)現(xiàn)： (1)如果 AB=AC， ∠ BAC=90176。河大附中河北石家莊 在 x 軸下方作 ∠ ABF=∠ ABC=45176。 河南三門峽 當(dāng) PM⊥ AB時(shí)， PM 最短， 因?yàn)橹本€ y= x﹣ 3與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A， B， 可得點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 4， 0），點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 3）， 在 Rt△ AOB中， AO=4， BO=3， AB= =5， （第 3 題） 圖（ 2） B A C 圖（ 1） P Q A B C B 圖（ 2） A C P Q F E ∵∠ BMP=∠ AOB=90176。重慶銅梁巴川天津北辰區(qū) 紹興市浣紗初中等六校浙江金華東區(qū) ∴ AO=2， OP=x，則 AP=2﹣ x， ∴ tan60176。聯(lián)考） 如圖， A 點(diǎn)在半徑為 2 的 ⊙ O 上，過線段 O