【正文】 Q ???， ∴ ∠ AMN=∠ QMP， ∴ △AMN∽ △QMP， ∴ ∠ MAN=∠ MQP， ∴ α=∠ AMQ=30176。； （ 2） 連接 MO， ∵ MC 垂直平分 AO，∴ MA=MO=AO ∴ ∠ AMO=60176。模擬 )（本小題滿分 9 分） 如圖， AB 為⊙ O 的直徑， AB=2，點在 M 在 QO 上，MC 垂直平分 OA， 點 N 為 直線 AB 上一動點（ N 不與A 重合）， 若△ MNP∽△ MAC， PC 與 直線 AB 所夾銳角為 α． （ 1）若 AM=AC，點 N 與點 O 重合，則 α= ▲ 176。模擬 )平面直角坐標系中，有 A、 B、 C 三點，其中 A 為原點，點 B 和點 C 的坐標分別為（ 5， 0）和（ 1， 2）． （ 1）證明： △ ABC 為 Rt△ ． （ 2）請你在直角坐標系中找一點 D，使得 △ ABC 與 △ ABD 相似，寫出所有滿足條件的點 D的坐標，并在同一坐標系中畫出所有符合要求的三 角形． （ 3）在第（ 2）題所作的圖中，連接任意兩個直角三角形（包括 △ ABC）的直角頂點均可得到一條線段，在連接兩點所得的所有線段中任取一條線段，求取到長度為無理數(shù)的線段的概率． 【考點】 相似形綜合題；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【專題】 綜合題；分類討論． 【分析】 （ 1）過點 C 作 CH⊥ x 軸于 H，如圖 1，只需運用勾股定理求出 AB AC BC2，然后運用勾股定理的逆定理就可解決問題； （ 2） △ ABC 與 △ ABD 相似，對應(yīng)關(guān)系不確定，故需分六種情況（ ①若 △ ABC∽△ ABD，②若 △ ABC∽△ BAD， ③若 △ ABC∽△ ADB， ④若 △ ABC∽△ DAB， ⑤若△ ABC∽△ BDA， ⑥若 △ ABC∽△ DBA）討論，然后運用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題； （ 3）圖中的直角三角形的直角頂點有 A、 B、 C、 D D D3，只需求出任意兩直角頂點的連線段的條數(shù)和長度為無理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問題． 【解答】 解：（ 1）過點 C 作 CH⊥ x 軸于 H，如圖 1， ∵ A（ 0， 0）， B（ 5， 0）， C（ 1， 2）， ∴ AC2=12+22=5， BC2=（ 5﹣ 1） 2+22=20， AB2=52=25， ∴ AB2=AC2+BC2， ∴△ ABC 為 Rt△ ； （ 2） ①若 △ ABC∽△ ABD， 則有 D1（ 1，﹣ 2）； ②若 △ ABC∽△ BAD，則有 D2（ 4，﹣ 1）， D3（ 4， 1）； ③若 △ ABC∽△ ADB，則有 D4（ 5，﹣ 10）， D5（ 5， 10）； ④若 △ ABC∽△ DAB，則有 D6（ 5，﹣ ）， D7（ 5， ）； ⑤若 △ ABC∽△ BDA，則有 D8（ 0，﹣ 10）， D9（ 0， 10）； ⑥若 △ ABC∽△ DBA，則有 D10（ 0，﹣ ）， D11（ 0， ）； 所有符合要求的三角形如圖所示． （ 3）圖中的直角三角形的直角頂點有 A、 B、 C、 D D D3． 任意兩直角頂點的連線段共有 =15 條， 其中 AB=5， CD1=D2D3=4， CD2=D1D3=5， CD3=D1D2=3， 故長度為有理數(shù)的線段共 7 條，長度為無理數(shù)的線段共 8 條， 則取到長度為無理數(shù)的線段的概率為 p= ． 【點評】 本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識，運用分類討論的思想是解決第（ 2）小題的關(guān)鍵． 3． (2022178。一 模） 如圖，在 平行四邊形 ABCD 中， E 是邊 BC 上的點，分別連 結(jié) AE、 BD 相交于點 O，若 AD=5， 35BODO?，則 EC=__________ 答案： 2 三、解答題 1． (2022178。聯(lián)考） 如圖，已知矩形 OABC 與矩形 ODEF 是位似圖形， P 是位似中心，若點 B 的坐標為（ 2， 4），點 E 的坐標為（﹣ 1， 2），則點 P 的坐標為 答案： （ 2， 0） 19.（ 2022178。2=10cm， ∵ CE∥ AO， ∴△ DCE∽△ DOA， ∴ ， 即 ， 解得 DC=20cm． 故答案為： 20． 【點評】 本題主要考查正方形各邊都相等，每個角都是直角的性質(zhì)和相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運用． 18.（ 2022178。廣東東莞178。河北石家莊178。 吉林長春朝陽區(qū) 178。 ∴∠ DAE=∠ FAB， ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABC=90176。根據(jù)余角的性質(zhì)得到 ∠ DAE=∠ FAB，推出△ BCH∽△ ABF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，求得 BH=AF=1， CH=BF= ，通過 △ BCH≌△ ADE，得到 AE=BH=1， DE=CH= ，求得 EG=3﹣ 1=2，于是得到結(jié)論． 【解答】 解：如圖，過 C 作 CH⊥ x 軸于 H，過 A 作 AF⊥ x 軸于 F， AG⊥ y 軸于 G，過 D作 DE⊥ AG 于 E， ∴∠ CHB=∠ AFO=∠ AED=90176。上海普陀區(qū)178。點 P、 Q 分別在邊 AB、 AC上， AC=4， BC=AQ=3，如果 △ APQ 與 △ ABC 相似，那么 AP 的長等于 或 ． 【考點】 相似三角形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)勾股定理求出 AB 的長，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式解答即可． 【解答】 解： ∵ AC=4， BC=3， ∠ C=90176。上海普陀區(qū)178。山東棗莊178。上海普陀區(qū)178。上海普陀區(qū)178。 云南省曲靖市羅平縣 178。 當 PM⊥ AB時， PM 最短， 因為直線 y= x﹣ 3與 x軸、 y軸分別交于點 A， B， 可得點 A的坐標為（ 4， 0），點 B的坐標為（ 0，﹣ 3）， 在 Rt△ AOB中， AO=4， BO=3， AB= =5， ∵∠ BMP=∠ AOB=90176。重慶銅梁巴川178。重慶銅梁巴川178。重慶巴蜀 178。 ∵∠ AME=∠ CMF， ∴△ AEM∽△ CFM， ∴ ， ∵ AE=6， EF=8， FC=10， ∴ ， ∴ EM=3， FM=5， 在 Rt△ AEM 中， AM= =3 ， 在 Rt△ FCM 中， CM= =5 ， ∴ AC=8 ， 在 Rt△ ABC 中， AB=AC?sin45176。 天津市南開區(qū) 178。﹣ ∠ FHM， ∠ QHM=90176。 ∵∠ DHF=90176。 ∴△ FDG 是等腰直角三角形， ∵ DH⊥ CF， ∴ DH=FH=FG， ∵ HP⊥ AB， HQ⊥ AD， ∠ A=90176。 ∴∠ GCD=90176。模擬 )在直角坐標系中 有兩點 A(6， 3)、 B(6， 0)．以原點 O 為位似中心，把線段 AB 按相似的 1:3 縮小后得到線段 CD， 點 C 在第一象限 （ 如圖 ） ，則點 C 的坐標為 ▲ ． 答案： （ 2， 1） 3.（ 2022 棗莊 41 中 一模） 如圖，邊長為 6 的正方形 ABCD 中，點 E 是 BC 上一點，點 F 是AB 上一點．點 F 關(guān)于直線 DE 的對稱點 G 恰好在 BC 延長線上， FG 交 DE 于點 H．點 M為 AD 的中點，若 MH= ，則 EG ． 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】 連接 DF， DG，過 H 作 HP⊥ AB 于 P， HQ⊥ AD 于 Q，由點 F，點 G 關(guān)于直線 DE的對稱，得到 DF=DG，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到 AD=CD， ∠ ADC=∠ A=∠ BCD=90176。 ∴△ OBA∽△ KEA． ∴ = ， ∴ ， ∴ KE= ， ∴ S=OK?KE= ， 設(shè) OK=x，則 S= =﹣ ， ∴ 當 x=時， S 有最大值，最大值為 ； ②解：當 EM⊥ OF 時，平行四邊形 EOMF 為菱形， OE 的取值范圍為 ＜ OE＜ 3， 設(shè) OK=a， OL=b， 由（ 1）得， KE= ， ML= ， 由 OE=OM 得 a2+[ ]2=b2+[ ]2． 設(shè) y=x2+[ ]2= x2﹣ x+9， 則當 x1=a， x2=b 時，函數(shù) y 的值相等． 函數(shù) y 的對稱軸為直線 x 即 = 解得 a+b= ，即 OK+OL= ． 故答案為： ， ． 【點評】 本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元 二次方程、二次函數(shù)的知識，綜合性很強，屬于較難題，需要學生有綜合運用知識的能力． 2． (2022178。 AO=5， BO=3，點 E、 M 是線段 AB 上的兩個不同的動點（不與端點重合），分別過 E、 M 作 AO 的垂 線，垂足分別為 K、 L． A39。 浙江杭州蕭山區(qū) 178。一 模） 如圖，在 △ ABC 中， ∠ C=90176。聯(lián)考） 如圖，在同一時刻，身高 米的小麗在陽光下的影長為 米，一棵大樹的影長為 5 米，則這棵樹的高度為 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 答 案： B 23.（ 2022178。一模）如圖，已知 D， E分別是△ ABC的 AB， AC邊上的點， ,DE BC?? 且 :ADES△ S 四邊形 DBCE＝ 1∶ 8，那么 :AE AC 等于 ( ) A． 1∶ 9 B． 1∶ 3 C． 1∶ 8 D． 1∶ 2 答案： B 22. （ 2022178。 .若動點 P以 2cm/s的速度從 B點出發(fā)沿著 B→A 的方向運動， 點 Q從 A點出發(fā)沿著 A→ C的方向運動，當點 P到達點 A時，點 Q也隨之停止運動． 設(shè)運動時間為 t(s)， 當△ APQ是直角 三角形時，t的值為（ ） A. 34 B. 33? C. 34或3? D. 34或3?或 答案： C 21. （ 2022178。湖北襄陽178。第二步，連接 MN 分別交 AB、 AC 于點 E、 F。河大附中178。 ∴∠ BAE=∠ 3， ④正確； ∵∠ BAE=∠ 3， ∠ B=∠ C=90176。 ∴∠ 1+∠ 3=90176。即 ∠ 2=90176。=90176。一模） 按如圖所示的方法折紙，下面結(jié)論正確的個數(shù)（ ） ①∠ 2=90176。模擬 )如圖，△ ABC 和△ AMN 都是等邊三角形，點 M 是△ ABC 的重心，那么AMNABCSS??的值為 （ B ） （ A）23； （ B）13； （ C）14； （ D）49． 18.（ 2022178。模擬 )如圖，在 △ ABC 中， DE∥ BC，AD=6， BD=3， AE=4，則 EC 的長為（ ） D. 4 【 答案 】 B 17． (2022178。一模 )如圖，在 △ ABC 中， D 是 AB 的中點， DE∥ BC，若 △ ADE的面積為 3，則 △ ABC 的面積為（ ） A． 3 B． 6 C． 9 D． 12 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 【分析】 由平行可知 △ ADE∽△ ABC，且 =，再利用三角形的面積比等于相似比的平方可求得 △ ABC 的面積． 【解答】 解： ∵ DE∥ BC， ∴△ ADE∽△ ABC， ∵ D 是 AB 的中點， ∴ =， ∴ =（ ） 2=，且 S△ ADE=3， ∴ =， ∴ S△ ABC=12， 故選 D． 【點評】 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵． 16. (2022178。模擬 )如圖，在 △ ABC 中，點 D、 E 分別在邊 AB、 AC 上，下列條件中不能判斷 △ ABC∽△ AED 的是（ ） A． ∠ AED=∠ B B． ∠ ADE=∠ C C． = D． = 【考點】 相似三角形的判定． 【分析】 由于兩三角形有公共角，則根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可對 A、 B 選項進行判斷；根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可 對 C、 D 選項進行判斷． 【解答】 解： ∵∠ DAE=∠ CAB， ∴ 當 ∠ AED=∠ B 或 ∠ ADE=∠ C 時， △ ABC∽△ AED； 當 = 時， △ ABC∽△ AED． 故選 D． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似． 15． (2022178。一模 )如圖， BD、 CE 相交于點 A，下列條件中，能推得 DE∥ BC的條件是（ ） 第 12 題圖 A． AE： EC=AD： DB B． AD： AB=DE： BC C． AD