【正文】 E=CH= ，求得 EG=3﹣ 1=2，于是得到結(jié)論． 【解答】 解：如圖，過 C 作 CH⊥ x 軸于 H，過 A 作 AF⊥ x 軸于 F， AG⊥ y 軸于 G，過 D作 DE⊥ AG 于 E， ∴∠ CHB=∠ AFO=∠ AED=90176。 吉林長春朝陽區(qū) 178。廣東東莞178。聯(lián)考） 如圖，已知矩形 OABC 與矩形 ODEF 是位似圖形， P 是位似中心，若點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2， 4），點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 2），則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 答案： （ 2， 0） 19.（ 2022178。模擬 )平面直角坐標(biāo)系中，有 A、 B、 C 三點(diǎn)，其中 A 為原點(diǎn)，點(diǎn) B 和點(diǎn) C 的坐標(biāo)分別為（ 5， 0）和（ 1， 2）． （ 1）證明： △ ABC 為 Rt△ ． （ 2）請你在直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn) D，使得 △ ABC 與 △ ABD 相似，寫出所有滿足條件的點(diǎn) D的坐標(biāo)，并在同一坐標(biāo)系中畫出所有符合要求的三 角形． （ 3）在第（ 2）題所作的圖中，連接任意兩個直角三角形（包括 △ ABC）的直角頂點(diǎn)均可得到一條線段，在連接兩點(diǎn)所得的所有線段中任取一條線段，求取到長度為無理數(shù)的線段的概率． 【考點(diǎn)】 相似形綜合題；勾股定理；勾股定理的逆定理；概率公式． 【專題】 綜合題；分類討論． 【分析】 （ 1）過點(diǎn) C 作 CH⊥ x 軸于 H，如圖 1，只需運(yùn)用勾股定理求出 AB AC BC2，然后運(yùn)用勾股定理的逆定理就可解決問題； （ 2） △ ABC 與 △ ABD 相似，對應(yīng)關(guān)系不確定，故需分六種情況（ ①若 △ ABC∽△ ABD，②若 △ ABC∽△ BAD， ③若 △ ABC∽△ ADB， ④若 △ ABC∽△ DAB， ⑤若△ ABC∽△ BDA， ⑥若 △ ABC∽△ DBA）討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題； （ 3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有 A、 B、 C、 D D D3，只需求出任意兩直角頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)和長度為無理數(shù)的線段的條數(shù)，就可解決問題． 【解答】 解：（ 1）過點(diǎn) C 作 CH⊥ x 軸于 H，如圖 1， ∵ A（ 0， 0）， B（ 5， 0）， C（ 1， 2）， ∴ AC2=12+22=5， BC2=（ 5﹣ 1） 2+22=20， AB2=52=25， ∴ AB2=AC2+BC2， ∴△ ABC 為 Rt△ ； （ 2） ①若 △ ABC∽△ ABD， 則有 D1（ 1，﹣ 2）； ②若 △ ABC∽△ BAD，則有 D2（ 4，﹣ 1）， D3（ 4， 1）； ③若 △ ABC∽△ ADB，則有 D4（ 5，﹣ 10）， D5（ 5， 10）； ④若 △ ABC∽△ DAB，則有 D6（ 5，﹣ ）， D7（ 5， ）； ⑤若 △ ABC∽△ BDA，則有 D8（ 0，﹣ 10）， D9（ 0， 10）； ⑥若 △ ABC∽△ DBA，則有 D10（ 0，﹣ ）， D11（ 0， ）； 所有符合要求的三角形如圖所示． （ 3）圖中的直角三角形的直角頂點(diǎn)有 A、 B、 C、 D D D3． 任意兩直角頂點(diǎn)的連線段共有 =15 條， 其中 AB=5， CD1=D2D3=4， CD2=D1D3=5， CD3=D1D2=3， 故長度為有理數(shù)的線段共 7 條，長度為無理數(shù)的線段共 8 條， 則取到長度為無理數(shù)的線段的概率為 p= ． 【點(diǎn)評】 本題主要考查了勾股定理及其逆定理、相似三角形的性質(zhì)、概率公式等知識，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（ 2）小題的關(guān)鍵． 3． (2022178。； （ 2） 連接 MO， ∵ MC 垂直平分 AO，∴ MA=MO=AO ∴ ∠ AMO=60176。 ∠ DEF=45176。=∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t 的取值范圍是： 0≤t≤5； （ 2）過點(diǎn) P 作 PG⊥ x 軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S△ ABC﹣ S△ PBE﹣S△ QCE= = ∴ 當(dāng) （在 0≤t≤5 內(nèi)）， y 有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t 解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖 ①：過點(diǎn) P 作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ，如圖 ②：過點(diǎn) Q 作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176。 天津市南開區(qū) 178。 又 ∵ 在等腰三角形 △ APB 中有 AB=13， ∴ PA= = = ． （ 2）如圖（ 2）所示：連接 BC． OP 相交于 M 點(diǎn)，作 PN⊥ AB 于點(diǎn) N， ∵ P 點(diǎn)為弧 BC 的中點(diǎn)， ∴ OP⊥ BC， ∠ OMB=90176。 天津市南開區(qū) 178。CA 為等腰直角三角形，則： P′A=CA， ∴ 2a=a+4 ∴ a=4 ∵ P′A=PC=AC， △ ACP∽△ AOB ∴ = =1，即 =1 ∴ b=4 3）若 ∠ P′CA=90176。又 ∠ DAC=∠ OAC，由此可以得到△ ADC∽△ ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題． 【解答 】 （ 1）證明：連接 OC ∵ OA=OC ∴∠ OAC=∠ OCA ∵ AC 平分 ∠ DAB ∴∠ DAC=∠ OAC ∴∠ DAC=∠ OCA ∴ OC∥ AD ∵ AD⊥ CD∴ OC⊥ CD ∴ 直線 CD 與 ⊙ O 相切于點(diǎn) C； （ 2）解：連接 BC，則 ∠ ACB=90176。一模）如圖 1，正方形 ABCD中，點(diǎn) E為 AD上任意一點(diǎn) ，連接 BE，以 BE為邊向 BE右側(cè)作正方形 BEFG， EF交 CD于點(diǎn) M，連接 BM， N為 BM的中點(diǎn)，連接 GN，F(xiàn)N． （ 1）若 AB=4， AE： DE=3： 1，求 EM的長； （ 2）求證： GN=FN； （ 3）如圖 2，移動點(diǎn) E，使得 FN⊥ CD 于點(diǎn) Q時，請?zhí)骄?CM 與 DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意分別求出 AE、 DE，證明△ ABE∽△ DEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可； （ 2）連接 EN，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 EN= BM，證明△ NBG≌△ NEF即可； （ 3）延長 ED，過點(diǎn) F 作 FH⊥ ED， 交 ED的延長線于 H，證明△ ABE≌△ HEF，得到 AE=HF，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 DR=FH，等量代換即可． 【解答】 解：（ 1）∵ AB=4， AE： DE=3： 1， ∴ AE=3， DE=1， ∴ BE= =5， ∵∠ BEF=90176。 N為 BM的中點(diǎn)， ∴ EN= BM=BN=NM， ∴∠ NBE=∠ NEB， ∴∠ NBG=∠ NEF， 在△ NBG和△ NEF中， ， ∴△ NBG≌△ NEF， ∴ GN=FN； （ 3）如圖 2，延長 ED，過點(diǎn) F作 FH⊥ ED，交 ED 的延長線于 H， ∵∠ BCD=90176。 ∴∠ AEB+∠ FEH=90176。二模）如圖 11（甲），在 ABC? 中， 90ACB? ? ? ， D 、 E 分別 是 BC 、 AC 邊上的點(diǎn)，且 : : 1 : 2C D DB AE EC??， AD 與 BE 相交于點(diǎn) M ，（ 1）求 AMMD 的值； （ 2）如圖 11(乙 )，在 ABC? 中， 90ACB? ? ? ，點(diǎn) D 在 BC 邊的延長線上， E 在 AC 邊上，且 : 1: 2AE EC ? ， : : 1 : 2 : 3D C C B A C ? 求① AMMD ； ②若 1CD? ，求 BM 的值 . 答案： 解： (1)過 A 作 AF ∥ BC ，交 BE 的延長線于點(diǎn) F （如圖 11 甲） , ∴ AFM DBMV : V ， ∴ AM AFMD DB? ． 又∵ AFE CBEV : V ， : 1: 2AE EC ? ， ∴ 12AF AECB EC??． 又 ∵ : 1: 2CD DB ? , ∴ 13 22AF AEECDB ??， ∴ 34AFDB? ， 即： 34AM AFMD DB??． (2) ① 過 A 作 AF ∥ BC ，交 BE 的延長線 于點(diǎn) F (如圖 11乙 )， ∴ AFM DBMV : V ， ∴ AM AFMD DB? ． 又∵ AFE CBEV : V ， : 1: 2AE EC ? ， ∴ 12AE AFEC BC??． ∵ : : 1 : 2 : 3D C C B A C ?， ∴ 12 23AF AFBC DB??， ∴ 13AFDB? ， 即： 13AM AFMD DB??． ② 在 ① 的條件下， ∵ : : 1 : 2 : 3D C C B A C ?， 1CD? ， ∴ DC 、 CB 、 AC 分別為、 2 、 3 ． 又∵ : 1: 2AE EC ? ， ∴ 1AE? ， 2EC? ． 由 13AFDB? 可得 1AF? ， ∴ AFEV 、 ECBV 為等腰直角三角形， ∴ 22BE? 、 2EF? 、 32BF? ． 又 ∵ 13FM AMBM MD??， ∴ 34BM BF? ， ∴ 393 2 244BM ? ? ?． 11． (2022178。一模 )已知：如圖，有一塊面積等于 1200cm2 的三角形紙片 ABC，已知底邊與底邊 BC 上的高的和為 100cm（底邊 BC 大于底邊上的高），要把它加工成一個正方形紙片，使正方形的一邊 EF 在邊 BC 上，頂點(diǎn) D、 G 分別在邊 AB、 AC 上，求加工成的正方形鐵片 DEFG 的邊長． 【考點(diǎn)】 相似三角形的應(yīng)用． 【分析】 作 AM⊥ BC 于 M，交 DG 于 N，設(shè) BC=acm， BC 邊上的高為 hcm， DG=DE=xcm，根據(jù)題意得出方程組求出 BC 和 AM，再由平行線 得出 △ ADG∽△ ABC，由相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比得出比例式，即可得出結(jié)果． 【解答】 解：作 AM⊥ BC 于 M，交 DG 于 N，如圖所示： 設(shè) BC=acm， BC 邊上的高為 hcm， DG=DE=xcm， 根據(jù)題意得： ， 解得： ，或 （不合題意，舍去）， ∴ BC=60cm， AM=h=40cm， ∵ DG∥ BC， ∴△ ADG∽△ ABC， ∴ ，即 ， 解得： x=24， 即加工成的正方形鐵片 DEFG 的邊長為 24cm． 【點(diǎn)評】 本題考查了方程組的解法、相似三角形的運(yùn)用；熟練掌握方程組的解法，證明三角形相似得出比例式 是解決問題的關(guān)鍵． 13． (2022178。 二模 )如圖，已知在矩形 ABCD 中，過對角線 AC 的中點(diǎn) O 作 AC的垂線，分別交射線 AD 和 CB 于點(diǎn) E、 F，交邊 DC 于點(diǎn) G，交邊 AB 于點(diǎn) H．聯(lián)結(jié) AF，CE． （ 1）求證：四邊形 AFCE 是菱形； （ 2）如果 OF=2GO，求證： GO2=DG?GC． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 AD∥ BC，由平行線的性質(zhì)得到 ∠ EAC=∠ ACF，推出△ EOA≌△ FOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AE=CF， OE=OF，推出四邊形 AFCE 是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，等量代換求得結(jié)論； 【解答】 證明：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ EAC=∠ ACF， 在 △ EOA 和 △ FOC 中， ， ∴△ EOA≌△ FOC， ∴ AE=CF， OE=OF， ∴ 四邊形 AFCE 是平行四邊形， ∵ AC⊥ EF， ∴ 四邊形 AFCE 是菱形； （ 2） ∵∠ EDG=∠ COG=90176。上海浦東178。上海浦東178。一模 )已知，如圖，在四邊形 ABCD 中， ∠ ADB=∠ ACB，延長AD、 BC 相交于點(diǎn) E．求證： （ 1） △ ACE∽△ BDE； （ 2） BE?DC=AB?DE． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到 ∠ BDE=∠ ACE，即可得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，由于 ∠ E=∠ E，得到 △ ECD∽△ EAB，由相似三角形的性質(zhì)得到 ，等量代換得到 ，即可得到結(jié)論． 【解答】 證明：（ 1） ∵∠ ADB=∠ ACB， ∴∠ BDE=∠ ACE， ∴△ ACE∽△ BDE； （ 2）