【正文】 △ ABC，由相似三角形對應高的比等于相似比得出比例式，即可得出結果． 【解答】 解：作 AM⊥ BC 于 M，交 DG 于 N，如圖所示： 設 BC=acm， BC 邊上的高為 hcm， DG=DE=xcm， 根據(jù)題意得： ， 解得： ，或 （不合題意，舍去）， ∴ BC=60cm， AM=h=40cm， ∵ DG∥ BC， ∴△ ADG∽△ ABC， ∴ ，即 ， 解得： x=24， 即加工成的正方形鐵片 DEFG 的邊長為 24cm． 【點評】 本題考查了方程組的解法、相似三角形的運用；熟練掌握方程組的解法，證明三角形相似得出比例式 是解決問題的關鍵． 13． (2022178。 ∴∠ AEB+∠ FEH=90176。一模）如圖 1，正方形 ABCD中，點 E為 AD上任意一點 ，連接 BE，以 BE為邊向 BE右側作正方形 BEFG， EF交 CD于點 M，連接 BM， N為 BM的中點，連接 GN，F(xiàn)N． （ 1）若 AB=4， AE： DE=3： 1，求 EM的長； （ 2）求證： GN=FN； （ 3）如圖 2，移動點 E，使得 FN⊥ CD 于點 Q時，請?zhí)骄?CM 與 DE的數(shù)量關系并說明理由． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意分別求出 AE、 DE，證明△ ABE∽△ DEM，根據(jù)相似三角形的性質得到比例式，計算即可； （ 2）連接 EN，根據(jù)直角三角形的性質得到 EN= BM，證明△ NBG≌△ NEF即可； （ 3）延長 ED，過點 F 作 FH⊥ ED， 交 ED的延長線于 H，證明△ ABE≌△ HEF，得到 AE=HF，根據(jù)矩形的性質得到 DR=FH，等量代換即可． 【解答】 解：（ 1）∵ AB=4， AE： DE=3： 1， ∴ AE=3， DE=1， ∴ BE= =5， ∵∠ BEF=90176。CA 為等腰直角三角形，則： P′A=CA， ∴ 2a=a+4 ∴ a=4 ∵ P′A=PC=AC， △ ACP∽△ AOB ∴ = =1，即 =1 ∴ b=4 3）若 ∠ P′CA=90176。 又 ∵ 在等腰三角形 △ APB 中有 AB=13， ∴ PA= = = ． （ 2）如圖（ 2）所示：連接 BC． OP 相交于 M 點，作 PN⊥ AB 于點 N， ∵ P 點為弧 BC 的中點， ∴ OP⊥ BC， ∠ OMB=90176。=∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t 的取值范圍是： 0≤t≤5； （ 2）過點 P 作 PG⊥ x 軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S△ ABC﹣ S△ PBE﹣S△ QCE= = ∴ 當 （在 0≤t≤5 內(nèi)）， y 有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t 解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖 ①：過點 P 作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ，如圖 ②：過點 Q 作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176。； （ 2） 連接 MO， ∵ MC 垂直平分 AO，∴ MA=MO=AO ∴ ∠ AMO=60176。聯(lián)考） 如圖，已知矩形 OABC 與矩形 ODEF 是位似圖形， P 是位似中心，若點 B 的坐標為（ 2， 4），點 E 的坐標為（﹣ 1， 2），則點 P 的坐標為 答案： （ 2， 0） 19.（ 2022178。 吉林長春朝陽區(qū) 178。點 P、 Q 分別在邊 AB、 AC上， AC=4， BC=AQ=3，如果 △ APQ 與 △ ABC 相似，那么 AP 的長等于 或 ． 【考點】 相似三角形的性質． 【分析】 根據(jù)勾股定理求出 AB 的長，根據(jù)相似三角形的性質列出比例式解答即可． 【解答】 解： ∵ AC=4， BC=3， ∠ C=90176。上海普陀區(qū)178。重慶銅梁巴川178。﹣ ∠ FHM， ∠ QHM=90176。模擬 )在直角坐標系中 有兩點 A(6， 3)、 B(6， 0)．以原點 O 為位似中心，把線段 AB 按相似的 1:3 縮小后得到線段 CD， 點 C 在第一象限 （ 如圖 ） ，則點 C 的坐標為 ▲ ． 答案： （ 2， 1） 3.（ 2022 棗莊 41 中 一模） 如圖，邊長為 6 的正方形 ABCD 中，點 E 是 BC 上一點，點 F 是AB 上一點．點 F 關于直線 DE 的對稱點 G 恰好在 BC 延長線上， FG 交 DE 于點 H．點 M為 AD 的中點，若 MH= ，則 EG ． 【考點】 相似三角形的判定與性質；正方形的性質． 【分析】 連接 DF， DG，過 H 作 HP⊥ AB 于 P， HQ⊥ AD 于 Q，由點 F，點 G 關于直線 DE的對稱，得到 DF=DG，根據(jù)正方形的性質得到 AD=CD， ∠ ADC=∠ A=∠ BCD=90176。一 模） 如圖，在 △ ABC 中， ∠ C=90176。湖北襄陽178。 ∴∠ 1+∠ 3=90176。模擬 )如圖，△ ABC 和△ AMN 都是等邊三角形，點 M 是△ ABC 的重心，那么AMNABCSS??的值為 （ B ） （ A）23； （ B）13； （ C）14； （ D）49． 18.（ 2022178。一模 )如圖， BD、 CE 相交于點 A，下列條件中，能推得 DE∥ BC的條件是（ ） 第 12 題圖 A． AE： EC=AD： DB B． AD： AB=DE： BC C． AD： DE=AB： BC D． BD： AB=AC： EC 【考點】 平行線分線段成比例． 【分析】 根據(jù)比例式看看能不能推出 △ ABC∽△ ADE 即可． 【解答】 解： A、 ∵ AE： EC=AD： DB， ∴ = ， ∴ 都減去 1 得： = ， ∵∠ BAC=∠ EAD， ∴△ ABC∽△ ADE， ∴∠ D=∠ B， ∴ DE∥ BC，故本選項正確； B、根據(jù) AD： AB=DE： BC 不能推出 △ ABC∽△ ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥ BC，故本選項錯誤； C、根據(jù) AD： DE=AB： BC 不能推出 △ ABC∽△ ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥ BC，故本選項錯誤； D、根據(jù) BD： AB=AC： EC 不能推出 △ ABC∽△ ADE，即不能得出內(nèi)錯角相等，不能推出DE∥ BC，故本選項錯誤； 故選 A． 【點評】 本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，能理解平行線分線段成比例定理的內(nèi)容是解此題的關鍵． 14． (2022178。）， ∴∠ PDM=∠ CDN=α， ∴△ PDM∽△ CDN， ∴ = ， 在 Rt△ PCD 中， ∵ tan∠ PCD=tan30176?？衫没ビ嗟?∠ CPD=60176。 ∠ B=60176。天津北辰區(qū) 4 的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為 1，三角形的頂點都在格點上，則與 △ ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（ ） 答案： B （ 2022齊河三模） 如圖， A， B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了 A、 B 間的距離：先在 AB 外選一點 C，然后測出AC， BC的中點 M， N，并測量出 MN 的長為 12m，由此他就知道了A、 B間的距離．有關他這次探究活動的描述錯誤 的是 ( ) =24m B. MN∥ AB C.△ CMN∽△ CAB :MA=1:2 答案： D （ 2022齊河三模） 如圖，在方格紙中，△ ABC和△ EPD的頂點均在格點上，要使△ ABC∽△ EPD，則點P所在的格點為 ( ) A． P1 B． P2 C． P3 D． P4 答案： B （ 2022泰安一模） 小剛身高 ，測得他站立在陽光下的影子長為 ，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為 ，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（ ） A． B． C． D． A． B． C． D． A C B 【考點】 相似三角形的應用；比例的性質． 【專題】 應用題． 【分析】 在同一時刻，物體的實際高度和影長成比例，據(jù)此列方程即可解答． 【解答】 解：設小剛舉起的手臂超出頭頂是 xm 根據(jù)同一時刻物高與影長成比例，得 ， x=． 故選： A． 8． （ 2022一模） 將一副三角尺（在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。由于 ∠ EDF=90176。＜ α＜ 60176。上海普陀區(qū)178。上海浦東178。 ①正確； A B C M N 第 17 題圖 由圖形可知， ∠ 1＜ ∠ AEC， ②錯 誤； ∵∠ 2=90176。第三步，連接 DE、 BE=8， ED =4， CD=3，則 BD的長是 ( ) A． 4 B． 6 C． 8 D． 12 答案： B 20.（ 2022178。 河南三門峽 178。浙江鎮(zhèn)江178。 ∴∠ PHF=∠ DHQ， 在 △ PFF 與 △ DQH 中， ， ∴△ HPF≌△ DHQ， ∴ HP=HQ， ∵∠ PHF=90176。一模）如圖， E是 ?ABCD邊 AB 延長線上的一點， AB=4BE，連接 DE交 BC于點 F，則△ DCF 與四邊形 ABFD面積的比是 ． 【分析】 由平行四邊形的性質得出 AB=CD， AB∥ CD， AD∥ BC，得出△ BEF∽△ DCF，得出 S△ DCF=16S△ BEF，同理： S△ ACD=25S△ BEF，即可得出結果． 【解答】 解：∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AB=CD， AB∥ CD， AD∥ BC， ∴△ BEF∽△ DCF， ∴ =（ ） 2， ∵ AB=4BE， ∴ CD=4BE， ∴∴ =（ ） 2 ， ∴ S△ DCF=16S△ BEF， 同理： S△ ACD=25S△ BEF， ∴ = ， ∴ = = ， 即△ DCF與四邊形 ABFD面積的比是 2： 3， 故答案為 ． 7． (2022178。二模 )如圖，在 △ ABC 中點 D、 E 分別在邊 AB、 AC 上，請?zhí)砑右粋€條件： ∠ AEB=∠ B（答案不唯一） ，使 △ ABC∽△ AED． 【考點】 相似三角形的判定． 【專題】 開放型． 【分析】 根據(jù) ∠ AEB=∠ B 和 ∠ A=∠ A 可以求證 △ AED∽△ ABC，故添加條件 ∠ AEB=∠ B即可以求證 △ AED∽△ ABC． 【解答】 解： ∵∠ AEB=∠ B， ∠ A=∠ A， ∴△ AED∽△ ABC， 故添加條件 ∠ AEB=∠ B 即可以使得 △ AED∽△ ABC， 故答案為： ∠ AEB=∠ B（答案不唯一）． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形對應角相等的性質，本題中添加條件∠ AEB=∠ B 并求證 △ AED∽△ ABC 是解題的關鍵． 10． (2022178。一模 )已知在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。 ∴∠ BCH=∠ ABF， ∴△ BCH∽△ ABF， ∴ ， ∵ A（ 3， 2）， ∴ AF=2， AG=3， ∵ 點 C 的橫坐標是 a， ∴ OH=﹣ a， ∵ BC： AB=1： 2， ∴ BH=AF=1， CH=BF= ， ∵△ BCH∽△ ABF， ∴∠ HBC=∠ DAE， 在 △ BCH 與 △ ADE 中， ， ∴△ BCH≌△ ADE， ∴ AE=BH=1， DE=CH= ， ∴ EG=3﹣ 1=2， ∴ D（ 2， ）． 故答案為：（ 2， ）． 【點評】 本題考查了相似三角形 的判定和性質，坐標與圖形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，正確的畫出圖形是解題的關鍵． 15.（ 2022178。廣東深圳178。； （ 2）若點 C、點 N 的位置如圖所示，求 α 的度數(shù)； ? C P M B O A C N （ 3） 當直線 PC 與 ⊙ O 相切時， 則 MC 的長 為 ▲ ． （ 1） 如圖 ， α= 30 176。 ∴∠ CQE=45176。 ∠ APB=90176。（如圖 2），則四邊形 P′ACP 是矩形，則 PP′=AC． 若 △ P180。重慶巴蜀 178。 ∵∠ BEF=90176。上海普陀區(qū)178。模擬 )（本題滿分 12 分，第 (1)、（ 2）小題各 6 分） 如圖，已知：四邊形 ABCD 是平行四邊形， 點 E 在邊 BA 的延長線上， CE 交 AD 于點 F，∠ECA = ∠ D． （ 1）求證：