【正文】 ABC ∴ 即 ， 解得： （ s） 綜上所述，當(dāng) 或 或 時(shí)， △ APQ 是等腰三角形． 5． （ 2022一摸） （ 本小題 10 分） 如圖（ 1），在平面直角坐標(biāo)系中， 已知點(diǎn) A（ 4， 0），點(diǎn) B（ 0，） . 沿 x軸向右平移Rt△ ABO，得 Rt△ ABO? ? ?，直線 OB??與 AB或 BA的延長線相交于點(diǎn) D. 設(shè) D（ x， y）（ 0x?），以點(diǎn) A， ?， B?， D為頂點(diǎn)的四邊形面積記為 S. （ Ⅰ ）求 與 x的函數(shù)關(guān)系式； （ Ⅱ ）用含 （ 4?）的式子表示 S； （ Ⅲ ）當(dāng)103S?，求點(diǎn) D的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果） . （圖 2 為備用圖） . 解：（ Ⅰ ） 當(dāng)點(diǎn) O?與點(diǎn) A不重合時(shí)， ∵ BO??∥ OB， ∴ △ DO?∽△ ABO. ∴ DO AOBO AO?. 如圖（ 1），點(diǎn) D 在 AB 上， 有 4A O A O O O x? ? ? ?. ∴ 434yx??. 即3 34?? ?. 如圖（ 2），點(diǎn) D 在 BA 延長線上， 有 4A O O O A O x??? ? ? ?. ∴ 4???. 即3 34? ?. 當(dāng)點(diǎn) O?與點(diǎn) A重合時(shí)， D與 A重合，此時(shí)， 0x?，3y?. ∴ y與 x的關(guān)系是：3 34yx?? ?. （ Ⅱ ） ① 如圖（ 1），當(dāng) 4x?? ?時(shí)， 點(diǎn) D 在 AB 上， 有 四 邊 形 A B O A D OA A B DS S S? ? ? ??? ????. y B O A x 圖（ 2） 圖（ 1） y B O O? A x D A? B? 第（ 1）題 圖（ 1） y B O A x D O? A? B? 圖（ 2） y B O A x O? A? B? D ∴ 1122S A O B O A O D O? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 把 3 34DO y x?? ? ? ?，代入， 得1 1 34 3 ( 4 ) ( 3 )2 2 4S x x? ? ? ? ? ? ? ?. ∴ 23 38S x x?? ?（ 4x?? ?） . ② 如圖（ 2），當(dāng) 4x?時(shí)，點(diǎn) D 在 BA 延長線上， ∵ 平移 △ AOB得到 △ AOB? ? ?， ∴ OO AA x????，||D y y? ? ??. ∵ A A D A A BA D A BS S S? ? ??? ????四 邊 形 ∴ 1122A A B A A DS S S A A B O A A D O? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 把 3 34yx?? ?代入，得 21 1 3 1 3 33 ( ) ( 3 )2 2 2 2 4 8S x x y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 綜上，223 3838， 0 4 ， 4. xxSxx? ? ? ? ???? ?????????? ??? （ Ⅲ ） D（43， 2） . 把103S?代入23 38S x x?? ?，得 1 43x，2 20 43x ??，舍 . 把43x，代入3 34yx? ?，得2y?. 103S?代入238Sx?，得1 4 503x ?? ?(舍 ) ，2 54x ??（舍） . 6． （ 2022178。一模） 如圖， AB 是 ⊙ O 的直徑， C， P 是 上兩點(diǎn)， AB=13，AC=5． （ 1）如圖（ 1），若點(diǎn) P 是 的中點(diǎn)，求 PA 的長； （ 2）如圖（ 2），若點(diǎn) P 是 的中點(diǎn)，求 PA 的長． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理． 【專題】 幾何綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)圓周角的定理， ∠ APB=90176。 ∠ APB=90176。 又因?yàn)?AB 為直徑 ∴∠ ACB=90176。 ∴△ ACB∽△ 0NP ∴ = ， 又 ∵ AB=13 AC=5 OP= ， 代入得 ON= ， ∴ AN=OA+ON=9 ∴ 在 Rt△ OPN 中，有 NP2=0P2﹣ ON2=36 在 Rt△ ANP 中 有 PA= = =3 ∴ PA=3 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是本題 的關(guān)鍵． 7.（ 2022178。一模） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（﹣ 4， 0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 0， b）（ b＞ 0）． P 是直線 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作 PC⊥ x軸，垂足為 C．記點(diǎn) P 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 P′（點(diǎn) P′不在 y 軸上），連接 PP′， P′A， P′C．設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 a． （ 1）當(dāng) b=3 時(shí)， ①求直線 AB 的解析式； ②若點(diǎn) P′的坐標(biāo)是（﹣ 1， m），求 m 的值； （ 2）若點(diǎn) P 在第一象限，記直線 AB 與 P′C 的交點(diǎn)為 D．當(dāng) P′D： DC=1： 3 時(shí)，求 a 的值； （ 3）是否同時(shí)存在 a， b，使 △ P′CA 為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的 a，b 的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；等腰直角三角形． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1） ①利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式； ②把（﹣ 1， m）代入函數(shù)解析式即可求得 m 的值； （ 2）可以證明 △ PP′D∽△ ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解； （ 3）分 P 在第一，二，三象限，三種情況進(jìn)行討論．利用相似三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】 解：（ 1） ①設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+3， 把 x=﹣ 4， y=0 代入得：﹣ 4k+3=0， ∴ k= ， ∴ 直線的解析式是： y= x+3， ②P′（﹣ 1， m）， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（ 1， m）， ∵ 點(diǎn) P 在直線 AB 上， ∴ m= 1+3= ； （ 2） ∵ PP′∥ AC， △ PP′D∽△ ACD， ∴ = ，即 = ， ∴ a= ； （ 3）以下分三種情況討論． ①當(dāng)點(diǎn) P 在第一象限時(shí)， 1）若 ∠ AP′C=90176。（如圖 2），則四邊形 P′ACP 是矩形，則 PP′=AC． 若 △ P180。 則點(diǎn) P′， P 都在第一象限內(nèi)，這與條件矛盾． ∴△ P′CA 不可能是以 C 為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形． ②當(dāng)點(diǎn) P 在第二象限時(shí)， ∠ P′CA 為鈍角（如圖 3），此時(shí) △ P′CA 不可能是等腰直角三角形； ③當(dāng) P 在第三象限時(shí)， ∠ P′AC 為鈍角（如圖 4），此時(shí) △ P′CA 不可能是等腰直角三角形． 所有滿足條件的 a， b 的值為： ， ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題 主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（ 3）中，要根據(jù) P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解． 8.（ 2022178。 一模 ） 如圖， AB 為 ⊙ O 的直徑， C 為 ⊙ O 上一點(diǎn)， AD 和過 C 點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為 D，且 AC 平分 ∠ DAB． （ 1）求證： DC 為 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 3， AD=4，求 AC 的長． 【考點(diǎn)】 切線的判定； 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）連接 OC，由 OA=OC 可以 得到 ∠ OAC=∠ OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明 ∠ DAC=∠ OCA，接著利用平行線的判定即可得到 OC∥ AD，然后就得到 OC⊥ CD，由此即可證明直線 CD 與 ⊙ O 相切于 C 點(diǎn)； （ 2）連接 BC，根據(jù)圓 周角定理的推 理得到 ∠ ACB=90176。． ∵∠ DAC=∠ OAC， ∠ ADC=∠ ACB=90176。重慶巴蜀 178?！?BEF=90176。 ∴△ ABE∽△ DEM， ∴ = ，即 = ， 解得， EM= ； （ 2）連接 EN， ∵∠ BEF=90176。 N為 BM的中點(diǎn)， ∴ CN= BM=BN=NM， ∵ FN⊥ CD， ∴ CR=MR= CM， ∵∠ A=∠ H=90176。 ∵∠ BEF=90176。 ∴∠ ABE=∠ FEH， 在△ ABE和△ HEF中， ， ∴△ ABE≌△ HEF， ∴ AE=HF， ∵∠ H=∠ RDH=∠ DRF=90176。四川峨眉 178。四川峨眉 178。上海普陀區(qū)178。上海普陀區(qū)178。 上海閔行區(qū) ∠ EGD=∠ CGO， ∴△ EGD∽△ CGO， ∴ ， ∵ OF=2GO， ∴ EG=GO， ∴ GO2=DG?GC． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 15． (2022178。模擬 )（本題滿分 12 分，第 (1)、（ 2）小題各 6 分） 如圖，已知：四邊形 ABCD 是平行四邊形， 點(diǎn) E 在邊 BA 的延長線上， CE 交 AD 于點(diǎn) F，∠ECA = ∠ D． （ 1）求證： ?EAC∽ ECB； （ 2）若 DF = AF，求 AC︰ BC 的值． （ 1） 證明：因?yàn)?，四邊?ABCD 是平行四邊形， 所以，∠ B = ∠ D， 因?yàn)椤?ECA = ∠ D，所以∠ ECA = ∠ B， 因?yàn)椤?E = ∠ E， 所以△ ECA∽△ ECB (2)解：因?yàn)?，四邊?ABCD 是平行四邊形， 所以， CD∥ AB，即： CD∥ AE 所以D DFAE AF? 因?yàn)?DF=AF，所以， CD=AE， 因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形，所以， AB=CD，所以 AE=AB， 所以， BE=2AE， 因?yàn)椤?ECA∽△ EBC 所以AE CE ACCE BE BC?? 所以2212E AE BE BE? ? ?，即：22CEBE? 所以22ACBC?． 16． (2022178。模擬 )如圖， Rt△ ABC中， 90ACB??， 6BC?，點(diǎn) D為斜邊 AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E為邊 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．聯(lián)結(jié) DE，過點(diǎn) E作 DE的垂線與邊 BC交于點(diǎn) F，以,DEEF為鄰邊作矩形 D G． （ 1）如圖 1，當(dāng) 8AC?，點(diǎn) G在邊 AB上時(shí)，求 DE 和 EF 的長； （ 2）如圖 2，若12DEEF?，設(shè) ACx?， 矩形 D G的面積為 y，求 y 關(guān)于 x的函數(shù)解析 式； （ 3）若23DEEF，且點(diǎn) G恰好落在 Rt△ ABC的邊上，求 AC的 長． 解： (1) 如圖， ∵1 52AD AB?? ∴3 155 44D E FG? ? ? ?． 3 454 4 4 16BG FG? ? ? ? ∴45 355 16 16DG ? ? ?． 即15 35,4 16D E EF． （ 2） 過點(diǎn) D作 H AC?于點(diǎn) H， 從而 3DH?． 易得△ DHE∽ △ ECF， 由12DEEF?， 可得 26EC DH， 1 62EH x??． 所以22 2 23 ( 6) 6 4524xxD E x? ? ? ? ? ?． GFEDCBA第 16題 圖 2 A BCDE FG第 16題 圖 1 ∴222 12 902xy D E EF D E x? ? ? ? ? ?． (3) 由題意，點(diǎn) G可以在邊 BC或者 AB上． ①如左圖 若點(diǎn) 在邊 上， 從而由 3DE?， 可 知92EF?， 于是 29AC EF??； ②如右圖， 若點(diǎn) G在邊 AB上． 記 AD DB a， 矩形邊長2 , 3D E b EF b， 由△ ADE∽△ FGB， 可得AD FGD GB?， 即223abb a b?， 化簡可得223 4 0a ab b? ? ?， 因式分解后有 : 4ab?， 即 2AD DE?． 而由△ ADE∽△ ACB， 所以 2AC BC?， 從而 12AC?． 綜上知， AC 的