【文章內(nèi)容簡介】 又 ∵∠ APC=∠ ABC， ∴∠ ABC=60176。， ∴∠ ACB=180176。﹣ ∠ BAC﹣ ∠ ABC=180176。﹣ 60176。﹣ 60176。=60176。， ∴△ ABC 是等邊三角形； （ 2）解：如圖， 連接 OB， ∵△ ABC 為等邊三角形， ⊙ O 為其外接圓， ∴ O 為 △ ABC 的外心， ∴ BO 平分 ∠ ABC， ∴∠ OBD=30176。， ∴ OE= ， OB= ， 【點(diǎn)評】 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，垂徑定理，解直角三角形等知識(shí)，將各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，旨在考查同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力． 21．（ 10 分）（ 2022 秋 ?紹興期末）某書店銷售兒童書刊，一天可售出 20 套，每套盈利 40 元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，書店決定采取降價(jià)措施，若一套書每降價(jià) 1 元，平均每天可多售出 2 套．設(shè)每套書降價(jià) x 元時(shí)，書店一天可獲利潤 y 元． （ 1）求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式（化為一般形式）； （ 2）當(dāng)每套書降價(jià)多少元時(shí)，書店可獲最大利潤？最大利潤為多少？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意設(shè)出每天降價(jià) x 元以后，準(zhǔn)確表示出每天書刊的銷售量，列出利潤 y 關(guān)于降價(jià) x 的函數(shù)關(guān)系式 （ 2）運(yùn)用配方法求出二次函數(shù)最值． 【解答】 解：（ 1）設(shè)每 套書降價(jià) x 元時(shí)，所獲利潤為 y 元，則每天可出售（ 20+2x）套． 由題意得： y=（ 40﹣ x）（ 20+2x） =﹣ 2x2+80x﹣ 20x+800=﹣ 2x2+60x+800． （ 2） y=﹣ 2x2+60x+800=﹣ 2（ x﹣ 15） 2+1250， ∵ ﹣ 2＜ 0， ∴ 當(dāng) x=15 時(shí)， y 取得最大值 1250； 即當(dāng)將價(jià) 15 元時(shí)，該書店可獲得最大利潤，最大利潤為 1250 元． 【點(diǎn)評】 此題考查了二次函數(shù)及一元二次方程在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列出二次函數(shù)解析式，靈活運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解題． 22．（ 12 分）（ 2022 秋 ?紹興期末）如圖 1，有兩個(gè)分別涂有黃色和藍(lán)色的 Rt△ ABC 和 Rt△ A′B′C′，其中 ∠ C=∠ C′=90176。， ∠ A=60176。， ∠ A′=45176。．思考：能否分別作一條直線分割這兩個(gè)三角形，使 △ ABC 所分割成的兩個(gè)黃色三角形與 △ A′B′C′所分割成的兩個(gè)藍(lán)色三角形分別對應(yīng)相似． （ 1）如圖 2，作直線 CD， C′D，分別交 AB 于點(diǎn) D，交 A′B′于點(diǎn) D′， ∠ BCD=45176。，∠ B′C′D′=30176。，問 △ BCD 與 △ B′C′D′、 △ ACD 與 △ A′C′D′是否相似？并選擇其中相似的一對三角形，說明理由． （ 2）如圖 3，作直線 AD， B′D′，分別交 BC 于點(diǎn) D，交 A′C′于點(diǎn) D′，若 △ ACD 與△ B′C′D′、 △ ABD 與 △ A′B′D′均相似，求 ∠ CAD， ∠ C′B′D′的度數(shù)（直接寫出答案） 【考點(diǎn)】 相似形綜合題． 【分析】 思考：在圖 1 中，可以分別作一條直線分割這兩個(gè)三角形，使 △ ABC 所分割成的兩個(gè)黃色三角形與 △ A′B′C′所分割成的兩個(gè)藍(lán)色三角形分別對應(yīng)相似．根據(jù)相似三角形的判定方法即可證明． （ 1）如圖 2 中， △ BCD 與 △ B′C′D′、 △ ACD 與 △ A′C′D′相似，理由同上． （ 2）如圖 3 中，當(dāng) ∠ CAD=∠ C′B′D′=15176。時(shí)， △ ACD 與 △ B′C′D′、 △ ABD 與 △ A′B′D′均相似． 【解答】 解：思考：在圖 1 中，可以分別作一條直線分割這兩個(gè)三角形，使 △ ABC所分割成的兩個(gè)黃色三角形與 △ A′B′C′所分割成的兩個(gè)藍(lán)色三角形分別對應(yīng)相似． 作 CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于 D，作 ∠ A′C′D′=60176。JIAO A′B′于 D′．則 △ ACD∽△ C′A′D′，△ BCD∽△ C′B′D′． 理由： ∵∠ A=∠ A′C′D′=60176。， ∠ ACD=∠ A′=45176。， ∴△ ACD∽△ C′A′D′， ∵∠ B=∠ B′C′D′， ∠ BCD=∠ B′， ∴△ BCD∽△ C′B′D′． （ 1）如圖 2 中， △ BCD 與 △ B′C′D′、 △ ACD 與 △ A′C′D′相似，理由同上． （ 2）如圖 3 中，當(dāng) ∠ CAD=∠ C′B′D′=15176。時(shí)， △ ACD 與 △ B′C′D′、 △ ABD 與 △ A′B′D′均相似． 理由： ∵∠ C=∠ C′=90176。， ∠ CAD=∠ C′B′D′=15176。， ∴△ ACD∽△ B′C′D′， ∵∠ B=∠ A′B′D′=30176。， ∠ DAB=∠ A′=45176。， ∴△ BAD∽△ B′A′D′． 【點(diǎn)評】 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定方法，學(xué)會(huì)取特殊角解決問題，屬于中考?？碱}型． 23．（ 12 分）（ 2022 秋 ?紹興期末）如果拋物線 C1的頂點(diǎn)在拋物線 C2上，同時(shí)，拋物線 C2的頂點(diǎn)在拋物線 C1上，那么，我們稱拋物線 C1與 C2關(guān)聯(lián)． （ 1）已知拋物線 ① ： y=﹣ 2x2+4x+3 與 ② ： y=2x2+4x﹣ 1，請判斷拋物線 ① 與拋物線 ② 是否關(guān)聯(lián)，并說明理由； （ 2）將拋物線 C1： y=﹣ 2x2+4x+3 沿 x 軸翻折，再向右平移 m（ m＞ 0）個(gè)單位，得到拋物線 C2，若拋物線 C1與 C2關(guān)聯(lián)，求 m 的值； （ 3）點(diǎn) A 為拋物線 C1： y=﹣ 2x2+4x+3 的頂點(diǎn)，點(diǎn) B 為拋物線 C1關(guān)聯(lián)的拋物線的頂點(diǎn)（點(diǎn) B 位于 x 軸的下方），是否存在以 AB 為斜邊的等腰直角三角形 ABC，使其直角頂點(diǎn) C 在 x 軸上？若存在，求出 C 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)兩拋物線的關(guān)聯(lián)依次判斷即可； （ 2）根據(jù)兩拋物線關(guān)聯(lián)的定義直接列式得出結(jié)論； （ 3）分當(dāng)點(diǎn) C 位于 AD 左側(cè)和當(dāng)點(diǎn) C 位于 AD 右側(cè)，借助關(guān)聯(lián)的意義設(shè)出點(diǎn) C 坐標(biāo)，表示出點(diǎn) B 坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出點(diǎn) C 坐標(biāo)． 【解答】 解：（ 1）由 ① 知， y=﹣ 2（ x﹣ 1） 2+5， ∴ 拋物線 ① ： y=﹣ 2x2+4x+3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 5）， 把 x=1 代入拋物線 ② ： y=2x2+4x﹣ 1，得 y=5， ∴ 拋物線 ① 的頂點(diǎn)在拋物線 ② 上， 又由 ② y=2（ x+1） 2﹣ 3， ∴ 拋物線 ② 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 3）， 把 x=﹣ 1 代入拋物線 ① 中，得， y=﹣ 3， ∴ 拋物線 ② 的頂點(diǎn)在拋物線 ① 上， ∴ 拋物線 ① 與拋物線 ② 關(guān)聯(lián)． （ 2）拋物線 y=﹣ 2x2+4x+3 沿 x 軸翻折后拋物線為 y=2x2﹣ 4x﹣ 3， 即： y=2（ x﹣ 1） 2﹣ 5， 設(shè)平移后的拋物線解析式為 y=2（ x﹣ 1﹣ m） 2﹣ 5， 把 x=1， y=5 代入得 2（ 1﹣ 1﹣ m） 2﹣ 5=5， ∴ m=177。 ， ∵ m＞ 0， ∴ m= ， （ 3） ① 當(dāng)點(diǎn) C 位于 AD 左側(cè)時(shí)，過點(diǎn) A 作 AD⊥ x 軸于 D，過點(diǎn) B 作 BE⊥ x 軸于 E，如圖 1， ∴△ ACD≌△ CBE， ∴ CE=AD， BE=CD 設(shè) C（ c， 0）， ∵ 點(diǎn) B 在 x 軸下方， ∴ 點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)為 c﹣ 1； Ⅰ 、當(dāng)點(diǎn) C 在 x 軸負(fù)半軸上時(shí)，即： c＜ 0， ∴ B（ c+5， c﹣ 1）， 把 B（ c+5， c﹣ 1），代入 y=﹣ 2（ x﹣ 1） 2+5 中得， 2c2+17c+26=0， ∴ c=﹣ 2 或 c=﹣ ， ∴ C（﹣ 2， 0）或（﹣ ， 0）， Ⅱ 、當(dāng)點(diǎn) C 在 x 軸正半軸上時(shí)，即： 0＜ c＜ 1 把 B（ 5﹣ c， c﹣ 1），代入 y=﹣ 2（ x﹣ 1） 2+5 中得， 2c2﹣ 15c+26=0， ∴ c= （不符合題意，舍）， ② 當(dāng)點(diǎn) C 位于 AD 右側(cè)時(shí)， 設(shè) C（ c， 0），同 ① 的方法得出 B（ c﹣ 5， 1﹣ c）， 將 B（ c﹣ 5， 1﹣ c）代入 y=﹣ 2（ x﹣ 1） 2+5 中得， 2c2﹣ 25c+68=0， ∴ c=4 或 c= ， ∴ C（ 4， 0）或（ ， 0）， 即：點(diǎn) C 的坐標(biāo)為：（﹣ 2， 0）或（﹣ ， 0）或（ 4， 0）或（ ， 0）． 【點(diǎn)評】 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，分類討論的思想，理解兩拋物線關(guān)聯(lián)是解本題的關(guān)鍵． 24．（ 14 分）（ 2022 秋 ?紹興期末）如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ BAC=90176。， AB=6，AC=8，點(diǎn) D 為邊 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為射線 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 為邊 AC 上的一動(dòng)點(diǎn)，且 ∠ PDQ=90176。． （ 1）當(dāng) DP⊥ AB 時(shí)，求 CQ 的長； （ 2）當(dāng) BP=2，求 CQ 的長； （ 3）連結(jié) AD，若 AD 平分 ∠ PDQ，求 DP， DQ 的長． 【考點(diǎn)】 相似形綜合題． 【分析】 （ 1）首先證明 DQ∥ AB，根據(jù)平行線等分線段定理即可解決問題． （ 2）分兩種情形 ① 如圖 2 中，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 上時(shí)，作 DM⊥ AB， DN⊥ AC，垂足分別為 M、 N，由 △ PDM∽△ QDN，得 = = ，推出 QN= PM，推出 PM=BM﹣ PB=3﹣ 2=1，推出 QN= 即可解決問題． ② 如圖 3 中，當(dāng)點(diǎn) P 在 AB 的延長線上時(shí)，根據(jù) PM=5， QN= ， CQ=QN+CN 計(jì)算即可． （ 3）如圖 4 中，作 AM⊥ DP 于 M， AN⊥ DQ 于 N．首先證明四邊形 AMDN 是正方形，由 APM≌△ AQN，推出 PM=NQ，推出 PD+DQ=（ PM+MD） +（ DN﹣ QN）=2DM= AD=5 ，由（ 2）可知 PD： QD=4： 3，由此即可計(jì)算． 【解答】 解：（ 1）如圖 1 中， ∵ DP⊥ AB， DQ⊥ DP， ∴ DQ∥ AB， ∵ BD=DC， ∴ CQ=AQ=4． （ 2） ① 如圖 2 中，當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 上時(shí)，作 DM⊥ AB， DN⊥ AC，垂足分別為M、 N， 則四邊形 AMDN 是矩形， DM、 DN 分別是 △ ABC 的中位線， DM=4， DN=3， ∵∠ PDQ=∠ MDN=90176。， ∴∠ PDM=∠ QDN， ∵∠ DNQ∠ DMP=90176。， ∴△ PDM∽△ QDN， ∴ = = ， ∴ QN= PM， ∵ PM=BM﹣ PB=3﹣ 2=1， ∴ QN= ， ∴ CQ=QN+CN= +4= ． ② 如圖 3 中，當(dāng)點(diǎn) P 在 AB 的延長線上時(shí)， PM=5， QN= ， CQ=QN+CN=4+ = ， 綜上所述，當(dāng) BP=2，求 CQ 的長為 或 ． （ 3）如圖 4 中，作 AM⊥ DP 于 M， AN⊥ DQ 于 N． ∵ AD 平分 ∠ PDQ， ∴ AM=AN， ∵∠ AMD=∠ AND=∠ MDN=90176。， ∴ 四邊形 AMDN 是矩形， ∵ AM=AN， ∴ 四邊形 AMDN 是正方形， ∴∠ MAN=90176。， DM=DN， ∵∠ BAC=∠ MAN=90176。， ∴∠ PAM=∠ NAQ， ∴△ APM≌△ AQN， ∴ PM=NQ， ∵ AB=6， AC=8， ∴ BC= = =10， AD=5， ∵ PD+DQ=（ PM+MD） +（ DN﹣ QN） =2DM= AD=5 九年級（上）期末數(shù)學(xué)模擬試卷 一、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分．） 1．拋物線 y=2（ x﹣ 2） 2﹣ 3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A．（﹣ 2， 3） B．（ 2， 3） C．（﹣ 2，﹣ 3） D．（ 2，﹣ 3） 2．四張質(zhì)地、大小相同的卡片上，分別畫上如圖所示的四個(gè)圖形，在看不到圖形的情況下從中任意抽出一張卡片，則抽出的卡片上的圖形是中心對稱圖形的概率為（ ） A． B． C． D． 1 3．函數(shù) 中，自變量 x 的取值范圍是（ ） A． x＞ 4 B． x≥ ﹣ 2 且 x≠ 4 C． x＞ ﹣ 2 且 x≠ 4 D． x≠ 4 4．如圖，在 △ ABC 中， D、 E 分別是 AB、 AC 的中點(diǎn)，下列說法中不正確的是（ ） A． DE= BC B． = C． △ ADE∽△ ABC D． S△ ADE： S△ ABC=1： 2 5．已知 x=2 是一元二次方程（ m﹣ 2） x2+4x﹣ m2=0 的一個(gè)根，則 m 的值為（ ） A． 2 B． 0 或 2 C． 0 或 4 D． 0 6．如圖，直線 l1∥ l2∥ l3，一等腰直角三角形 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn) A， B， C