【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1）知， △ OBC 的等邊三角形，則 ∠ COB=60176。， BC=OC． ∵ OC=CP， ∴ BC=PC， ∴∠ P=∠ CBP． 又 ∵∠ OCB=60176。， ∠ OCB=2∠ P， ∴∠ P=30176。， ∴∠ OBP=90176。，即 OB⊥ PB． 又 ∵ OB 是半徑， ∴ PB 是 ⊙ O 的切線． 23．合肥某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為 20 元 /件．試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)為 25 元 /件時(shí)，每天的銷售量是 150 件；銷售單價(jià)每上漲 1 元，每天的銷售量就減少 10 件． （ 1）求商場(chǎng)銷售這種文具每天所得的銷售利潤(rùn) w（元）與銷售單價(jià) x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大？ （ 3）現(xiàn)商場(chǎng)規(guī)定該文具每天銷售量不少于 120 件，為使該文具每天的銷售利潤(rùn)最大，該文具定價(jià)多少元時(shí)，每天利潤(rùn)最大？ 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】 （ 1）根據(jù)利潤(rùn) =（單價(jià)﹣進(jìn)價(jià)） 銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式即可； （ 2）根據(jù)（ 1）式列出的函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用配方法求最大值； （ 3）利用二次函數(shù)增減性直接求出最值即可． 【解答】 解：（ 1）由題意得，銷售量 =150﹣ 10（ x﹣ 25） =﹣ 10x+400， 則 w=（ x﹣ 20）（﹣ 10x+400） =﹣ 10x2+600x﹣ 8000； （ 2） w=﹣ 10x2+600x﹣ 8000=﹣ 10（ x﹣ 30） 2+1000． ∵ ﹣ 10＜ 0， ∴ 函數(shù)圖象開口向下， w 有最大值， 當(dāng) x=30 時(shí)， wmax=1000， 故當(dāng)單價(jià)為 30 元時(shí)，該文具每天的利潤(rùn)最大； （ 3） 400﹣ 10x≥ 120， 解得 x≤ 28， 對(duì)稱軸：直線 x=30， 開口向下， 當(dāng) x≤ 30 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大， ∴ 當(dāng) x=28 時(shí)， w 最大 =960 元． 24．在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E， F 分別在邊 BC， CD 上，且 ∠ EAF=∠ CEF=45176。． （ 1）將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ ABG（如圖 ① ），求證： △ AEG≌△ AEF； （ 2）若直線 EF 與 AB， AD 的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn) M， N（如圖 ② ），求證： EF2=ME2+NF2； （ 3）將正方形改為長(zhǎng)與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖 ③ ），請(qǐng)你直接寫出線段 EF， BE， DF 之間的數(shù)量關(guān)系． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AF=AG， ∠ EAF=∠ GAE=45176。，故可證 △ AEG≌△ AEF； （ 2）將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ ABG，連結(jié) GM．由（ 1）知 △AEG≌△ AEF，則 EG=EF．再由 △ BME、 △ DNF、 △ CEF 均為等腰直角三角形，得出 CE=CF， BE=BM， NF= DF，然后證明 ∠ GME=90176。， MG=NF，利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明 EF2=ME2+NF2； （ 3）延長(zhǎng) EF 交 AB 延長(zhǎng)線于 M 點(diǎn)，交 AD 延長(zhǎng)線于 N 點(diǎn)，將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ AGH，連結(jié) HM， HE．由（ 1）知 △ AEH≌△ AEF，結(jié)合勾股定理以及相等線段可得（ GH+BE） 2+（ BE﹣ GH） 2=EF2，所以 2（ DF2+BE2） =EF2． 【解答】 （ 1）證明： ∵△ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ ABG， ∴ AF=AG， ∠ FAG=90176。， ∵∠ EAF=45176。， ∴∠ GAE=45176。， 在 △ AGE 與 △ AFE 中， ， ∴△ AGE≌△ AFE（ SAS）； （ 2）證明：設(shè)正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 a． 將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ ABG，連結(jié) GM． 則 △ ADF≌△ ABG， DF=BG． 由（ 1）知 △ AEG≌△ AEF， ∴ EG=EF． ∵∠ CEF=45176。， ∴△ BME、 △ DNF、 △ CEF 均為等腰直角三角形， ∴ CE=CF， BE=BM， NF= DF， ∴ a﹣ BE=a﹣ DF， ∴ BE=DF， ∴ BE=BM=DF=BG， ∴∠ BMG=45176。， ∴∠ GME=45176。+45176。=90176。， ∴ EG2=ME2+MG2， ∵ EG=EF， MG= BM= DF=NF， ∴ EF2=ME2+NF2； （ 3）解： EF2=2BE2+2DF2． 如圖所示，延長(zhǎng) EF 交 AB 延長(zhǎng)線于 M 點(diǎn)，交 AD 延長(zhǎng)線于 N 點(diǎn)， 將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ AGH，連結(jié) HM， HE． 由（ 1）知 △ AEH≌△ AEF， 則由勾股定理有（ GH+BE） 2+BG2=EH2， 即（ GH+BE） 2+（ BM﹣ GM） 2=EH2 又 ∴ EF=HE， DF=GH=GM， BE=BM，所以有（ GH+BE） 2+（ BE﹣ GH） 2=EF2， 即 2（ DF2+BE2） =EF2 25．如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的對(duì)稱軸為直線 x=﹣ 1，求拋物線經(jīng)過 A（ 1， 0）， C（ 0， 3）兩點(diǎn)，與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)． （ 1）若直線 y=mx+n 經(jīng)過 B、 C 兩點(diǎn)，求直線 BC 和拋物線的解析式； （ 2）在該拋物線的對(duì)稱軸 x=﹣ 1 上找一點(diǎn) M，使點(diǎn) M 到點(diǎn) A 的距離與到點(diǎn) C的距離之和最小，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 3）設(shè)點(diǎn) P 為該拋物線的對(duì)稱軸 x=﹣ 1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使 △ BPC 為直角三角形的點(diǎn) P 的坐標(biāo)．（提示：若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn) P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），則線段 PQ 的長(zhǎng)度 PQ= ）． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) A 和 B 關(guān)于 x=﹣ 1 對(duì)稱即可求得 B 的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式； （ 2）求得 BC 與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是 M； （ 3）設(shè) P 的坐標(biāo)是（﹣ 1， p），利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出 BC、 BP 和 PC的長(zhǎng)，然后分成 △ BPC 的三邊分別是斜邊三種情況討論，利用勾股定理列方程求得 p 的值，得到 P 的坐標(biāo)． 【解答】 解：（ 1） A（ 1， 0）關(guān)于 x=﹣ 1 的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣ 3， 0），則 B 的坐標(biāo)是（﹣3， 0）． 根據(jù)題意得： ， 解得： ， 則拋物線的解析式是 y=x+3； 根據(jù)題意得： ， 解得： ． 則拋物線的解析式是 y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2）在 y=x+3 中令 x=﹣ 1，則 y=﹣ 1+3=2， 則 M 的坐標(biāo)是（﹣ 1， 2）； （ 3）設(shè) P 的坐標(biāo)是（﹣ 1， p）． 則 BP2=（﹣ 1+3） 2+p2=4+p2． PC=（ 0+1） 2+（ 3﹣ p） 2=p2﹣ 6p+10． BC=32+32=18． 當(dāng) BC 時(shí)斜邊時(shí)， BP2+PC2=BC2，則（ 4+p2） +（ p2﹣ 6p+10） =18， 解得： p=﹣ 1 或 2， 則 P 的坐標(biāo)是（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1， 2）； 當(dāng) BP 是斜邊時(shí)， BP2=PC2+BC2，則 4+p2=（ p2﹣ 6p+10） +18， 解得： p=4， 則 P 的坐標(biāo)是（﹣ 1， 4）； 當(dāng) PC 是斜邊時(shí)， PC2=BP2+BC2，則 p2﹣ 6p+10=4+p2+18， 解得： p=﹣ 2， 則 P 的坐標(biāo)是（﹣ 1，﹣ 2）． 總之， P 的坐標(biāo)是（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1， 2）或（﹣ 1， 4）或（﹣ 1，﹣ 2）． 九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1． sin30176。 的值為（ ） A． B． C． D． 2．下列各組圖形一定相似的是（ ） A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)等邊三角形 C．各有一角是 80176。的兩個(gè)等腰三角形 D．任意兩個(gè)菱形 3．麗華根據(jù)演講比賽中九位評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)作了如下表格： 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差 如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是（ ） A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．中位數(shù) 4．如果關(guān)于 x 的一元二次方程（ m﹣ 1） x2+2x+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么 m 的取值范圍是（ ） A． m＞ 2 B． m＜ 2 C． m＞ 2 且 m≠ 1 D． m＜ 2 且 m≠ 1 5．如圖，將寬為 1cm 的長(zhǎng)方形紙條沿 BC 折疊，使 ∠ CAB=45176。，則折疊后重疊部分的面積為（ ） A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2 6．如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a＞ 0）的圖象與直線 y=1 交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 1），（ 3， 1），則不等式 ax2+bx+c﹣ 1＞ 0 的解集為（ ） A． x＞ 1 B． 1＜ x＜ 3 C． x＜ 1 或 x＞ 3 D． x＞ 3 二、填空題： 7．拋物線 y=2x2﹣ 4x+1 的對(duì)稱軸為直線 ． 8． 100 件某種產(chǎn)品中有五件次品，從中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 ． 9．將拋物線 y=﹣ 2x2+1 向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度所得的拋物線解析式為 ． 10．如圖，在 △ ABC 中， DE∥ BC， DE 與邊 AB 相交于點(diǎn) D，與邊 AC 相交于點(diǎn) E，如果 AD=3， BD=4， AE=2，那么 AC= ． 11．已知圓錐的底面半徑為 3，側(cè)面積為 15π，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為 ． 12．某人沿著坡度 i=1： 的山坡走了 50 米，則他離地面的高度上升了 米． 13．從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度 h（米）與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是 h=10t﹣ 5t2，則小球運(yùn)動(dòng)到的最大高度為 米． 14． △ ABC 中， AB=AC=4， BC=5，點(diǎn) D 是邊 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 是邊 AC 的中點(diǎn)，點(diǎn)P 是邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)， ∠ DPE=∠ C，則 BP= ． 15．如圖，四邊形 ABCD 為 ⊙ O 的內(nèi)接四邊形，若四邊形 ABCO 為平行四邊形，則 ∠ ADB= ． 16．已知二次函數(shù) y=ax2+2 x（ a＜ 0）的圖象與 x 軸交于 A（ 6， 0），頂點(diǎn)為 B，C 為線段 AB 上一點(diǎn)， BC=2， D 為 x 軸上一動(dòng)點(diǎn)．若 BD=OC，則 D 的坐標(biāo)為 ． 三、解答題：（共 102 分） 17．（ 10 分）（ 1）計(jì)算： 2﹣ 1+| ﹣ 2|+tan60176。 （ 2）解方程：（ x+1）（ x﹣ 3） =﹣ 1． 18．（ 8 分）某班召開主題班會(huì)，準(zhǔn)備從由 2 名男生和 2 名女生組成的班委會(huì)中選擇 2 人擔(dān)任主持人． （ 1）用樹狀圖或表格列出所有等可能結(jié)果； （ 2）求所選主持人恰好為 1 名男生和 1 名女生的概率． 19．（ 8 分）甲進(jìn)行了 10 次射擊訓(xùn)練，平均成績(jī)?yōu)?9 環(huán)，且前 9 次的成績(jī)（單位：環(huán)）依次為： 8， 10， 9， 10， 7， 9， 10， 8， 10． （ 1）求甲第 10 次的射擊成績(jī)； （ 2）求甲這 10 次射擊成績(jī)的方差； （ 3）乙在相同情況下也進(jìn)行了 10 次射擊訓(xùn)練，平均成績(jī)?yōu)?9 環(huán)，方差為 環(huán)2，請(qǐng)問甲和乙哪個(gè)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定？ 20．（ 10 分）如圖， △ ABC 中， ∠ C=90176。， tanB= ， AC=2， D 為 AB 中點(diǎn)， DE 垂直 AB 交 BC 于 E． （ 1）求 AB 的長(zhǎng)度； （ 2）求 BE 的長(zhǎng)度． 21．（ 10 分）如圖， AB、 CD 為兩個(gè)建筑物，建筑物 AB 的高度為 60 米，從建筑物 AB 的頂點(diǎn) A 點(diǎn)測(cè)得建筑物 CD 的頂點(diǎn) C 點(diǎn)的俯角 ∠ EAC 為 30176。，測(cè)得建筑物CD 的底部 D 點(diǎn)的俯角 ∠ EAD 為 45176。． （ 1）求兩建筑物底部之間水平距離 BD 的長(zhǎng)度； （ 2）求建筑物 CD 的高度（結(jié)果保留 根號(hào)）． 22．（ 10 分）如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c 的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，交 y 軸于 C 點(diǎn)，其中 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 3， 0）， C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 3），且圖象對(duì)稱軸為直線x=1． （ 1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式； （ 2） P 為二次函數(shù) y=ax2+bx+c 在 x 軸下方的圖象上一點(diǎn)，且 S△ ABP=S△ ABC，求 P點(diǎn)的坐標(biāo)． 23．（ 10 分）如圖，四邊形 OABC 為平行四邊形， B、 C 在 ⊙ O 上， A 在 ⊙ O 外，sin∠ OCB= ． （ 1）求證： AB 與 ⊙ O 相切； （ 2）若 BC=10cm，