【文章內(nèi)容簡介】 F，根據(jù)垂徑定理可得出 AE=BE= AB，利用勾股定理即可求出 PE 的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出 EF=BC=AB， DF=AE，再通過勾股定理即可求出線段 PD 的長度，根據(jù)邊與邊的關(guān)系可找出 PF 的長度，分析 AB 旋轉(zhuǎn)的過程可知 CD 邊掃過的區(qū)域為以 PF 為內(nèi)圓半徑、以 PD 為外圓半徑的圓環(huán)，根據(jù)圓環(huán)的面積公式即可得出結(jié)論． 【解答】 解：連接 PA、 PD，過點 P 作 PE 垂直 AB 于點 E，延長 PE 交 CD 于點 F，如圖所示． ∵ AB 是 ⊙ P 上一弦，且 PE⊥ AB， ∴ AE=BE= AB=3． 在 Rt△ AEP 中， AE=3， PA=5， ∠ AEP=90176。， ∴ PE= =4． ∵ 四邊形 ABCD 為正方形， ∴ AB∥ CD， AB=BC=6， 又 ∵ PE⊥ AB， ∴ PF⊥ CD， ∴ EF=BC=6， DF=AE=3， PF=PE+EF=4+6=10． 在 Rt△ PFD 中， PF=10， DF=3， ∠ PFD=90176。， ∴ PD= = ． ∵ 若 AB 邊繞點 P 旋轉(zhuǎn)一周，則 CD 邊掃過的圖形為以 PF 為內(nèi)圓半徑、以 PD 為外圓半徑的圓環(huán)． ∴ S=π?PD2﹣ πPF2=109π﹣ 100π=9π． 故答案為： 9π． 【點評】 本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積公式，解題的關(guān)鍵是分析出 CD 邊掃過的區(qū)域的形狀．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時，結(jié)合 AB 邊的旋轉(zhuǎn)，找出 CD 邊旋轉(zhuǎn)過程中掃過區(qū)域的形狀是關(guān)鍵． 三、解答題（本大題共 10 小題，共 96 分．） 19．關(guān)于 x 的一元二次方程 x2﹣ x﹣（ m+1） =0 有兩個不相等的實數(shù)根． （ 1）求 m 的取值范圍； （ 2）若 m 為符合條件的最小整數(shù)，求此方程的根． 【考點】 根的判別式． 【分析】 （ 1）根據(jù) △ 的意義得到 △＞ 0，即（﹣ 1） 2+4（ m+1） ＞ 0，然后解不等式即可得到 m 的取值范圍； （ 2）在（ 1）中 m 的范圍內(nèi)可得到 m 的最小整數(shù)為﹣ 1，則方程變?yōu)?x2﹣ x=0，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 關(guān)于 x 的一元二次方程 x2﹣ x﹣（ m+1） =0 有兩個不相等的實數(shù)根， ∴△ =（﹣ 1） 2+4（ m+1） =5+4m＞ 0， ∴ m＞ ﹣ ； （ 2） ∵ m 為符合條件的最小整數(shù)， ∴ m=﹣ 1． ∴ 原方程變?yōu)?x2﹣ x=0， ∴ x（ x﹣ 1） =0， ∴ x1=0， x2=1． 【點評】 本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠ 0）的根的判別式 △ =b2﹣ 4ac：當 △＞ 0，方程兩個不相等的實數(shù)根；當 △ =0，方程兩個相等的實數(shù)根；當 △＜ 0，方程沒有實數(shù)根．也考查了解一元二次方程． 20．如圖，點 A 的坐標為（ 3， 2），點 B 的坐標為（ 3， 0）．作如下操作： ① 以點 A 為旋轉(zhuǎn)中心，將 △ ABO 順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。，得到 △ AB1O1； ② 以點 O 為位似中心，將 △ ABO 放大，得到 △ A2B2O，使位似比為 1： 2，且點A2 在第三象限． （ 1）在圖中畫出 △ AB1O1 和 △ A2B2O； （ 2）請直接寫出點 A2 的坐標： （﹣ 6，﹣ 4） ． （ 3）如果 △ ABO 內(nèi)部一點 M 的坐標為（ m， n），寫出點 M 在 △ A2B2O 內(nèi)的對應點 N 的坐標： （﹣ 2m，﹣ 2n） ． 【考點】 作圖 位似變換；作圖 旋轉(zhuǎn)變換． 【分析】 （ 1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的條件以及位似變換的條件作出圖形即可． （ 2）根據(jù)圖象即可寫出點 A2 坐標． （ 3）根據(jù)位似變換，點 A 的變化規(guī)律，得出位似變換的點的變化規(guī)律，即可解決問題． 【解答】 解：（ 1） △ AB1O1 和 △ A2B2O，如圖所示， （ 2）由圖象可知， A2（﹣ 6，﹣ 4）． 故答案為（﹣ 6，﹣ 4）． （ 3） △ ABO 內(nèi)部一點 M 的坐標為（ m， n），點 M 在 △ A2B2O 內(nèi)的對應點 N 的坐標為（﹣ 2m，﹣ 2n）． 故答案為（﹣ 2m，﹣ 2n）． 【點評】 本題考查作圖﹣位似變換、作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握作旋轉(zhuǎn)變換圖形，作位似變換的圖形，屬于中考?？碱}型． 21．小明、小林是三河中學九年級的同班同學，在四月份舉行的自主招生考試中，他倆都被同一所高中提前錄取，并將被編入 A、 B、 C 三個班，他倆希望能再次成為同班同學． （ 1）請你用畫樹狀圖法或列舉法，列出所有可能的結(jié)果； （ 2）求兩人再次成為同班同學的概率． 【考點】 列表法與樹狀圖法． 【分析】 （ 1）畫樹狀圖法或列舉法，即可得到所有可能的結(jié)果； （ 2）由（ 1）可知兩人再次成為同班同學的概率． 【解答】 解： （ 1）畫樹狀圖如下： 由樹形圖可知所以可能的結(jié)果為 AA， AB， AC， BA， BB， BC， CA， CB， CC； （ 2）由（ 1）可知兩人再次成為同班同學的概率 = = ． 【點評】 本題涉及列表法和樹狀圖法以及相關(guān)概率知識，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 22．若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為 “同簇二次函數(shù) ”． （ 1）請寫出兩個為 “同簇二次函數(shù) ”的函數(shù)； （ 2）已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y1=2x2﹣ 4mx+2m2+1，和 y2=x2+bx+c，其中 y1 的圖象經(jīng)過點 A（ 1， 1），若 y1+y2 為 y1 為 “同簇二次函數(shù) ”，求函數(shù) y2 的表達式，并求當 0≤ x≤ 3 時， y2 的取值范圍． 【考點】 二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為 “同簇二次函數(shù) ”的函數(shù)表達式即可． （ 2）由 y1 的圖象經(jīng)過點 A（ 1， 1）可以求出 m 的值，然后根據(jù) y1+y2 與 y1 為 “同簇二次函數(shù) ”就可以求出函數(shù) y2的表達式，然后將函數(shù) y2的表達式轉(zhuǎn)化為頂點式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題． 【解答】 解：（ 1）設(shè)頂點為（ h， k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=a（ x﹣ h） 2+k， 當 a=2， h=3， k=4 時， 二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=2（ x﹣ 3） 2+4． ∵ 2＞ 0， ∴ 該二次函數(shù)圖象的開口向上． 當 a=3， h=3， k=4 時， 二次函數(shù)的關(guān)系式為 y=3（ x﹣ 3） 2+4． ∵ 3＞ 0， ∴ 該二次函數(shù)圖象的開口向上． ∵ 兩個函數(shù) y=2（ x﹣ 3） 2+4 與 y=3（ x﹣ 3） 2+4 頂點相同，開口都向上， ∴ 兩個函數(shù) y=2（ x﹣ 3） 2+4 與 y=3（ x﹣ 3） 2+4 是 “同簇二次函數(shù) ”． ∴ 符合要求的兩個 “同簇二次函數(shù) ”可以為： y=2（ x﹣ 3） 2+4 與 y=3（ x﹣ 3） 2+4． （ 2） ∵ y1 的圖象經(jīng)過點 A（ 1， 1）， ∴ 2 12﹣ 4 m 1+2m2+1=1． 整理得： m2﹣ 2m+1=0． 解得： m1=m2=1． ∴ y1=2x2﹣ 4x+3=2（ x﹣ 1） 2+1， ∴ y1+y2=2x2﹣ 4x+3+x2+bx+c=3x2+（ b﹣ 4） x+（ c+3）， ∵ y1+y2 與 y1 為 “同簇二次函數(shù) ”， ∴ y1+y2=3（ x﹣ 1） 2+1=3x2﹣ 6x+4， ∴ 函數(shù) y2 的表達式為： y2=x2﹣ 2x+1． ∴ y2=x2﹣ 2x+1=（ x﹣ 1） 2， ∴ 函數(shù) y2 的圖象的對稱軸為 x=1． ∵ 1＞ 0， ∴ 函數(shù) y2 的圖象開口向上． 當 0≤ x≤ 3 時， ∵ 函數(shù) y2 的圖象開口向上， ∴ y2 的取值范圍為 0≤ y2≤ 4． 【點評】 本題考查了求二次函數(shù)表達式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉(zhuǎn)化，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)（開口方向、增減性），考查了閱讀理解能力．而對新定義的正確理解是解決第二小題的關(guān)鍵． 23．如圖， AB 為 ⊙ O 的直徑， F 為弦 AC 的中點，連接 OF 并延長交 于點 D，過點 D 作 ⊙ O 的切線，交 BA 的延長線于點 E． （ 1）求證： AC∥ DE； （ 2）連接 CD，若 OA=AE=a，寫出求四邊形 ACDE 面積的思路． 【考點】 切線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）欲證明 AC∥ DE，只要證明 AC⊥ OD， ED⊥ OD 即可． （ 2）作 DM⊥ OA 于 M，連接 CD， CO， AD，首先證明四邊形 ACDE 是平行四邊形，根據(jù) S 平行四邊形 ACDE=AE?DM，只要求出 DM 即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ ED 與 ⊙ O 相切于 D， ∴ OD⊥ DE， ∵ F 為弦 AC 中點， ∴ OD⊥ AC， ∴ AC∥ DE． （ 2）解：作 DM⊥ OA 于 M，連接 CD， CO， AD． 首先證明四邊形 ACDE 是平行四邊形，根據(jù) S 平行四邊形 ACDE=AE?DM，只要求出 DM即可．（方法二：證明 △ ADE 的面積等于四邊形 ACDE 的面積） ∵ AC∥ DE， AE=AO， ∴ OF=DF， ∵ AF⊥ DO， ∴ AD=AO， ∴ AD=AO=OD， ∴△ ADO 是等邊三角形，同理 △ CDO 也是等邊三角形， ∴∠ CDO=∠ DOA=60176。， AE=CD=AD=AO=DD=a， ∴ AO∥ CD，又 AE=CD， ∴ 四邊形 ACDE 是平行四邊形，易知 DM= a， ∴ 平行四邊形 ACDE 面積 = a2． 【點評】 本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，利用特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型． 24．（ 10 分）（ 2022?泰安）如圖，一次函數(shù) y=k1x+b 的圖象經(jīng)過 A（ 0，﹣ 2），B（ 1， 0）兩點，與反比例函數(shù) 的圖象在第一象限內(nèi)的交點為 M，若 △ OBM的面積為 2． （ 1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式； （ 2）在 x 軸上是否存在點 P，使 AM⊥ MP？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由． 【考點】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】 （ 1）根據(jù)一次函數(shù) y=k1x+b 的圖象經(jīng)過 A（ 0，﹣ 2）， B（ 1， 0）可得到關(guān)于 b、 k1 的方程組，進而可得到一次函數(shù)的解析式，設(shè) M（ m， n）作 MD⊥x 軸于點 D，由 △ OBM 的面積為 2 可求出 n 的值，將 M（ m， 4）代入 y=2x﹣ 2求出 m 的值，由 M（ 3， 4）在雙曲線 上即可求出 k2 的值，進而求出其反比例函數(shù)的解析式； （ 2）過點 M（ 3， 4）作 MP⊥ AM 交 x 軸于點 P，由 MD⊥ BP 可求出 ∠ PMD=∠MBD=∠ ABO，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出 OP 的值，進而可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 直線 y=k1x+b 過 A（ 0，﹣ 2）， B（ 1， 0）兩點 ∴ ， ∴ ∴ 一次函數(shù)的表達式為 y=2x﹣ 2． ∴ 設(shè) M（ m， n），作 MD⊥ x 軸于點 D ∵ S△ OBM=2， ∴ ， ∴ ∴ n=4（ 5 分） ∴ 將 M（ m， 4）代入 y=2x﹣ 2 得 4=2m﹣ 2， ∴ m=3 ∵ M（ 3， 4）在雙曲線 上， ∴ ， ∴ k2=12 ∴ 反比例函數(shù)的表達式為 （ 2）過點 M（ 3， 4）作 MP⊥ AM 交 x 軸于點 P， ∵ MD⊥ BP， ∴∠ PMD=∠ MBD=∠ ABO ∴ tan∠ PMD=tan∠ MBD=tan∠ ABO= =2（ 8 分） ∴ 在 Rt△ PDM 中， ， ∴ PD=2MD=8， ∴ OP=OD+PD=11 ∴ 在 x 軸上存在點 P，使 PM⊥ AM，此時點 P 的坐標為（ 11， 0）（ 10 分） 【點評】 本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及到的知識點為用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵． 25．（ 10 分）（ 2022 秋 ?南通期末）圖 1 和圖 2，半圓 O 的直徑 AB=2，點 P（不與點 A， B 重合）為半圓上一點，將圖形延 BP 折疊，分別得到點 A， O 的對稱點A′， O′，設(shè) ∠ ABP=α． （ 1）當 α=15176。時，過點 A′作 A′C∥ AB，如圖 1，判斷 A′C 與半圓 O 的位置關(guān)系，并說明理由． （ 2）如圖 2，當 α= 45176。 時， BA′與半圓 O 相切．當 α= 30176。 時，點 O′落在上． 【考點】 切線的判定；平行線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）過 O