【文章內容簡介】 體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解 k的幾何意義． 12．如圖，正 △ ABC的邊長為 4，點 P為 BC邊上的任意一點（不與點 B、 C重合），且 ∠ APD=60176。 ，PD交 AB 于點 D．設 BP=x， BD=y，則 y關于 x的函數圖象大致是（ ） A． B． C． D． 【考點】動點問題的函數圖象． 【分析】由 △ ABC是正三角形， ∠ APD=60176。 ，可證得 △ BPD∽△ CAP，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案． 【解答】解： ∵△ ABC 是正三角形， ∴∠ B=∠ C=60176。 ， ∵∠ BPD+∠ APD=∠ C+∠ CAP， ∠ APD=60176。 ， ∴∠ BPD=∠ CAP， ∴△ BPD∽△ CAP， 第 24 頁（共 92 頁） ∴ BP： AC=BD： PC， ∵ 正 △ ABC的邊長為 4， BP=x， BD=y， ∴ x： 4=y：（ 4﹣ x）， ∴ y=﹣ x2+x． 故選 C． 【點評】此題考查了動點問題、二次函數的圖象以及相似三角形的判定與性質．注意證得 △BPD∽△ CAP是關鍵． 二．填空題 13．如圖，半徑為 2的 ⊙ O在第一象限與直線 y=x交于點 A，反比例函數 y= （ k＞ 0）的圖象過點 A，則 k= 2 ． 【考點】反比例函數與一次函數的交點問題． 【分析】先求出點 A的坐標，再代入反比例函數 y= （ k＞ 0），即可解答． 【解答】解： ∵ 半徑為 2的 ⊙ O在第一象限與直線 y=x交于點 A， ∴ OA=2， ∴ 點 A的坐標為（ ， ）， 把點 A代入反比例函數 y= （ k＞ 0）得： k= =2， 故答案為： 2． 【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點坐標，解決本題的關鍵是求出點 A的坐標． 14．如圖，在平面直角坐標系中，菱形 OABC的面積為 12，點 B在 y軸上，點 C在反比例函數 y= 的圖象上，則 k 的值為 ﹣ 6 ． 第 25 頁（共 92 頁） 【考點】反比例函數系數 k的幾何意義；菱形的性質． 【專題】計算題；反比例函數及其應用． 【分析】連接 AC，交 y 軸于點 D，由四邊形 ABCO 為菱形，得到對角線垂直且互相平分，得到三角形 CDO面積為菱形面積的四分之一，根據菱形面積求出三角形 CDO面積，利用反比例函數 k的幾何意義確定出 k的值即可． 【解答】解：連接 AC，交 y軸于點 D， ∵ 四邊形 ABCO為菱形， ∴ AC⊥ OB，且 CD=AD， BD=OD， ∵ 菱形 OABC的面積為 12， ∴△ CDO的面積為 3， ∴ |k|=6， ∵ 反比例函數圖象位于第二象限， ∴ k＜ 0， 則 k=﹣ 6． 故答案為：﹣ 6． 【點評】此題考查了反比例函數系數 k的幾何意義，以及菱形的性質，熟練掌握反比例函數k的幾何意義是解本題的關鍵． 15．如圖，點 A、 B、 C是圓 O上的三點，且四邊形 ABCO是平行四邊形， OF⊥ OC 交圓 O于點F，則 ∠ BAF= 15176。 ． 第 26 頁（共 92 頁） 【考點】圓周角定理；平行四邊形的性質；垂徑定理． 【分析】根據平行四邊形的性質和圓的半徑相等得到 △ AOB為等邊三角形，根據等腰三角形的三線合一得到 ∠ BOF=∠ AOF=30176。 ，根據圓周角定理計算即可． 【解答】解：連接 OB， ∵ 四邊形 ABCO是平行四邊形， ∴ OC=AB，又 OA=OB=OC， ∴ OA=OB=AB， ∴△ AOB為等邊三角形， ∵ OF⊥ OC， OC∥ AB， ∴ OF⊥ AB， ∴∠ BOF=∠ AOF=30176。 ， 由圓周角定理得 ∠ BAF= ∠ BOF=15176。 ， 故答案為： 15176。 ． 【點評】本題考查的是圓周角定理、平行四邊形的性質定理、等邊三角形的性質的綜合運用，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關鍵． 16．如圖， C為半圓內一點， O為圓心，直徑 AB 長為 2cm， ∠ BOC=60176。 ， ∠ BCO=90176。 ，將 △BOC繞圓心 O逆時針旋轉至 △ B′OC′ ，點 C′ 在 OA 上，則邊 BC掃過區(qū)域（圖中陰影部分）第 27 頁（共 92 頁） 的面積為 π cm2． 【考點】扇形面積的計算；旋轉的性質． 【分析】根據已知條件和旋轉的性質得出兩個扇形的圓心角的度數，再根據扇形的面積公式進行計算即可得出答案． 【解答】解： ∵∠ BOC=60176。 ， △ B′OC′ 是 △ BOC繞圓心 O逆時針旋轉得到的， ∴∠ B′OC′=60176。 ， △ BCO=△ B′C′O ， ∴∠ B′OC=60176。 ， ∠ C′B′O=30176。 ， ∴∠ B′OB=120176。 ， ∵ AB=2cm， ∴ OB=1cm， OC′= ， ∴ B′C′= ， ∴ S 扇形 B′OB = = π ， S 扇形 C′OC = = ， ∵ ∴ 陰影部分面積 =S 扇形 B′OB +S△ B′C′O ﹣ S△ BCO﹣ S 扇形 C′OC =S 扇形 B′OB ﹣ S 扇形 C′OC = π ﹣ = π ； 故答案為： π ． 【點評】此題考查了旋轉的性質和扇形的面積公式，掌握直角三角形的性質和扇形的面積公式是本題的關鍵． 17．如圖，輪船沿正南方向以 30 海里 /時的速度勻速航行，在 M 處觀測到燈塔 P 在西偏南68176。 方向上，航行 2 小時后到達 N 處，觀測燈塔 P 在西偏南 46176。 方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置，則此時輪船離燈塔的距離約為 （由科學計算器得到sin68176。= ， sin46176。= ， sin22176。= ， sin44176。= ） 第 28 頁（共 92 頁） 【考點】解直角三角形的應用 方向角問題． 【分析】由題意知 MN=2 30=60（海里）， ∠ PMN=90176。 ﹣ 68176。=22176。 ， ∠ PNA=90176。 ﹣ 46176。= 44176。 ，從而得出 ∠ MPN=∠ PMN=22176。 ，即 PN=MN=60，依據 PA=PNsin∠ PNA可得答案． 【解答】解：作 PA⊥ MN，交 MN的延長線與 A， 由題意知 MN=2 30=60（海里）， ∠ PMN=90176。 ﹣ 68176。=22176。 ， ∠ PNA=90176。 ﹣ 46176。=44176。 ， ∴∠ MPN=∠ PNA﹣ ∠ PMN=22176。 ， ∴∠ MPN=∠ PMN， ∴ PN=MN=60， 則 PA=PNsin∠ PNA≈ 60 =（海里）， 故答案為： ． 【點評】本題主要考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角． 18．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ A=30176。 ， BC=2 ，以直角邊 AC 為直徑作 ⊙ O交 AB 于點 D，則圖中陰影部分的面積是 ﹣ π ． 第 29 頁（共 92 頁） 【考點】扇形面積的計算． 【分析】連接連接 OD、 CD，根據 S 陰 =S△ ABC﹣ S△ ACD﹣（ S 扇形 OCD﹣ S△ OCD）計算即可解決問題． 【解答】解：如圖，連接 OD、 CD． ∵ AC是直徑， ∴∠ ADC=90176。 ， ∵∠ A=30176。 ， ∴∠ ACD=90176。 ﹣ ∠ A=60176。 ， ∵ OC=OD， ∴△ OCD是等邊三角形， ∵ BC是切線． ∴∠ ACB=90176。 ， ∵ BC=2 ， ∴ AB=4 ， AC=6， ∴ S 陰 =S△ ABC﹣ S△ ACD﹣（ S 扇形 OCD﹣ S△ OCD） = 6 2 ﹣ 3 3 ﹣（ ﹣ 32） = ﹣ π ． 故答案為： ﹣ π ． 【點評】本題考查扇形面積公式、直角三角形 30 度角性質、等邊三角形性質等知識，解題的關鍵是學會分割法求面積，屬于 中考?？碱}型． 第 30 頁（共 92 頁） 19．如圖，在半徑為 3 的 ⊙ O 中，直徑 AB 與弦 CD 相交于點 E，連接 AC， BD，若 AC=2，則tanD= 2 ． 【考點】銳角三角函數的定義． 【分析】連接 BC 可得 RT△ ACB，由勾股定理求得 BC的長，進而由 tanD=tanA= 可得答案． 【解答】解：如圖，連接 BC， ∵ AB是 ⊙ O的直徑， ∴∠ ACB=90176。 ， ∵ AB=6， AC=2， ∴ BC= = =4 ， 又 ∵∠ D=∠ A， ∴ tanD=tanA= = =2 ． 故答案為： 2 ． 【點評】本題考查了三角函數的定義、圓周角定理、解直角三角形，連接 BC 構造直角三角形是解題的關鍵． 20．如圖， O為坐標原點，四邊形 OACB是菱形， OB在 x軸的正半軸上， sin∠ AOB= ，反比例函數 y= 在第一象限內的圖象經過點 A，與 BC 交于點 F，則 △ AOF的面積等于 40 ． 第 31 頁（共 92 頁） 【考點】反比例函數系數 k的幾何意義；菱形的性質；解直角三角形． 【分析】過點 A作 AM⊥ x軸于點 M，設 OA=a，通過解直角三角形找出點 A的坐標，結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出 a的值，再根據四邊形 OACB是菱形、點 F在 邊 BC上，即可得出 S△ AOF= S 菱形 OBCA，結合菱形的面積公式即可得出結論． 【解答】解：過點 A作 AM⊥ x軸于點 M，如圖所示． 設 OA=a， 在 Rt△ OAM中， ∠ AMO=90176。 ， OA=a， sin∠ AOB= ， ∴ AM=OA?sin∠ AOB= a， OM= = a， ∴ 點 A的坐標為（ a， a）． ∵ 點 A在反比例函數 y= 的圖象上， ∴ a a= a2=48， 解得： a=10，或 a=﹣ 10（舍去）． ∴ AM=8， OM=6， OB=OA=10． ∵ 四邊形 OACB是菱形，點 F在邊 BC 上， ∴ S△ AOF= S 菱形 OBCA= OB?AM=40． 故答案是： 40． 【點評】本題考查了菱形的性質、解直角三角形以及反比例函數圖象上點的坐標特征，解題第 32 頁（共 92 頁） 的關鍵是找出 S△ AOF= S 菱形 OBCA． 三．解答題： 21．某地 2022年為做好 “ 精準扶貧 ” ，投入資金 1280萬元用于異地安置，并規(guī)劃投入資金逐年增加． 2022 年在 2022 年的基礎上增加投入資金 1600 萬元，從 2022 年到 2022 年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為多少？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設年平均增長率為 x，根據： 2022年投入資金給 （ 1+增長率） 2=2022年投入資金，列出方程組求解可得． 【解答】解：設該地投入異地安置資金的年平均增長率為 x，根據題意， 得： 1280（ 1+x） 2=1280+1600， 解得： x= x=﹣ （舍）， 答：從 2022年到 2022 年，該地投入異地安置資金的年平均增長率為 50%． 【點評】本題主要考查一元二次方程的應用，由題意準確抓住相等關系并據此列出方程是解題的關鍵． （ 2022?青島）某玩具廠生產一種玩具，本著控制固定成本，降價促銷的原則，使生產的玩具能夠全部售出．據市場調查，若按每個玩具 280元銷售時，每月可銷售 300 個．若銷售單價每降低 1元，每月可多售出 2個．據統(tǒng)計，每個玩具的固定成本 Q（元）與月產銷量 y（個）滿足如下關系： 月產銷量 y（個） … 160 200 240 300 … 每個玩具的固定成本 Q（元） … 60 48 40 32 … （ 1）寫出月產銷量 y（個）與銷售單價 x （元）之間的函數關系式； （ 2）求每個玩具的固定成本 Q（元）與月產銷量 y（個）之間的函數關系式； （ 3）若每個玩具的固定成本為 30 元，則它占銷售單價的幾分之幾？ （ 4）若該廠這種玩具的月產銷量不超過 400 個，則每個玩具的固定成本至少為多少元？銷售單價最低為多少元？ 【考點】由實際問題抽象出二元一次方程；反比例函數的應用． 【分析】（ 1）設 y=kx+b，把（ 280， 300），（ 279， 302）代入解方程組即可． （ 2）觀察函數表可知兩個變量的乘積為定值，所以固定成本 Q（元）與月產銷量 y（個）之第 33 頁（共 92 頁） 間存在反比例函數關系，不妨設 Q= ，由此即可解決問題． （ 3）求出銷售價即可解決問題． （ 4）根據條件分別列出不等式即可解決問題． 【解答】解；（ 1）由于銷售單價每降低