【文章內(nèi)容簡介】 =2EF， ∴ = ， ∴ EG=2AE=4EF， ∴ FG=EG﹣ EF=4EF﹣ EF=3EF． 第 19 頁（共 46 頁） 24．已知，如圖，直線 MN 交 ⊙ O 于 A， B 兩點(diǎn)， AC 是直徑， AD 平分 ∠ CAM 交⊙ O 于 D，過 D 作 DE⊥ MN 于 E． （ 1）求證： DE 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 DE=6cm， AE=3cm，求 ⊙ O 的半徑． 【考點(diǎn)】 切線的判定；平行線的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）連接 OD，根據(jù)平行線的判斷方法與性質(zhì)可得 ∠ ODE=∠ DEM=90176。，且 D 在 ⊙ O 上，故 DE 是 ⊙ O 的切線． （ 2）由直角三角形的特殊性質(zhì)，可得 AD 的長，又有 △ ACD∽△ ADE．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求得圓的半徑． 【解答】 （ 1）證明：連接 OD． ∵ OA=OD， ∴∠ OAD=∠ ODA． ∵∠ OAD=∠ DAE， ∴∠ ODA=∠ DAE． ∴ DO∥ MN． ∵ DE⊥ MN， ∴∠ ODE=∠ DEM=90176。． 即 OD⊥ DE． 第 20 頁（共 46 頁） ∵ D 在 ⊙ O 上， OD 為 ⊙ O 的半徑， ∴ DE 是 ⊙ O 的切線． （ 2）解： ∵∠ AED=90176。， DE=6， AE=3， ∴ ． 連接 CD． ∵ AC 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADC=∠ AED=90176。． ∵∠ CAD=∠ DAE， ∴△ ACD∽△ ADE． ∴ ． ∴ ． 則 AC=15（ cm）． ∴⊙ O 的半徑是 ． 25．如圖，拋物線 y=ax2+2x+c 經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 3）、 B（﹣ 1， 0），請(qǐng)解答下列問題： （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）拋物線的頂點(diǎn)為 D，與 x 軸的另一交點(diǎn)為 C，對(duì)稱軸交 x 軸于點(diǎn) E，連接 BD，求 cos∠ DBE； （ 3）在直線 BD 上是否存在點(diǎn) F，使由 B、 C、 F 三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與 △ BDE 相似？若存在，求出點(diǎn) F 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 第 21 頁（共 46 頁） 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）將 A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得解析式； （ 2）先求出 D 點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出 BE、 DE、 BD 長度， cos∠ DBE 則可直接算出； （ 3）由于 B 是公共點(diǎn)，不可能是直角頂點(diǎn)，所以就只剩下兩種情，即讓 C 和 F分別為直角頂點(diǎn)，根據(jù)相似性質(zhì)，列出比例等式計(jì)算即可． 【解答】 解：（ 1）將 A（ 0， 3）、 B（﹣ 1， 0）代入 y=ax2+2x+c 可得： c=3， a=﹣ 1， 拋物線的解析式為 y=﹣ x2+2x+3， （ 2） ∵ y=﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1） 2+4， ∴ D（ 1， 4）， ∴ BE=2， DE=4， ∴ BD= =2 ， ∴ cos∠ DBE= = ； （ 3） ∵ B（﹣ 1， 0）， D（ 1， 4）， ∴ 直線 BD 的解析式為 y=2x+2， ∵ y=﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 3）（ x+1）， ∴ C（ 3， 0）， ∴ BC=4， ① 若 △ BED∽△ BFC，如圖 1， 第 22 頁（共 46 頁） 則 ∠ BED=∠ BFC=90176。， 作 FG⊥ BC 于 G， ∵ cos∠ CBF= ， ∴ BF= ， ∴ BG= = ， ∴ OG= ， GF= ， ∴ F（﹣ ， ）； ② 若 △ BED∽△ BCF，如圖 2， 則 ∠ BCF=90176。， ∴ F 點(diǎn)橫坐標(biāo)為 3， 第 23 頁（共 46 頁） 將 3 代入 BD 解析式得： y=8， ∴ F（ 3， 8）； 綜上所述，滿足要求的 F 點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣ ， ）、（ 3， 8）． 九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑） 1．﹣ 2022 的相反數(shù)是（ ） A． 2022 B．﹣ 2022 C． D．﹣ 2．下面圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 3．小宇同學(xué)在 “百度 ”搜索引擎中輸入四市同城，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果的條數(shù)約為 830000，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） A． 83 104 B． 104 C． 105 D． 106 4．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． x﹣ 2=0 B． x2﹣ 4x﹣ 1=0 C． x3﹣ 2x﹣ 3=0 D． xy+1=0 5．如圖，紫金花圖案旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則旋轉(zhuǎn)的角度可能是（ ） A． 30176。 B． 60176。 C． 72176。 D． 90176。 6．二次函數(shù) y=（ x+2） 2﹣ 3 的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ） A．（ 2， 3） B．（﹣ 2， 3） C．（ 2，﹣ 3） D．（﹣ 2，﹣ 3） 7．如圖，四個(gè)邊長為 2 的小正方形拼成一個(gè)大正方形， A、 B、 O 是小正方形頂?shù)?24 頁（共 46 頁） 點(diǎn)， ⊙ O 的半徑為 2， P 是 ⊙ O 上的點(diǎn)，且位于 右上方的小正方形內(nèi)，則 ∠ APB等于（ ） A． 30176。 B． 45176。 C． 60176。 D． 90176。 8．在平面直角坐標(biāo)系中， ⊙ O 的半徑為 5，圓心在原點(diǎn) O，則 P（﹣ 3， 4）與 ⊙O 的位置關(guān)系是（ ） A．在 ⊙ O 上 B．在 ⊙ O 內(nèi) C．在 ⊙ O 外 D．不能確定 9．三角形的兩邊長分別為 3 和 6，第三邊的長是方程 x2﹣ 6x+8=0 的一個(gè)根，則這個(gè)三角形的周長是（ ） A． 11 或 13 B． 13 或 15 C． 11 D． 13 10．在摸球?qū)嶒?yàn)中，暗盒內(nèi)裝有 8 個(gè)白色乒乓球和若干個(gè)黃色乒乓球，某同學(xué)進(jìn)行如下試驗(yàn)：每次任意摸出 1 個(gè)球，記下顏色后放回并攪勻，再任意摸出 1 個(gè)球，如此重復(fù)多次試驗(yàn)后，得到摸出白球的頻率是 ，根據(jù)上述數(shù)據(jù)可估計(jì)盒子中黃球的個(gè)數(shù)為（ ） A． 16 個(gè) B． 24 個(gè) C． 32 個(gè) D． 40 個(gè) 11．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線 y=x2+2x+3 繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180176。，所得拋物線的解析式是（ ） A． y=（ x+1） 2﹣ 2 B． y=﹣（ x﹣ 1） 2﹣ 2 C． y=﹣（ x﹣ 1） 2+2 D． y=（ x﹣1） 2﹣ 2 12．如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2， O 是邊 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，以 O 為圓心， 2 為半徑作圓，分別與 AD、 BC 相交于 M、 N，則扇形 OMN 的面積 S 的范圍是（ ） A． π≤ s≤ π B． π≤ s≤ π C． π≤ s≤ π D． 0≤ s≤ π 第 25 頁（共 46 頁） 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 13． “明天的太陽從西方升起 ”這個(gè)事件屬于 事件（用 “必然 ”、 “不可能 ”、 “不確定 ”填空）． 14．函數(shù) y=x2+3x+5 與 y 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ． 15．半徑為 2 的圓內(nèi)接正六邊形的邊心距是 ． 16．如圖，在寬為 20m，長為 30m 的矩形地面上修建兩條同樣寬的道路，余下部分作為耕地．根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算耕地的面積為 m2． 17．已知二次函數(shù) y1=ax2+bx+c（ a≠ 0）與一次函數(shù) y2=kx+m（ k≠ 0）的圖象交于點(diǎn) A（﹣ 2， 4）， B（ 5， 1），如圖所示，則能使 y1＞ y2 成立的 x 的取值范圍是 ． 18．一塊等邊三角形木板，邊長為 1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，如圖所示，若翻滾了 2022 次，則 B 點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長度為 ． 三、解答題（本大題共 8 小題，共 66 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 19．計(jì)算：﹣ 14﹣（ π﹣ 3） 0+|﹣ 2|+ ． 20．解方程： 2x（ x+4） =1（用公式法） 第 26 頁（共 46 頁） 21．已知：如圖，在 △ ABC 中， ∠ A=30176。， ∠ B=60176。． （ 1）作 ∠ B 的平分線 BD，交 AC 于點(diǎn) D；作 AB 的中點(diǎn) E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）； （ 2）連接 DE，求證： △ ADE≌△ BDE． 22．某校開展校園 “美德少年 ”評(píng)選活動(dòng)，共有 “助人為樂 ”， “自強(qiáng)自立 ”、 “孝老愛親 ”， “誠實(shí)守信 ”四種類別，每位同學(xué)只能參評(píng)其中一類，評(píng)選后，把最終入選的 20 位校園 “美德少年 ”分類統(tǒng)計(jì)，制作了如下統(tǒng)計(jì)表． 類別 頻數(shù) 頻率 助人為樂美德少年 a 自強(qiáng)自立美德少年 3 b 孝老愛親美德少年 7 誠實(shí)守信美德少年 6 c 根據(jù)以上信息，解答下列問題： （ 1）統(tǒng)計(jì)表中的 a= ， b ， c= ； （ 2）校園小記者決定從 A、 B、 C 三位 “自強(qiáng)自立美德少年 ”中，隨機(jī)采訪兩位，用畫樹狀圖或列表的方法，求 A， B 都被采訪到的概率． 23．如圖，在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。， OA=AB=6，將 △ OAB 繞點(diǎn) O 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ OA1B1． （ 1）線段 OA1 的長是 ， ∠ AOB1 的度數(shù)是 ； （ 2）連接 AA1，求證：四邊形 OAA1B1 是平行四邊形； （ 3）求四邊形 OAA1B1 的面積． 第 27 頁（共 46 頁） 24．在 “感恩節(jié) ”前夕，我市某學(xué)生積極參與 “關(guān)愛孤寡老人 ”的活動(dòng)，他們購進(jìn)一批單價(jià)為 6 元一雙的 “孝心襪 ”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣，并將所得利潤全部捐給鄉(xiāng)村孤寡老人，在試賣階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是每雙 10 元時(shí)，每天的銷售量為 200雙，銷售單價(jià)每上漲 1 元，每天的銷售量就減少 20 雙． （ 1）求銷售單價(jià)為多少元時(shí)， “孝心襪 ”每天的銷售利潤最大； （ 2）結(jié)合上述情況，學(xué)生會(huì)干部提出了 A、 B 兩種營銷方案． 方案 A： “孝心襪 ”的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過 11 元； 方案 B：每天銷售量不少于 20 雙，且每雙 “孝心襪 ”的利潤至少為 10 元． 請(qǐng) 比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由． 25．如圖，已知 △ ABC 是 ⊙ O 內(nèi)接三角形，過點(diǎn) B 作 BD⊥ AC 于點(diǎn) D，連接 AO并延長交 ⊙ O 于點(diǎn) F，交 DB 的延長線于點(diǎn) E，且點(diǎn) B 是 的中點(diǎn)． （ 1）求證： DE 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 ⊙ O 的半徑為 8，點(diǎn) O、 F 為線段 AE 的三等分點(diǎn)，求線段 BD 的長度； （ 3）判斷線段 AD、 CD、 AF 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 26．如圖，二次函數(shù) y=﹣ x2+bx+c 的圖象與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C， OB=1， OC=3． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）如圖，點(diǎn) P 為拋物線上的一點(diǎn)，且在直線 AC 上方，當(dāng) △ ACP 的面積是 時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 3）是否存在拋物線上的點(diǎn) P，使得 △ ACP 是以 AC 為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 第 28 頁（共 46 頁） 第 29 頁（共 46 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用 2B 鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑） 1．﹣ 2022 的相反數(shù)是（ ） A． 2022 B．﹣ 2022 C． D．﹣ 【考點(diǎn)】 相反數(shù)． 【分析】 根據(jù)一 個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上 “﹣ ”號(hào)，求解即可． 【解答】 解：﹣ 2022 的相反數(shù)是 2022， 故選： A． 2．下面圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A． B．