【文章內(nèi)容簡介】 【點評】 此題考查了學生對中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的掌握情 況．它們都是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的指標． 21．某種電子產(chǎn)品共 4 件，其中有正品和次品．已知從中任意取出一件，取得的產(chǎn)品為次品的概率為 ． （ 1）該批產(chǎn)品有正品 3 件； （ 2）如果從中任意取出 2 件，求取出 2 件都是正品的概率． 【考點】 列表法與樹狀圖法；概率公式． 【分析】 （ 1）由某種電子產(chǎn)品共 4 件，其中有正品和次品．已知從中任意取出一件，取得的產(chǎn)品為次品的概率為 ，直接利用概率公式求解即可求得答案； （ 2）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與取出 2件都是正品的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】 解：（ 1） ∵ 某種電子產(chǎn)品共 4 件，從中任意取出一件，取得的產(chǎn)品為次品的概率為 ； ∴ 批產(chǎn)品有正品為： 4﹣ 4 =3． 故答案為： 3； 第 21 頁（共 53 頁） （ 2）畫樹狀圖得： ∵ 結果共有 12 種情況，且各種情況都是等可能的，其中兩次取出的都是正品共6 種， ∴ P（兩次取出的都是正品） = = ． 【點評】 此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率 =所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 22．把一個足球垂直水平地面向上踢，時間為 t（秒）時該足球距離地面的高度h（米）適用公式 h=20t﹣ 5t2（ 0≤ t≤ 4）． （ 1）當 t=3 時，求足球距離地面的高度； （ 2）當足球距離地面的高度為 10 米時，求 t； （ 3）若存在實數(shù) t1， t2（ t1≠ t2）當 t=t1或 t2時，足球距離地面的高度都為 m（米），求 m 的取值范圍． 【考點】 一元二次方程的應用；二次函數(shù)的應用． 【分析】 （ 1）將 t=3 代入解析式可得； （ 2）根據(jù) h=10 可得關于 t 的一元二次方程，解方程即可； （ 3）由題意可得方程 20t﹣ t2=m 的兩個不相等的實數(shù)根，由根的判別式即可得m 的范圍． 【解答】 解：（ 1）當 t=3 時， h=20t﹣ 5t2=20 3﹣ 5 9=15（米）， ∴ 當 t=3 時，足球距離地面的高度為 15 米； （ 2） ∵ h=10， ∴ 20t﹣ 5t2=10，即 t2﹣ 4t+2=0， 解得： t=2+ 或 t=2﹣ ， 第 22 頁（共 53 頁） 故經(jīng)過 2+ 或 2﹣ 時，足球距離地面的高度為 10 米； （ 3） ∵ m≥ 0，由題意得 t1， t2是方程 20t﹣ 5t2=m 的兩個不相等的實數(shù)根， ∴ b2﹣ 4ac=202﹣ 20m＞ 0， ∴ m＜ 20， 故 m 的取值范圍是 0≤ m＜ 20． 【點評】 本題主要考查二次函數(shù)背景下的求值及一元二次方程的應用、根的判別式，根據(jù)題意得到相應的方程及將實際問題轉化為方程問題是解題的關鍵． 23．有一位滑翔傘愛好者，正在空中勻速向下滑翔，已知水平方向上的風速為，如圖，在 A 點他觀察到 C 處塔尖的俯角為 30176。， 5s 后在 B 點的他觀察到C 處塔尖的俯角為 45176。，此時，塔尖與他本人的距離 BC 是 AC 的 ，求此人垂直下滑的距離．（參考數(shù)據(jù)， 結果精確到 ） 【考點】 解直角三角形的應用 仰角俯角問題． 【分析】 過點 C 作點 A 所在水平線的垂線，垂足為 D，交點 B 所在 水平線于點 E，則 CE⊥ BE，設 BC=x，則 AC=4x，建立關于 x 的方程，求出 x 的值，進而可求出DE=CD﹣ CE=2x﹣ x≈ ，即此人垂直下滑的距離． 【解答】 解：過點 C 作點 A 所在水平線的垂線，垂足為 D，交點 B 所在水平線于點 E，則 CE⊥ BE 設 BC=x，則 AC=4x， 在 Rt△ BCE 中， ∠ B=45176。， ∴ BE=CE= ， 在 Rt△ ACD 中， ∵∠ A=30176。， 第 23 頁（共 53 頁） ∴ CD=AC?sin30176。=2x， AD=AC?cos30176。= ?4x=2 x， 由題意可知 ， 解得 x≈ ， ∴ DE=CD﹣ CE=2x﹣ x≈ ， 答：此人垂直下滑的距離是 米． 【點評】 本題考查俯角的定義，要求學生能借助俯角構造直角三角形并解直角三角形．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用． 24．（ 10 分）（ 2022?聊城模擬）已知：如圖，在 △ ABC 中， ∠ A=45176。，以 AB 為直徑的 ⊙ O 交 AC 于點 D，且 AD=DC， CO 的延長線交 ⊙ O 于點 E，過點 E 作弦 EF⊥ AB，垂足為點 G． （ 1）求證： BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 AB=2，求 EF 的長． 【考點】 切線的判定；勾股定理；垂徑定理 ；相似三角形的判定與性質． 【分析】 （ 1）連接 BD，有圓周角性質定理和等腰三角形的性質以及已知條件證明 ∠ ABC=90176。即可； （ 2） AB=2，則圓的直徑為 2，所以半徑為 1，即 OB=OE=1，利用勾股定理求出CO 的長，再通過證明 △ EGO∽△ CBO 得到關于 EG 的比例式可求出 EG 的長，進而求出 EF 的長． 第 24 頁（共 53 頁） 【解答】 （ 1）證明：連接 BD， ∵ AB 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB=90176。， ∴ BD⊥ AC， ∵ AD=CD， ∴ AB=BC， ∴∠ A=∠ ACB=45176。， ∴∠ ABC=90176。， ∴ BC 是 ⊙ O 的切線； （ 2）解： ∵ AB=2， ∴ BO=1， ∵ AB=BC=2， ∴ CO= = ， ∵ EF⊥ AB， BC⊥ AB， ∴ EF∥ BC， ∴△ EGO∽△ CBO， ∴ ， ∴ ， ∴ EG= ， ∴ EF=2EG= ． 【點評】 本題考查了切線的判定與性質、相似三角形的判定于性質以及勾股定理的運用；證明某一線段是圓的切線時，一般情況下是連接切點與圓心，通過證明第 25 頁（共 53 頁） 該半徑垂直于這一線段來判定切線． 25．（ 10 分）（ 2022 秋 ?安平縣期末）如圖，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位 AB 時，寬 20m，水位上升 3m 就達到警戒線 CD，這時水面寬度為 10m． （ 1）建立如圖所示的坐標系，求拋物線的解析式； （ 2）一艘裝滿物資的小船，露出水面部分的高為 、寬為 4m（橫斷面如圖所示）．若暴雨后，水位達到警戒線 CD，此時這艘船能從這座拱橋下通過嗎？請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)的應用． 【分析】 （ 1）先設拋物線的解析式 y=ax2，再找出幾個點的坐標，代入解析式后可求解． （ 2）求出拱橋頂 O 到 CD 的距離為 1m， x=2 時， y=﹣ ，由此即可判定． 【解答】 解：（ 1）設所求拋物線的解析式為： y=ax2（ a≠ 0）， 由 CD=10m，可設 D（ 5， b）， 由 AB=20m，水位上升 3m 就達到警戒線 CD， 則 B（ 10， b﹣ 3）， 把 D、 B 的坐標分別代入 y=ax2得： ， 解得 ． ∴ y=﹣ x2； （ 2）） ∵ b=﹣ 1， ∴ 拱橋頂 O 到 CD 的距離為 1m， 第 26 頁（共 53 頁） ∵ x=2 時， y=﹣ =﹣ ， 1﹣ =＞ ， ∴ 水位達到警戒線 CD，此時這艘船能從這座拱橋下通過． 【點評】 本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是把一個實際問題通過數(shù)學建模，轉化為二次函數(shù)問題，用二次函數(shù)的性質加以解決． 26．（ 12 分）（ 2022?濰坊模擬）如圖， Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。， AC=6cm， BC=8cm，動點 P 從點 B 出發(fā)，在 BA 邊上以每秒 5cm 的速度向點 A 勻速運動，同時動點 Q從點 C 出發(fā)，在 CB 邊上以每秒 4cm 的速度向點 B 勻速運動，運動時間為 t 秒（ 0＜ t＜ 2），連接 PQ． （ 1）若 △ BPQ 與 △ ABC 相似，求 t 的值； （ 2）連接 AQ、 CP，若 AQ⊥ CP，求 t 的值． 【考點】 相似三角形的判定與性質． 【分析】 （ 1）分兩種情況： ① 當 △ BPQ∽△ BAC 時， BP： BA=BQ： BC；當 △ BPQ∽△ BCA 時， BP： BC=BQ： BA，再根據(jù) BP=5t， QC=4t， AB=10cm， BC=8cm，代入計算即可； （ 2）過 P 作 PM⊥ BC 于點 M， AQ， CP 交于點 N，則有 PB=5t， PM=3t， MC=8﹣4t，根據(jù) △ ACQ∽△ CMP，得出 AC： CM=CQ： MP，代入計算即可． 【解答】 解：根據(jù)勾股定理得： BA= ； （ 1）分兩種情況討論： ① 當 △ BPQ∽△ BAC 時， ， ∵ BP=5t， QC=4t， AB=10， BC=8， ∴ ，解得， t=1， 第 27 頁（共 53 頁） ② 當 △ BPQ∽△ BCA 時， ， ∴ ，解得， t= ； ∴ t=1 或 時， △ BPQ∽△ BCA； （ 2）過 P 作 PM⊥ BC 于點 M， AQ， CP 交于點 N，如圖所示： 則 PB=5t， PM=3t， MC=8﹣ 4t， ∵∠ NAC+∠ NCA=90176。， ∠ PCM+∠ NCA=90176。， ∴∠ NAC=∠ PCM， ∵∠ ACQ=∠ PMC， ∴△ ACQ∽△ CMP， ∴ ， ∴ ，解得 t= ． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定與性質；由三角形相似得出對應邊成比例是解題的關鍵． 九年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分） 1．點 M（ 1，﹣ 2）關于原點對稱的點的坐標是（ ） A．（﹣ 1， 2） B．（ 1， 2） C．（﹣ 1，﹣ 2） D．（﹣ 2， 1） 2．若反比例函數(shù) y= （ k≠ 0）的圖象經(jīng)過點 P（﹣ 2， 3），則該函數(shù)的圖象第 28 頁（共 53 頁） 的點是（ ） A．（ 3，﹣ 2） B．（ 1，﹣ 6） C．（﹣ 1， 6） D．（﹣ 1，﹣ 6） 3．如圖的兩個四邊形相似，則 ∠ α 的度數(shù)是（ ） A． 87176。 B． 60176。 C． 75176。 D． 120176。 4．已知關于 x的一元二次方程 x2+ax+b=0有一個非零根﹣ b，則 a﹣ b的值為（ ） A．﹣ 1 B． 0 C． 1 D．﹣ 2 5．如果一個扇形的半徑是 1，弧長是 ，那么此扇形的圓心角的大小為（ ） A． 30176。 B． 45176。 C． 60176。 D． 90176。 6．在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， ∠ B=35176。， AB=7，則 BC 的長為（ ） A． 7sin35176。 B． 7cos35176。 C． 7tan35176。 D． 7．對于反比例函數(shù) y= ，當 x≤ ﹣ 6 時， y 的取值范圍是（ ） A． y≥ ﹣ 1 B． y≤ ﹣ 1 C．﹣ 1≤ y＜ 0 D． y≥ 1 8．如圖是以 △ ABC 的邊 AB 為直徑的半圓 O，點 C 恰好在半圓上，過 C 作 CD⊥AB 交 AB 于 D．已知 cos∠ ACD= ， BC=4，則 AC 的長為（ ） A． 1 B． C． 3 D． 9．在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下： 甲：將邊長為 5 的三角形按圖 1 的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為 1，則新三角形與原三角形相似． 乙：將鄰邊為 3 和 5 的矩形按圖 2 的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為 1，則新矩形與原矩形相似． 對于兩人的觀點，下列說法正確的是（ ） 第 29 頁（共 53 頁） A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對 C．兩人都對 D．兩人都不對 10．二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a， b， c 為常數(shù)，且 a≠ 0）中的 x 與 y 的部分對應值如下表： x … ﹣ 3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣ 6 0 4 6 6 … 給出下列說法： ① 拋物線與 y 軸的交點為（ 0， 6）； ② 拋物線的對稱軸在 y 軸的左側； ③ 拋物線一定經(jīng)過（ 3， 0）點； ④ 在對稱軸左側 y 隨 x 的增大而減增大． 從表中可知，其中正確的個數(shù)為（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 二、填空題（共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 11．已知四條線段滿足 a= ，將它改寫成為比例式為 （寫出你認為正確的一個）． 12．若點 P（ 2， 6）、點 Q（﹣ 3， b）都是反比例函數(shù) y= （ k≠ 0）圖象上的點，則 b= ． 13．如圖，在 ⊙ O 中，已知半徑為 5，弦 AB 的長為 8，那么圓心 O 到 AB 的