【文章內容簡介】 根據正切的值即可 第 23 頁（共 64 頁） 得出 ∠ DCO=45176。，再結合做的兩個垂直，可得出 △ OEC 與 △ BFC 都是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質結合面積公式即可得出線段 BC 的長，從而可得出 BF、 CF 的長，根據線段間的關系可得出點 B 的坐標，根據反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出反比例函數(shù)系數(shù) k 的值，根據平移的性質找出平移后的直線的解析式將其代入反比例函數(shù)解析式中，整理后根據根的判別式的正負即可得出結論． 【解答】解：令直線 y=﹣ x+5 與 y 軸的交點為點 D，過點 O 作 OE⊥ 直線 AC 于點 E，過點 B 作 BF⊥ x軸于點 F， 如圖所示． 令直線 y=﹣ x+5 中 x=0，則 y=5， 即 OD=5； 令直線 y=﹣ x+5 中 y=0，則 0=﹣ x+5，解得： x=5， 即 OC=5． 在 Rt△ COD 中， ∠ COD=90176。， OD=OC=5， ∴ tan∠ DCO= =1， ∠ DCO=45176。． ∵ OE⊥ AC， BF⊥ x 軸， ∠ DCO=45176。， ∴△ OEC 與 △ BFC 都是等腰直角三角形， 又 ∵ OC=5， ∴ OE= ． ∵ S△ BOC= BC?OE= BC= ， ∴ BC= ， ∴ BF=FC= BC=1， ∵ OF=OC﹣ FC=5﹣ 1=4， BF=1， ∴ 點 B 的坐標為（ 4， 1）， 第 24 頁（共 64 頁） ∴ k=41=4， 即雙曲線解析式為 y= ． 將直線 y=﹣ x+5 向下平移 1 個單位得到的直線的解析式為 y=﹣ x+5﹣ 1=﹣ x+4， 將 y=﹣ x+4 代入到 y= 中，得：﹣ x+4= ， 整理得： x2﹣ 4x+4=0， ∵△ =（﹣ 4） 2﹣ 44=0， ∴ 平移后的直線與雙曲線 y= 只有一個交點． 故選 B． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、特殊角的正切值、三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是求出點 B 的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解 決該題型題目時，根據特殊角找出等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出點的坐標是關鍵． 二、填空題（共 5小題，每小題 3分，滿分 15分） 15．分解因式： x3﹣ 2x2+x= x（ x﹣ 1） 2 ． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】首先提取公因式 x，進而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解： x3﹣ 2x2+x=x（ x2﹣ 2x+1） =x（ x﹣ 1） 2． 故答案為： x（ x﹣ 1） 2． 【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應用完全平方公式是解題關鍵． 16．化簡 = 1 ． 【考點】分式的加減法． 【專題】計算題． 【分析】首先把兩個分式的分母變?yōu)橄嗤儆嬎悖? 【解答】解：原式 = ﹣ = =1． 故答案為： 1． 【點評】此題考查的知識點是分式的加減法，關鍵是先把兩個分式的分母化為相同再計算． 第 25 頁（共 64 頁） 17．如圖，在 △ ABC 中，點 D， E， F 分別在 AB， AC， BC 上， DE∥ BC， EF∥ AB．若 AB=8， BD=3，BF=4，則 FC 的長為 ． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】直接利用平行線分線段成比例定理得出 = = ，進而求出答案． 【解答】解： ∵ DE∥ BC， EF∥ AB， ∴ = = ， ∵ AB=8， BD=3， BF=4， ∴ = ， 解得： FC= ． 故答案為： ． 【點評】此題主要考查了平行線分線段成比例定理，正確得出比例式是解題關鍵． 18．如圖，將一矩形紙片 ABCD 折疊，使兩個頂點 A， C 重合，折痕為 FG．若 AB=4， BC=8，則△ ABF 的面積為 6 ． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據折疊的性質求出 AF=CF，根據勾股定理得出關于 CF 的方程，求出 CF，求出 BF，根據面積公式求出即可． 第 26 頁（共 64 頁） 【解答】解： ∵ 將一矩形紙片 ABCD 折疊，使兩個頂點 A， C 重合，折痕為 FG， ∴ FG 是 AC 的垂直平分線， ∴ AF=CF， 設 AF=FC=x， 在 Rt△ ABF 中，有勾股定理得： AB2+BF2=AF2， 42+（ 8﹣ x） 2=x2， 解得： x=5， 即 CF=5， BF=8﹣ 5=3， ∴△ ABF 的面積為 34=6， 故答案為： 6． 【點評】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理的應用，能得出關于 x 的方程是解此題的關鍵． 19．一般地，當 α、 β為任意角時， sin（ α+β）與 sin（ α﹣ β）的值可以用下面的公式求得： sin（ α+β）=sinα?cosβ+cosα?sinβ； sin（ α﹣ β） =sinα?cosβ﹣ cosα?sinβ．例如 sin90176。=sin（ 60176。+30176。）=sin60176。?cos30176。+cos60176。?sin30176。= + =1．類似地，可以求得 sin15176。的值是 ． 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【專題】新定義． 【分析】把 15176。化為 60176。﹣ 45176。，則可利用 sin（ α﹣ β） =sinα?cosβ﹣ cosα?sinβ和特殊角的三角函數(shù)值計算出 sin15176。的值． 【解答】解： sin15176。=sin（ 60176。﹣ 45176。） =sin60176。?cos45176。﹣ cos60176。?sin45176。= ? ﹣ ? = ． 故答案為 ． 【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：應用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．也考查了閱讀理解能力． 三、解答題（共 7小題，滿分 63分） 20．計算： |﹣ 3|+ tan30176。﹣ ﹣（ 2022﹣ π） 0． 第 27 頁（共 64 頁） 【考點】實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值． 【專題】計算題；實數(shù)． 【分析】原式利用絕對值的代數(shù)意義，特殊角的三角函數(shù)值，二次根式性質，以及零 指數(shù)冪法則計算即可得到結果． 【解答】解：原式 =3+ ﹣ 2 ﹣ 1 =2﹣ ． 【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 21．為了解某校九年級學生的身高情況，隨機抽取部分學生的身高進行調查，利用所得數(shù)據繪成如圖統(tǒng)計圖表： 頻數(shù)分布表 身高分組 頻數(shù) 百分比 x＜ 155 5 10% 155≤x＜ 160 a 20% 160≤x＜ 165 15 30% 165≤x＜ 170 14 b x≥170 6 12% 總計 100% （ 1）填空： a= 10 ， b= 28% ； （ 2）補全頻數(shù)分布直方圖； （ 3）該校九年級共有 600 名學生，估計身高不低于 165cm 的學生大約有多少人？ 【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表． 【專題】統(tǒng)計與概率． 第 28 頁（共 64 頁） 【分析】（ 1）根據表格中的數(shù)據可以求得調查的學生總數(shù)，從而可以求得 a 的值，進而求得 b 的值； （ 2）根據（ 1）中的 a 的值可以補全頻數(shù)分布直方圖； （ 3）根據表格中的數(shù)據可以估算出該校九年級身高不低于 165cm 的學生大約有多少人． 【解答】解：（ 1）由表格可得， 調查的總人數(shù)為： 5247。10%=50， ∴ a=5020%=10， b=14247。50100%=28%， 故答案為： 10， 28%； （ 2）補全的頻數(shù)分布直方圖如下圖所示， （ 3） 600（ 28%+12%） =60040%=240（人） 即該校九年級共有 600 名學生，身高不低于 165cm 的學生大約有 240 人． 【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、用樣本估計總體、頻數(shù)分布表，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件． 22．一艘輪船位于燈塔 P 南偏西 60176。方向，距離燈塔 20 海里的 A 處，它向東航行多少海里到達燈塔P 南偏西 45176。方向上的 B 處（參考數(shù)據： ≈，結 果精確到 ）？ 【考點】解直角三角形的應用 方向角問題． 【專題】計算題． 第 29 頁（共 64 頁） 【分析】利用題意得到 AC⊥ PC， ∠ APC=60176。， ∠ BPC=45176。， AP=20，如圖，在 Rt△ APC 中，利用余弦的定義計算出 PC=10，利用勾股定理計算出 AC=10 ，再判斷 △ PBC 為等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后計算 AC﹣ BC 即可． 【解答】解：如圖， AC⊥ PC， ∠ APC=60176。， ∠ BPC=45176。， AP=20， 在 Rt△ APC 中， ∵ cos∠ APC= ， ∴ PC=20?cos60176。=10， ∴ AC= =10 ， 在 △ PBC 中， ∵∠ BPC=45176。， ∴△ PBC 為等腰直角三角形， ∴ BC=PC=10， ∴ AB=AC﹣ BC=10 ﹣ 10≈（海里）． 答：它向東航行約 海里到達燈塔 P 南偏西 45176。方向上的 B 處． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角：在辨別方向角問題中：一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數(shù)．在解決有關方向角的問題中，一般要根據題意理清圖形中各角的關系，有時所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內錯角相等或一個角的余角等知識轉化為所需要的角． 23．如圖， A， P， B， C 是圓上的四個點， ∠ APC=∠ CPB=60176。， AP， CB 的延長線相交于點 D． （ 1）求證： △ ABC 是等邊三角形； （ 2）若 ∠ PAC=90176。， AB=2 ，求 PD 的長． 第 30 頁（共 64 頁） 【考點】四點共圓；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理． 【分析】（ 1）由圓周角定理可知 ∠ ABC=∠ BAC=60176。，從而可證得 △ ABC 是等邊三角形； （ 2）由 △ ABC 是等邊三角形可得出 “AC=BC=AB=2 ， ∠ ACB=60176。”，在直角三角形 PAC 和 DAC通過特殊角的正、余切值即可求出線段 AP、 AD 的長度，二者作差即可得出結論． 【解 答】（ 1）證明： ∵∠ ABC=∠ APC， ∠ BAC=∠ BPC， ∠ APC=∠ CPB=60176。， ∴∠ ABC=∠ BAC=60176。， ∴△ ABC 是等邊三角形． （ 2）解： ∵△ ABC 是等邊三角形， AB=2 ， ∴ AC=BC=AB=2 ， ∠ ACB=60176。． 在 Rt△ PAC 中， ∠ PAC=90176。， ∠ APC=60176。， AC=2 ， ∴ AP=AC?cot∠ APC=2． 在 Rt△ DAC 中， ∠ DAC=90176。， AC=2 ， ∠ ACD=60176。， ∴ AD=AC?tan∠ ACD=6． ∴ PD=AD﹣ AP=6﹣ 2=4． 【點評】本題考查了圓周角定理、 等邊三角形的判定及性質以及特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是：（ 1）找出三角形內兩角都為 60176。；（ 2）通過解直角三角形求出線段 AD 和 AP 得長度．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，通過解直角三角形找出各邊長度，再根據邊與邊之間的關系求出結論即可． 24．現(xiàn)代互聯(lián)網技術的廣泛應用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展．小明計劃給朋友快遞一部分物品，經了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適．甲公司表示：快遞物品不超過 1 千克的，按每千克 22 元收費；超過 1 千克，超過的部分按每千克 15 元收費．乙公司表示：按每千克 16 元收費， 另加包裝費3 元．設小明快遞物品 x 千克． （ 1）請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用 y（元）與 x（千克）之間的函數(shù)關系式； 第 31 頁（共 64 頁） （ 2）小明選擇哪家快遞公司更省錢？ 【考點】一次函數(shù)的應用． 【分析】（ 1）根據 “甲公司的費用 =起步價 +超出重量 續(xù)重單價 ”可得出 y 甲 關于 x 的函數(shù)關系式，根據 “乙公司的費用 =快件重量 單價 +包裝費用 ”即可得出 y 乙 關于 x 的函數(shù)關系式； （ 2）分 0＜ x≤1 和 x＞ 1 兩種情況討論，分別令 y 甲 ＜ y 乙 、 y 甲 =y 乙 和 y 甲 ＞ y 乙 ，解關于 x 的方程或不等式即可得出結論． 【解答】解：（ 1）由題意知： 當 0＜ x≤1 時， y 甲 =22x； 當 1＜ x 時， y 甲 =22+15（ x﹣ 1） =15x+7． y 乙 =16x+3． （ 2） ①當 0＜ x≤1 時， 令 y 甲 ＜ y 乙 ，即 22x＜ 16x+3， 解得： 0