【文章內容簡介】 化歸與轉化 、函數(shù)與方程 的數(shù)學思想方法，以及 推理論證能力和 運算求解能力 ） （ 1） 解： 設 ? ?,Px y ，則 ? ?,1Qx? ， ∵ Q P Q F FP FQ? ， ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 1 , 2 , 1 , 2y x x y x? ? ? ? ?． 即 ? ? ? ?22 1 2 1y x y? ? ? ?， 即 2 4xy? ， 所以 動點 P 的軌跡 C 的方程 2 4xy? ． （ 2） 解： 設圓 M 的圓心坐標為 ? ?,Mab ，則 2 4ab? ． ① 圓 M 的半徑為 ? ?22 2M D a b? ? ?． 圓 M 的方程為 ? ? ? ? ? ?2 2 22 2x a y b a b? ? ? ? ? ?． 令 0y? ，則 ? ? ? ?2222 2x a b a b? ? ? ? ?， 整理得， 2 2 4 4 0x ax b? ? ? ?． ② 由①、②解得， 2xa??． 不妨設 ? ?2,0Aa? ， ? ?2,0Ba? ， ∴ ? ?21 24la? ? ?， ? ?22 24la? ? ?． ∴ 22 21 2 1 242 1 1 22 1 664l l l l al l l l a? ?? ? ? ? ? ? 22 2448 162 2 164 64a aaa?? ? ???， ③ 當 0a? 時，由③得， 12221216 162 1 2 1 2 26428llll a a? ? ? ? ??? ≤． 當且僅當 22a?? 時，等號成立． 當 0a? 時，由③得， 12212llll??． 故當 22a?? 時， 1221llll? 的最大值為 22． 19. (2022廣州二模理數(shù) )已知拋物線 C : 2 2x py? ? ?0p? 的焦點為 F ,A 、 B 是拋物線 C 上異于坐標原點O 的 不同兩點，拋物線 C 在點 A 、 B 處的切線分別為 1l 、 2l ，且 12ll? ， 1l 與 2l 相交于點 D . (1) 求點 D 的縱坐標； (2) 證明： A 、 B 、 F 三點共線； (3) 假設點 D 的坐標為 3,12???????，問是否存在經過 A 、 B 兩點且與 1l 、 2l 都相切的圓， 若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由 . 19. （本小題滿分 14 分） (本小題主要考查直線、圓、拋物線、曲線的切線等知識 , 考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力 ) (1) 解 :設點 A 、 B 的坐標分別為 ? ?11,xy 、 ? ?22,xy ， ∵ 1l 、 2l 分別是拋物線 C 在點 A 、 B 處的切線， ∴直線 1l 的斜率139。 11 xx xky p???，直線 2l 的斜率239。 22 xx xky p???. ∵ 12ll? ,（ 數(shù)學驛站 ） ∴ 12 1kk?? , 得 212x x p?? . ① … 2分 ∵ A 、 B 是拋物線 C 上的點 , ∴ 221212,.xxyypp?? ∴ 直線 1l 的方程為 ? ?21112xxy x xpp? ? ?,直線 2l 的方程 為 ? ?22222xxy x xpp? ? ?. 由? ?? ?21112222,2,2xxy x xppxxy x xpp? ? ? ????? ? ? ??? 解得12,2.2xxxpy?? ????????? ∴ 點 D 的縱坐標為 2p? . … 4分 (2) 證法 1：∵ F 為拋物線 C 的焦點， ∴ 0,2pF??????. ∴ 直線 AF 的斜率為21221 11 1 122202AFx ppyxppkx x px?? ?? ? ?? ， 直線 BF 的斜率為22 222 22 2 222202BFx ppyxppkx x px?? ?? ? ?? . ∵ 2 2 2 2121222A F B Fx p x pkk p x p x??? ? ? … 6分 lFOyxED B1A 1BA ? ? ? ?2 2 2 22 1 1 2122x x p x x pp x x? ? ?? ? ? ? ?21 2 1 2 1 2122x x x x p x xp x x? ? ?? ? ? ? ?221 2 1 2122p x x p x xp x x? ? ? ?? 0? . ∴ AF BFkk? . ∴ A 、 B 、 F 三點共線 . … 8分 證法 2：∵ F 為拋物線 C 的焦點， ∴ 0,2pF??????. ∴ 2 2 21111,2 2 2x p xpA F x xpp? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 2 2 22222,2 2 2x p xpB F x xpp? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. ∵ 2212 2 21 1 2 1 122 2 2 22 2 1 2 2 222pxp x x x x xppx p x x x x xp?? ? ?? ? ?? ? ? ?, … 6分 ∴ //AF BF . ∴ A 、 B 、 F 三點共線 . … 8分 證法 3：設線段 AB 的中點為 E , 則 E 的坐標為 1 2 1 2,22x x y y????????. 拋物線 C 的準線為 : 2ply?? . 作 11,AA l BB l??, 垂足分別為 11,AB. ∵ 由 (1)知點 D 的 坐標為 12,22xx p????????, ∴ DE l? . ∴ DE 是直角梯形 11AABB 的中位線 . ∴ ? ?1112D E A A B B??. … 6分 根據(jù)拋物線的定義得 : 11,A A A F B B B F??, ∴ ? ? ? ?111122D E A A B B A F B F? ? ? ?. ∵ AD DB? ,E 為線段 AB 的中點 , ∴ 12DE AB? . ∴ ? ?1122A B A F B F??,即 AB AF BF??. ∴ A 、 B 、 F 三點共線 . … 8分 (3)解 : 不存在 . 證明如下： 假設存在符合題意的圓，設該 圓的圓心為 M ， 依題意得 ,MA AD MB BD??，且 MA MB? ， 由 12ll? ，得 AD BD? . ∴ 四邊形 MADB 是正方形 . ∴ AD BD? . … 10 分 ∵ 點 D 的坐標為 3,12???????， ∴ 12? ??p ,得 2p? . 把點 D 3,12???????的坐標代入直線 1l , 得 211131 4 2 2xx x??? ? ? ? ????? 解得 1 4x? 或 1 1x?? , ∴點 A 的坐標為 ? ?4,4 或 11,4???????. 同理可求得點 B 的坐標為 ? ?4,4 或 11,4???????. 由于 A 、 B 是拋物線 C 上的不同兩點，不妨令 11,4A???????, ? ?4,4B . ∴ 223 1 1 2 5112 4 1 6AD ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, ? ?2 23 1 2 54 4 124BD ??? ? ? ? ?????. … 13 分 ∴ AD BD? , 這與 AD BD? 矛盾 . ∴ 經過 A 、 B 兩點且與 1l 、 2l 都相切的圓不存在 . … 14分 19． (2022 廣州一模理數(shù) ) 已知橢圓 ? ?222: 1 33xyEaa ? ? ?的離心率 12e? . 直線 xt? （ 0t? ）與 曲線 E 交于 不同的兩點 ,MN,以線段 MN 為直徑作圓 C ,圓心為 C ． (1) 求橢圓 E 的方程； (2) 若圓 C 與 y 軸相交于不同的兩點 ,AB，求 ABC? 的面積的最大值 . 19． （本小題滿分 14分） (本小題主要考查橢圓、圓、直線與圓的位置關系等知識 , 考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識 ) （ 1） 解 ：∵橢圓 ? ?222: 1 33xyEaa ? ? ?的離心率 12e? , ∴ 2 312aa? ? . …… 2分 解得 2a? . ∴ 橢圓 E 的方程為 22143xy??． …… 4分 （ 2） 解法 1：依題意， 圓心為 ( , 0)(0 2)C t t??． 由 22,1,43xtxy???? ???? 得 22 12 34 ty ?? . ∴ 圓 C 的半徑為 212 32 tr ?? ． …… 6 分 ∵ 圓 C 與 y 軸相交于不同的兩點 ,AB，且圓 心 C 到 y 軸的距離 dt? ， ∴ 212 30 2 tt ??? ，即 2 210 7t?? ． ∴ 弦長 22 2 2 21 2 3| | 2 2 1 2 74 tA B r d t t?? ? ? ? ? ?． …… 8 分 ∴ ABC? 的面積 21 12 72S t t? ? ? …… 9分 ? ? 21 7 1 2 727 tt? ? ? ? ?2 27 12 71227tt???? 377? . …… 12 分 當且僅當 27 12 7tt??，即 427t? 時，等號成立 . ∴ ABC? 的面積的最大值為 377 ． …… 14分 解法 2：依題意， 圓心為 ( , 0)(0 2)C t t??． 由 22,1,43xtxy???? ???? 得 22 12 34 ty ?? . ∴ 圓 C 的半徑為 212 32 tr ?? ． …… 6分 ∴ 圓 C 的方程為 222 1 2 3() 4 tx t y ???? ． ∵ 圓 C 與 y 軸相交于不同的兩點 ,AB，且圓心 C 到 y 軸的距離 dt? ， ∴ 212 30 2 tt ??? ，即 2 210 7t?? ． 在圓 C 的方程 222 1 2 3() 4 tx t y ???? 中，令 0x? ，得 212 72 ty ??? ， ∴ 弦長 2| | 12 7AB t??． …… 8分 ∴ ABC? 的面積 21 12 72S t t? ? ?