【正文】 22 xx xky p???. ∵ 12ll? ,（ 數(shù)學(xué)驛站 ） ∴ 12 1kk?? , 得 212x x p?? . ① … 2分 ∵ A 、 B 是拋物線 C 上的點(diǎn) , ∴ 221212,.xxyypp?? ∴ 直線 1l 的方程為 ? ?21112xxy x xpp? ? ?,直線 2l 的方程 為 ? ?22222xxy x xpp? ? ?. 由? ?? ?21112222,2,2xxy x xppxxy x xpp? ? ? ????? ? ? ??? 解得12,2.2xxxpy?? ????????? ∴ 點(diǎn) D 的縱坐標(biāo)為 2p? . … 4分 (2) 證法 1：∵ F 為拋物線 C 的焦點(diǎn)， ∴ 0,2pF??????. ∴ 直線 AF 的斜率為21221 11 1 122202AFx ppyxppkx x px?? ?? ? ?? ， 直線 BF 的斜率為22 222 22 2 222202BFx ppyxppkx x px?? ?? ? ?? . ∵ 2 2 2 2121222A F B Fx p x pkk p x p x??? ? ? … 6分 lFOyxED B1A 1BA ? ? ? ?2 2 2 22 1 1 2122x x p x x pp x x? ? ?? ? ? ? ?21 2 1 2 1 2122x x x x p x xp x x? ? ?? ? ? ? ?221 2 1 2122p x x p x xp x x? ? ? ?? 0? . ∴ AF BFkk? . ∴ A 、 B 、 F 三點(diǎn)共線 . … 8分 證法 2：∵ F 為拋物線 C 的焦點(diǎn)， ∴ 0,2pF??????. ∴ 2 2 21111,2 2 2x p xpA F x xpp? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 2 2 22222,2 2 2x p xpB F x xpp? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. ∵ 2212 2 21 1 2 1 122 2 2 22 2 1 2 2 222pxp x x x x xppx p x x x x xp?? ? ?? ? ?? ? ? ?, … 6分 ∴ //AF BF . ∴ A 、 B 、 F 三點(diǎn)共線 . … 8分 證法 3：設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 E , 則 E 的坐標(biāo)為 1 2 1 2,22x x y y????????. 拋物線 C 的準(zhǔn)線為 : 2ply?? . 作 11,AA l BB l??, 垂足分別為 11,AB. ∵ 由 (1)知點(diǎn) D 的 坐標(biāo)為 12,22xx p????????, ∴ DE l? . ∴ DE 是直角梯形 11AABB 的中位線 . ∴ ? ?1112D E A A B B??. … 6分 根據(jù)拋物線的定義得 : 11,A A A F B B B F??, ∴ ? ? ? ?111122D E A A B B A F B F? ? ? ?. ∵ AD DB? ,E 為線段 AB 的中點(diǎn) , ∴ 12DE AB? . ∴ ? ?1122A B A F B F??,即 AB AF BF??. ∴ A 、 B 、 F 三點(diǎn)共線 . … 8分 (3)解 : 不存在 . 證明如下： 假設(shè)存在符合題意的圓，設(shè)該 圓的圓心為 M ， 依題意得 ,MA AD MB BD??，且 MA MB? ， 由 12ll? ，得 AD BD? . ∴ 四邊形 MADB 是正方形 . ∴ AD BD? . … 10 分 ∵ 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 3,12???????， ∴ 12? ??p ,得 2p? . 把點(diǎn) D 3,12???????的坐標(biāo)代入直線 1l , 得 211131 4 2 2xx x??? ? ? ? ????? 解得 1 4x? 或 1 1x?? , ∴點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ? ?4,4 或 11,4???????. 同理可求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 ? ?4,4 或 11,4???????. 由于 A 、 B 是拋物線 C 上的不同兩點(diǎn)，不妨令 11,4A???????, ? ?4,4B . ∴ 223 1 1 2 5112 4 1 6AD ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, ? ?2 23 1 2 54 4 124BD ??? ? ? ? ?????. … 13 分 ∴ AD BD? , 這與 AD BD? 矛盾 . ∴ 經(jīng)過(guò) A 、 B 兩點(diǎn)且與 1l 、 2l 都相切的圓不存在 . … 14分 19． (2022 廣州一模理數(shù) ) 已知橢圓 ? ?222: 1 33xyEaa ? ? ?的離心率 12e? . 直線 xt? （ 0t? ）與 曲線 E 交于 不同的兩點(diǎn) ,MN,以線段 MN 為直徑作圓 C ,圓心為 C ． (1) 求橢圓 E 的方程； (2) 若圓 C 與 y 軸相交于不同的兩點(diǎn) ,AB，求 ABC? 的面積的最大值 . 19． （本小題滿分 14分） (本小題主要考查橢圓、圓、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí) , 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí) ) （ 1） 解 ：∵橢圓 ? ?222: 1 33xyEaa ? ? ?的離心率 12e? , ∴ 2 312aa? ? . …… 2分 解得 2a? . ∴ 橢圓 E 的方程為 22143xy??． …… 4分 （ 2） 解法 1：依題意， 圓心為 ( , 0)(0 2)C t t??． 由 22,1,43xtxy???? ???? 得 22 12 34 ty ?? . ∴ 圓 C 的半徑為 212 32 tr ?? ． …… 6 分 ∵ 圓 C 與 y 軸相交于不同的兩點(diǎn) ,AB，且圓 心 C 到 y 軸的距離 dt? ， ∴ 212 30 2 tt ??? ，即 2 210 7t?? ． ∴ 弦長(zhǎng) 22 2 2 21 2 3| | 2 2 1 2 74 tA B r d t t?? ? ? ? ? ?． …… 8 分 ∴ ABC? 的面積 21 12 72S t t? ? ? …… 9分 ? ? 21 7 1 2 727 tt? ? ? ? ?2 27 12 71227tt???? 377? . …… 12 分 當(dāng)且僅當(dāng) 27 12 7tt??，即 427t? 時(shí)，等號(hào)成立 . ∴ ABC? 的面積的最大值為 377 ． …… 14分 解法 2：依題意， 圓心為 ( , 0)(0 2)C t t??． 由 22,1,43xtxy???? ???? 得 22 12 34 ty ?? . ∴ 圓 C 的半徑為 212 32 tr ?? ． …… 6分 ∴ 圓 C 的方程為 222 1 2 3() 4 tx t y ???? ． ∵ 圓 C 與 y 軸相交于不同的兩點(diǎn) ,AB，且圓心 C 到 y 軸的距離 dt? ， ∴ 212 30 2 tt ??? ，即 2 210 7t?? ． 在圓 C 的方程 222 1 2 3() 4 tx t y ???? 中，令 0x? ，得 212 72 ty ??? ， ∴ 弦長(zhǎng) 2| | 12 7AB t??． …… 8分 ∴ ABC? 的面積 21 12 72S t t? ? ? …… 9分 ? ? 21 7 1 2 727 tt? ? ? ? ?2 27 12 71227tt???? 377? . …… 12分 當(dāng)且僅當(dāng) 27 12 7tt??，即 427t? 時(shí)，等號(hào)成立 . ∴ ABC? 的面積的最大值為 377 ． …… 14 分 20． (2022廣州二模理數(shù) )已知雙曲線 C ： ? ?22 10xy abab? ? ? ?和圓 O ： 2 2 2xyb??（其中原點(diǎn) O 為圓心） ，過(guò)雙曲線 C 上一點(diǎn) ? ?00,P x y 引圓 O 的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A 、 B ． （ 1）若雙曲線 C 上存在點(diǎn) P ，使得 90APB??，求雙曲線離心率 e 的取值范圍； （ 2）求直線 AB 的方程； （ 3） 求三角形 OAB 面積的最大值 ． 20．（本小題滿分 14分） （ 本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程 和 不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論思想和 創(chuàng)新意識(shí)等． ） 解： （ 1） 因?yàn)?0ab?? ， 所以 1ba? ，所以 222 1c a b bea a a? ??? ? ? ? ????2?．………………… 1 分 由 90APB??及圓的性質(zhì)，可知四邊形 PAOB 是正方形，所以 2OP b? ． 因?yàn)?2OP b a??， 所以 22ba? ，所以 222 1c a b bea a a? ??? ? ? ? ????62?．…………… 3 分 故 雙曲線 離心率 e 的取值范圍 為 6,22???? ???． ………………………………………………………… 4 分 （ 2） 方法 1： 因?yàn)?2 2 2 2 2 200P A O P O A x y b? ? ? ? ?， 所以 以點(diǎn) P 為圓心， PA 為半徑的 圓 P 的方程為 ? ? ? ?22 2 2 20 0 0 0x x y y x y b? ? ? ? ? ?．……… 5 分 因?yàn)閳A O 與 圓 P 兩圓的公共弦所在的直線即為直線 AB ，…………………………………………… 6 分 所以 聯(lián)立 方程組? ? ? ?2 2 222 2 2 20 0 0 0,.xybx x y y x y b? ????? ? ? ? ? ???……………………………………………… 7分 消去 2x ， 2y ，即得直線 AB 的方程為 200x x y y b??． ……………………………………………… 8 分 方法 2： 設(shè) ? ?11,A x y ? ?22,B x y ，已知點(diǎn) ? ?00,P x y ， 則 PAk ? 0101yyxx?? ， 11OAyk x? ? ?1 0 1,0x x x??其 中 ． 因?yàn)?PA OA? ，所以 1PA OAkk?? ，即 01