【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2, 3, .n s x ns x x x s n? ?? ??? ? ??2. 遞推公式 ( 1 ) ( )s s s????對(duì)下述積分應(yīng)用分部積分法 , 有 1000e d e e dAA As x s x s xx x x s x x? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? 10e e d .As A s xA s x x0s?在 上可導(dǎo) , 且 A ? ?? ()s?讓 就得到 的遞推公式 : ??( 1 ) ( ) . ( 3 )s s s??設(shè) 1 , 0 1 ,n s n s n? ? ? ? ? ?即應(yīng)用遞推公式 (3) n次 可以得到 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 )s s s s s s? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?( 1 ) ( ) ( ) . ( 4 )s s s n s n?()s? 01s??公式 (3)還指出 , 如果已知 在 上的值 , 那 么 在其他范圍內(nèi)的函數(shù)值可由它計(jì)算出來(lái) . 若 s為正整數(shù) n+1,則 (4)式可寫成 0( 1 ) ( 1 ) 2 1 ( 1 ) ! e d ! . ( 5 )xn n n n x n?? ?? ?? ? ? ? ? ? ??3. ? 函數(shù)圖象的討論 ( ) ( )ss?? ??和 ()s?對(duì)一切 0s? , 恒大于 0, 因此 的圖形 x ( 1 ) ( 2 ) 1???? ，位于 軸上方 , 且是向下凸的 . 因?yàn)? ()s? 0s? ?00 ( 1 2 ) .xx且，所 以 在 上存在唯一的極小點(diǎn) 0l i m ( 1 ) ( 1 ) 1 ,s s???? ? ? ?故有 00( 1 )lim ( ) lim .sssss??????? ? ? ? ?()s? 0( , )x ??由 (5)式及 在 上嚴(yán)格增可推得 ()s? 0(0, )x 0( , )x ??在 內(nèi)嚴(yán)格減 。在 內(nèi)嚴(yán)格增 . 又 由于 ( ) ( 1 )( ) ( 0 )s s sssss??? ?? ? ? 及l(fā) i m ( ) .s s? ? ? ? ? ? ?? 0s?綜上所述 , 函數(shù)的圖象如圖 192中 部分所示 . 4. 延拓 ()s?改寫遞推公式 (3) 為 ?? ( 1 )( ) . ( 6 )sss??當(dāng) 10s? ? ?時(shí) , (6)式右端有意義 , 于是可應(yīng)用 (6)式 ()s? ?( 1, 0)來(lái)定義左端函數(shù) 在 內(nèi)的值 ,并且可推知 ( ) 0 .s??這時(shí) 19 2?圖x1?()x?2?3?4? 1 2 3 412341?2?3?4?用同樣的方法 , 利用 式又可定 義 在 ()s???( 2, 1) 內(nèi)的值 , 而且 這時(shí) 依此 ( ) 0 .s??下去可把 ()s? 延拓到整個(gè)數(shù)軸 (除了 ? ? ?0 , 1 , 2 ,s以外 ),其圖象如圖 192所示 . 已在 ( 1 ,0)? 內(nèi)有 ()s?定義這一事實(shí) , 由 (6) 5. ()s? 的其他形式 ()s? 2 ,xy?在應(yīng)用上 , 也常以如下形式出現(xiàn) , 如令 則有 21 2 100( ) e d 2 e d ( 0 ) .s x s ys x x y y s? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???令 ,x py? 就有 1100( ) e d e d( 0 , 0 ) . ( 7)s x s s pys x x p y ysp?? ??? ? ? ?? ? ?????二、 B 函 數(shù) 含參量積分 ： 1 110B ( , ) ( 1 ) d , 0 , 0 ( 2 )pqp q x x x p q??? ? ? ??稱為貝塔 (Beta) 函數(shù) (或?qū)懽? B 函數(shù) ). 注 與前討論的單參變量的含參數(shù)積分不同 ,B 函數(shù) 是含兩元的含參量積分，但討論的步驟與方法是完 全類似的 . 1p? 0x?B 函數(shù) (2)當(dāng) 時(shí) , 是以 為瑕點(diǎn)的無(wú)界函數(shù) 1q? 1x ?反常積分 。 當(dāng) 時(shí) , 是以 為瑕點(diǎn)的無(wú)界函數(shù) 反常積分 . 應(yīng)用柯西判別法可證得當(dāng) 0 , 0pq??時(shí) 這兩個(gè)無(wú)界函數(shù)反常積分都收斂 . 所以函數(shù) B ( , )pq的定義域?yàn)? 0 , 0 .pq??B ( , )pq 0 , 0pq??1. 在定義域 內(nèi)連續(xù) 由于對(duì)任何 00 0 , 0pq 成立不等式 001111 0 0 ,( 1 ) ( 1 ) , ,pqpqx x x x p p q q???? ? ? ? ? ?而積分 001 110 ( 1 ) dpqx x x???? 收斂 , 故由 M 判別法知 B ( , )pq 00 ,p p q q? ? ? ? ? ? ? ?在 上一致收斂 . 因 B ( , )pq 0 , 0pq??而推得 在 內(nèi)連續(xù) . 2. 對(duì)稱 性 B ( , ) B ( , )p q q p?作變 換 1,xy??得 1 110B ( , ) ( 1 ) dpqp q x x x?????1 110 ( 1 ) d B ( , ) .pqy y y q p??? ? ??3. 遞推公式 1B ( , ) B ( , 1 ) ( 0 , 1 ) , ( 8 )1qp q p q p qpq?? ? ? ???1B ( , ) B ( 1 , ) ( 1 , 0 ) , ( 9 )1pp q p q p qpq?? ? ? ???( 1 ) ( 1 )B ( , ) B ( 1 , 1 )( 1 ) ( 2 )( 1 , 1 ) .pqp q p qp q p qpq??? ? ?? ? ? ???證 下面只證公式 (8), 公式 (9)可由對(duì)稱性及公式 (8) 推得 , 而最后一個(gè)公式則可由公式 (8), (9)推得 . 1 110B ( , ) ( 1 ) dpqp q x x x?????1 1 1 201 ( 1 ) ( 1 ) dp p qq x x x x xp? ? ?? ??? ? ? ????111 2 1 10011 ( 1 ) d ( 1 ) dp q p qqq x x x x x xpp? ? ? ???? ? ? ???11B ( , 1 ) B ( , ) ,qq p q p qpp??? ? ?當(dāng) 時(shí) , 有 1 , 1pq??111 200( 1 ) 1 ( 1 ) dpq pqx x q x x xpp????? ? ??移項(xiàng)并整理就得 (8) . 4. B ( , )pq的其他形 式 在應(yīng)用中 B 函數(shù)也常常以如下形式出現(xiàn) : 如令 2c o s ,x ?? 則有 2 1 2 120B ( , ) 2 sin c o s d . ( 1 0 )qppq?? ? ???? ?如令 21d, 1 , d ,1 1 ( 1 )yyx x xy y y? ? ? ?? ? ? 則有 10B ( , ) d .( 1 )ppqyp q yy????? ??11d.( 1 )ppqy yy??????1 ,yt?考 察 令 則有 11 011d d .( 1 ) ( 1 )ppp q p qyt yyyt????????????所以 1110B ( , ) d .( 1 )pqpqyyp q yy???????? B三 、 函數(shù)與 函數(shù)之間的關(guān)系 ,mn當(dāng) 為正數(shù)時(shí) ,反復(fù)應(yīng)用 B 函數(shù)的遞推公式 ,可得 1B ( , ) B ( , 1 )1nm n m nmn?????1 2 1 B ( , 1 ) .1 2 1nn mm n m n m???? ? ? ? ?又由于 1 101B ( , 1 ) d ,mm x xm????所以 1 2 1 1 ( 1 ) !B ( , )1 2 1 ( 1 ) !n n mmnm n m n m m m? ? ???? ? ? ? ? ?( 1 ) ! ( 1 ) ! ,( 1 ) !nmmn?????( ) ( )B ( , ) . ( 11)()nmmnmn???? ?即 對(duì)任何正實(shí)數(shù) p, q 也有相同的關(guān)系 : ( ) ( )B ( , ) ( 0 , 0 ) . ( 12 )()pqp q p qpq??? ? ???這個(gè)關(guān)系式將在第二十一章 167。 8 中加以證明 . 例 1 求證 0 d 1 1 1( , ) .423 c os 2 2x Bx? ???證 令 2c os ,2xu ? 則 002dd3 c os2 2 c os2xxxx???????1201 2 1 211 1 1 d( 1 )2 ( 1 ) uuuu?????? ?? ???1 2 1 2 1 201 ( 1 ) d .2 u u u???? ?再令 2 ,tu? 則 1 2 1 2 1 201 ( 1 ) d2 u u u???? 1 1 2 1 4 1 201 ( 1 ) d22 t t t t? ? ??? ?111112401 ( 1 ) d22 t t t???? ? 1 1 1B ( , ).2422??復(fù)習(xí)思考題 ( , , )f x y z [ , ] [ , ] [ , )a b c d e? ? ? ? 是定義 在