基礎(chǔ)最全——張量分析tensor_analy(編輯修改稿)
2025-06-20 01:32 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 BbaB ?????? ???? )(B的作用如同一個(gè)算子 , 它使空間內(nèi)每一個(gè)向量變換為另一個(gè)向量 , 或者說(shuō) B 能把一個(gè)向量空間映射為另一向量空間。 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） A 張量分析 一 、仿射量的轉(zhuǎn)置 BT jiTijjijijiTijTBBeeBeeB???BjiijT BBBB ?? ,對(duì)稱(chēng)張量 jiijT BBBB ???? ,反 對(duì)稱(chēng)張量 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） A 張量分析 一 、仿射量的轉(zhuǎn)置 BT TTTTTTTTTTTTBBBBABBABaaBBABAaBbbBa)()()()()(11 ??????????????????α 和 b為任意向量 A 張量分析 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 一 、仿射量的 逆 B1 jiij eeIIBB ????? ,11111111)()(???????????BB??BAABIIA 張量分析 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 三、 對(duì)稱(chēng) 仿射量的主向和主 值 對(duì)于仿射量 B, 若存在三個(gè)相互垂直的方向 i,j,k, 其映象 Bi,Bj,Bk也相互垂直 , 則稱(chēng)該三個(gè)方向?yàn)? B 的主向 。 對(duì)稱(chēng)仿射量 T 必存在三個(gè)主向和三個(gè)相應(yīng)的主值 。 主值 S 滿(mǎn)足如下特征方程 。 023 ???? ⅢⅡ SISSA 張量分析 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 三、 對(duì)稱(chēng) 仿射量的主向和主 值 0I 23 ???? ⅢⅡ SSS333231232221131211333113113332232222211211332211ITTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT???????ⅢⅡA 張量分析 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 三、 對(duì)稱(chēng) 仿射量的主向和主 值 I3132s i n32I31s i n32I3132s i n32321?????????????????????????eSeSeSijijTqeeq?????I31I3166,233a r c s i n31223?????????Ⅱ三、 對(duì)稱(chēng) 仿射量的主向和主 值 笛卡兒坐標(biāo) kkSjjSiiSTSSS321321?????A 張量分析 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） A 張量分析 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 四 、 各向同性張量 各向同性張量 —— 在坐標(biāo)任意變換時(shí) , 各分量保持不變的張量 jjjjjiijjiij eeeeeeeeTT ?????? ????零階張量 (標(biāo)量 )總是各向同性的。一階張量 (即矢量 ) 總不是各向同性的。對(duì)于對(duì)稱(chēng)二階張量 T,如果其三個(gè)主值相等 , 即 S1=S2=S3=λ ,則是各向同性的。 jjijjiij eeTT ???? ??? ???167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 四 、 各向同性張量 jkiljlikkliji j k lA ????????? ???證明： 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 , AAArAAA ??? 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1(1)4個(gè)指標(biāo)都相同的分量有 3個(gè) 167。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 四 、 各向同性張量 jkiljlikkliji j k lA ????????? ???證明： ?????? 3 3 312 2 211 1 131 1 12 , AAAA(2) 4個(gè)指標(biāo)有 3個(gè) 相同的分量有 24個(gè) 以 A1112 為例。如繞 x2轉(zhuǎn) 1800，坐標(biāo)變換系數(shù)為 ?????????????100010001?111211122211321111112AAAA m n pqqpnm??????????要使新坐標(biāo)的分量 A1112 與原坐標(biāo)中的分量 A1112 相等， A1112 。必為零。 xzy y?x?z?23112311232211221112311112 3AAAAA m n pqqpnm????????????所以 A1123=0。其它都為零。 (3) 4個(gè)指標(biāo)中有 2個(gè) 相同的分量有 36個(gè) ?????? 3 3 122 2 131 1 321 1 23 , AAAA以 A1123 為例。坐標(biāo)仍繞 x2轉(zhuǎn) 1800，坐標(biāo)變換系數(shù)同上，則 將此三類(lèi)分量用統(tǒng)一形式表示為： (3) 4個(gè)指標(biāo)中有 2對(duì)指標(biāo)重復(fù)的分量有 18個(gè)?？煞譃?3類(lèi)，每 6個(gè)分量相等。 ?????????????????????3 1 131 3 312 3 323 2 231 2 212 1 121 3 133 1 313 2 322 3 232 1 211 2 121 1 333 3 113 3 222 2 332 2 111 1 22AAAAAAAAAAAAAAAAAAjkiljlikklij ????????? ?? 在空間所論域內(nèi) , 每點(diǎn)定義的同階張量 , 構(gòu)成了張量場(chǎng)。一般張量場(chǎng)中被考察的張量隨位置而變化。研究張量場(chǎng)因位置而變化的情況使我們從張量代數(shù)的領(lǐng)域進(jìn)入張量分析的領(lǐng)域。 笛卡兒坐標(biāo)系中的張量分析 。 A6 張量分析 一、哈 密頓 (Hamilton)算子 (梯度 算子 ) 設(shè)有標(biāo)量場(chǎng) ?(x), 當(dāng)位置點(diǎn) r(x)變到 r(x+dx)時(shí) , ?的增量 d? 命為 rddxeedxdzzdyydxxdjjiiii????????????????????????梯度算子 ,矢量算子 A6 張量分析 一、哈 密頓 (Hamilton)算子 (梯度 算子 ) A6 張量分析 1. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 ????????????????321ezeyexg r a d2. 矢量場(chǎng) u的散度 u????????????????jjiijjzyxeueuzuyuxud i v,? 一、哈 密頓 (Hamilton)算子 (梯度 算子 ) A6 張量分析 3. 矢量的旋度 uu??????????????????jjiijijikjiijkeueueeeue
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