【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 e??e??e??sin 0 ?cos?sin??cos 00 01圓柱坐標(biāo) 與 球坐標(biāo)系 ze?re??e??e??? co ssin ?cos?sin??? sinc o s?0直角坐標(biāo) 與 球坐標(biāo)系 xe? ye??? sinsin?? sinco s?cos?sin?o ? ? z 單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 ? ? o ? x y 單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間 坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 ? xe?ye??e??e?ze??e?re??e?作 業(yè) P31： ， 標(biāo)量場(chǎng)的梯度 ? 如果物理量是標(biāo)量，稱(chēng)該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)。 例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。 ? 如果物理量是矢量，稱(chēng)該場(chǎng)為矢量場(chǎng)。 例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。 ? 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱(chēng)為靜態(tài)場(chǎng)，反之為時(shí)變場(chǎng)。 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)在該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)。 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)： 、),( zyxu ),( zyxF?、),( tzyxu ),( tzyxF?靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： 1. 標(biāo)量場(chǎng)的等值面 標(biāo)量場(chǎng)的等值線 (面 ) 等值面 : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空間形成的曲面。 Czyxu ?),(等值面方程： 意義 : 形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。 等值面的特點(diǎn)： ? 常數(shù) C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族； ? 標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間； ? 標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 2. 方向?qū)?shù) 概念 ： M0 lM l?方向?qū)?shù)的概念 式中 ： lulMuMulullM ???????????? 000lim)()(lim|0意義 ： 方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率 。 0ul? ??? —— u(M)沿 方向增加； 0ul? ??? —— u(M)沿 方向減少； 0ul? ??? —— u(M)沿 方向無(wú)變化； l?l?l?特點(diǎn)： 方向?qū)?shù)既與點(diǎn) M0有關(guān)，也與方向 有關(guān)。 l?—— 的方向余弦。 l????? co sco sco s 、方向?qū)?shù)的計(jì)算公式： ??? c o sc o sc o szuyuxudldzzudldyyudldxxulu????????????????????意義： 描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及其變化最大的方向 記作： 定義： 標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)，其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在 等值面的法線方向 。 其中 為 取得最大值的方向 le?lu?? m a x|lueugr ad ul ????? ?也可以改寫(xiě)成： co s co s co su u u ul x y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?( ) ( co s co s co s )x y z x y zu u u ue e e e e el x y z ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?x y zu u ug r a d u e e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?令 梯度的表達(dá)式 已知方向?qū)?shù) x y ze e ex y z? ? ?? ? ? ?? ? ?x y zu u uu e e e g r a d ux y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?則有： lUeeeg r ad Ulu zyx????????????? )coscoscos( ???即：梯度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為 而標(biāo)量函數(shù)在空間某點(diǎn)沿 l 方向的方向?qū)?shù)則等于標(biāo)量函數(shù)在該點(diǎn)的梯度沿 l 方向的投影。 zueyuexueuzyx ?????????? ???直角面坐標(biāo)系 zueueueuz ?????????? ?????? ??1圓柱面坐標(biāo)系 ??? ?? ?????????? ureurerueur s i n11 ???球面坐標(biāo)系 梯度在三種坐標(biāo)系中的表示 ? 標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。 ? 標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。 梯度的性質(zhì)： ? 標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過(guò)該點(diǎn)的等值面（或切平面） 梯度運(yùn)算的基本公式 ： ?????????????????????????????uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0即： udu udfuf ??? )()( 例 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ? (x,y,z) = x2＋ y2－ z 描述了空間一標(biāo)量場(chǎng) 。 試求： (1)該函數(shù) ? 在點(diǎn) P(1,1,1)處的梯度 ， 以及表示該梯度方向的單位矢量； (2)求該函數(shù) ? 沿單位矢量 el= ex cos60?＋ ey cos45? ＋ ez cos60?方向的方向?qū)?shù) ， 并以點(diǎn) P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較 ， 得出相應(yīng)結(jié)論 。 解 (1)由梯度計(jì)算公式，可求得 P點(diǎn)的梯度為 22( ) ( )x y zPPx y zyxz? ??? ? ?? ? ? ???? ? ???e + e + e( 1 , 1 , 1 )( 2 2 ) 2 2x y z x y zxy? ? ? ? ? ?e e e e e e表征其方向的單位矢量 2 2 2( 1 , 1 , 1 )22( 2 ) ( 2 ) ( 1 )22 13 3 3x y zl PPx y ze x e y eexye e e????????? ? ?? ? ? (2) 由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知 ， 沿 方向的方向?qū)?shù)為： le?211( 2 2 ) ( )22212 2l x y z x y ze e x e y e e e elxy???? ? ? ? ? ? ??? ? ?對(duì)于給定的 P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為： ( 1 , 1 , 1 )1 2 2122 2Pxyl?? ?? ? ? ??而該點(diǎn)的梯度值為 2 2 2( 1 , 1 , 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 3P xy?? ? ? ? ? ? 顯然 ， 梯度 描述了 P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) ? 的最大變化率 ，即最大的方向?qū)?shù) ， 故 恒成立 。 P??PPl? ?? ???例 已知 ( ) ( ) ( ),x y zR x x y y z zRR? ? ?? ? ? ? ? ??e e e31( 1 ) , ( 2 ) ( ) , (3 ) ( ) ( )RRR f R f RR R R?? ? ? ? ? ? ? ? ?, x y z x y ze e e e e ex y z x y z? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?其中試證明 證明（ 1） 2 2 2( ) ( ) ( )R R x x y y z z? ? ?? ? ? ? ? ? ?x y zR R RR e e ex y z? ? ?? ? ? ?? ? ?2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x y zx x y y z zRx x y y z z? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ?e e eRR??2 2 211( 2),( ) ( ) ( )R x x y y z z?? ? ?? ? ? ? ?1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )x y ze e eR x R y R z R? ? ?? ? ? ?? ? ?3 . ( ) ( ) ( ) ( )x y zf R e f R e f R e f Rx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?33222 ])()()([)()()(RRzzyyxxzzeyyexxe zyx???????????????????????( ) ( ) ( )x y zf R f R f Re e ex y z? ? ?? ? ?? ? ?( ) ( ) ( )()x y zdf R R df R R df R Re e edR x dR y dR zdf RRdR? ? ??