基礎(chǔ)最全——張量分析tensor_analy(參考版)
2025-05-19 01:32本頁面
【正文】 具有一定物理意義的向量 ( 張量 ) 在這樣的基上 的各分量并不具有物理量綱 , 從而給直接的物理解釋帶來不便 。如張量 A在曲線坐標系可以寫成 由于在曲線坐標系并非所有坐標都具有長度量綱 , 例如 , 圓柱坐標中的。 我們采用第二種做法 , 在空間每一點都建立 局部基 。 (2)在定義區(qū)域內(nèi)每點都有一個與 ei相同的基 , 即局部基 , 向量 (張量 )在本作用點的局部基上就地分解 。 一 、曲線坐標 在笛卡兒坐標系 , 空間任一點 P 的向徑是 設(shè)在 三維空間 某連通區(qū)域 , 給定了笛氏坐標的三個連續(xù)可微的單值函數(shù) )( iii xxx ?? ? )( iii xxx ??iiex?r反函數(shù) 1g2g3g3?x2?x1?xA7 曲線坐標下的張量分析 )( iii xxx ?? ?A7 曲線坐標下的張量分析 若函數(shù)不是線性函數(shù) , 則稱其為曲線坐標系 0???? ?iixxJ用于編排指標 i’ 的次序 zzryrx??? ,s i n,c os ??例如：圓柱坐標系11????????????????????JJxxxxxxxxjrrijrriji?01 ??????iixxJA7 曲線坐標下的張量分析 二、局部基矢量 在笛卡兒坐標系 , 空間任意向量 (張量 )都可以在基上分解 。 笛卡兒坐標系中的張量分析 。一般張量場中被考察的張量隨位置而變化?？煞譃?3類，每 6個分量相等。 (3) 4個指標中有 2個 相同的分量有 36個 ?????? 3 3 122 2 131 1 321 1 23 , AAAA以 A1123 為例。 xzy y?x?z?23112311232211221112311112 3AAAAA m n pqqpnm????????????所以 A1123=0。如繞 x2轉(zhuǎn) 1800，坐標變換系數(shù)為 ?????????????100010001?111211122211321111112AAAA m n pqqpnm??????????要使新坐標的分量 A1112 與原坐標中的分量 A1112 相等， A1112 。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 四 、 各向同性張量 jkiljlikkliji j k lA ????????? ???證明： 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1 , AAArAAA ??? 3 3 3 32 2 2 21 1 1 1(1)4個指標都相同的分量有 3個 167。對于對稱二階張量 T,如果其三個主值相等 , 即 S1=S2=S3=λ ,則是各向同性的。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 四 、 各向同性張量 各向同性張量 —— 在坐標任意變換時 , 各分量保持不變的張量 jjjjjiijjiij eeeeeeeeTT ?????? ????零階張量 (標量 )總是各向同性的。 A5 二階張量 （ 仿射量 ） 三、 對稱 仿射量的主向和主 值 I3132s i n32I31s i n32I3132s i n32321?????????????????????????eSeSeSijijTqeeq?????I31I3166,233a r c s i n31223?????????Ⅱ三、 對稱 仿射量的主向和主 值 笛卡兒坐標 kkSjjSiiSTSSS321321?????A 張量分析 167。 023 ???? ⅢⅡ SISSA 張量分析 167。 對稱仿射量 T 必存在三個主向和三個相應(yīng)的主值 。j,B A5 二階張量 （ 仿射量 ） 三、 對稱 仿射量的主向和主 值 對于仿射量 B, 若存在三個相互垂直的方向 i,j,k, 其映象 B A5 二階張量 （ 仿射量 ） A 張量分析 一 、仿射量的轉(zhuǎn)置 BT TTTTTTTTTTTTBBBBABBABaaBBABAaBbbBa)()()()()(11 ??????????????????α 和 b為任意向量 A 張量分析 167。 167。 A4 張量的代數(shù)運算 A 張量分析 用于判定某些量的張量性！ 167。 )(!31)(!21][][i k jjikk j ik i jj k iijkijkjiijijAAAAAAAAAA????????十 、 商法則 若在某坐標系中按某規(guī)律給出 33=27 個數(shù) A(ijk), 且 A(ijk)bk=Cij, 其中 bk 是與 A(ijk)無關(guān)的任意矢量 , Cij是張量 , 那么 , A(ijk)必為比 Cij高一階的張量。 A4 張量的代數(shù)運算 A 張量分析 反稱化 : 對已知張量的 N 個指標進行 N!次不同的置換 ,并將其中指標經(jīng)過奇次置換的新張量取反號 ,再求算術(shù)平均值 , 這種運算稱張量的反稱化 ,其結(jié)果張量關(guān)于參與置換的指標為反稱。將指標放在圓括弧內(nèi)表示對稱化運算 。 A4 張量的代數(shù)運算 A 張量分析 對 稱 化 ： 對已知張量的 N個指標進行 N!次不同的置換 , 并取所得的 N!個新張量的算術(shù)平均值的運算 。 A4 張量的代數(shù)運算 jiij TT ? jiijWW ??A 張量分析 若張量的任意兩個指標經(jīng)置換后所得的張量與原張量相同 , 則稱該張量關(guān)于這兩個指標為對稱 , 若與原張量相差一符號 , 則稱該張量關(guān)于這兩個指標為反稱 。 A4 張量的代數(shù)運算 jiij eeAA ?332211 AAAAAeeAA iiijijjiij ??????? ??A 張量分析 在張量的不變性記法中 , 將某兩個基矢量點乘 , 其結(jié)果是一個較原張量低二階的新張量 , 這種運算稱為縮并 八 、 指標置 換 167。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減 4 rstijkk s nj r mi m n ttnmirstijkk s nj r mtnk s nrstmj r miijktsrrstkjiijkBAeeSSeeeeBAeeeeeBeeeAeeeBeeeABA???????))((六 、張量的 雙叉乘 167。新張量的階數(shù)是原兩個張量的階數(shù)之和減 2 兩個 二階張量點積的結(jié)果為一個新的二階張量 ,這相當(dāng)于矩陣相乘 五 、張量的 雙點 積 167。 A4
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